淺談復(fù)變函數(shù)中積分的計(jì)算方法

焦晶晶

【摘要】掌握復(fù)積分的計(jì)算方法對(duì)于學(xué)好復(fù)變函數(shù)至關(guān)重要.本文主要探究了復(fù)變函數(shù)的計(jì)算方法.盡管它的計(jì)算方法過(guò)程已有發(fā)表，但在此重述的目標(biāo)只是為了更加系統(tǒng)，更便于計(jì)算，通過(guò)了解這些常見(jiàn)的積分計(jì)算方法，把它們進(jìn)行整理、歸類，并以典型的例題加以說(shuō)明，可以使我們?cè)谟?jì)算復(fù)變函數(shù)積分的過(guò)程中更加得心應(yīng)手.

【關(guān)鍵詞】復(fù)變函數(shù)；積分計(jì)算；柯西積分定理；留數(shù)定理

一、引言

復(fù)變函數(shù)以其完美的理論成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是其他學(xué)科解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具.解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)研究的主要對(duì)象.復(fù)變函數(shù)的積分是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具.復(fù)變函數(shù)積分的求解問(wèn)題向來(lái)被認(rèn)為是復(fù)變函數(shù)教學(xué)中重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題.

復(fù)變函數(shù)積分常見(jiàn)的幾種計(jì)算方法：

①將積分曲線C分成為n小段時(shí)，可用定義直接計(jì)算復(fù)積分（不常用）；

②當(dāng)f（z）在簡(jiǎn)單光滑曲線C上連續(xù)時(shí)，欲計(jì)算積分時(shí)常用參數(shù)方程法，參數(shù)方程是計(jì)算復(fù)積分的基本方法；

③如果被積函數(shù)f（z）在包含積分曲線C的某一單連通域D內(nèi)處處解析，則可用牛頓-萊布尼茲公式進(jìn)行計(jì)算；

④涉及圍線積分，想到利用Cauchy積分定理、Cauchy積分公式、留數(shù)定理，其中留數(shù)定理應(yīng)用最廣；

⑤高階導(dǎo)數(shù)公式可以形式地由反復(fù)用Cauchy積分公式求關(guān)于參數(shù)z0的導(dǎo)數(shù)得到，故有時(shí)被稱為微分Cauchy積分公式.

本文主要在理論上介紹復(fù)積分中Cauchy積分定理及由它派生出的Cauchy公式、留數(shù)定理及積分的計(jì)算問(wèn)題.

二、柯西（Cauchy）積分定理

六、結(jié)束語(yǔ)

本文利用綜述法、比類法，以有限的篇幅介紹了復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算的幾種一般方法，它對(duì)數(shù)學(xué)分析知識(shí)的理解和提高，以及應(yīng)用新知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，起到拋磚引玉的作用，進(jìn)而能更加深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)這門科學(xué)不同于其他學(xué)科的魅力.