數學建模在生活中的應用

鄭宇新

摘? 要：數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言、方法。通過一些手段來解決生活當中出現的一些問題，進而可以提高我們分析問題和解決問題的能力，數學是來源于生活的，也是服務于生活的，與我們的生活和工作有著密不可分的關系。因此，在生活當中，我們應該形成數學建模的意識，把數學的知識轉化為實用的技能，從而完成對生活中問題的解決。

關鍵詞：數學建模? 實際生活? 應用? 策略

中圖分類號：G64? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1672-3791（2020）11（c）-0166-03

The Application of Mathematical Modeling in Life

ZHENG Yuxin

（Jilin Normal University， Changchun， Jilin Province， 130000 China）

Abstract： Mathematical modeling is a mathematical way of thinking， is the use of mathematical language， methods， through some means to solve some of the problems in life. In turn， it can improve our ability to analyze and solve problems. Mathematics comes from life， it also serves life， closely related to our life and work. Therefore， we should form a sense of mathematical modeling in life， and transform mathematical knowledge into practical skills， so as to solve problems in life.

Key Words： Mathematical modeling; Real life; Use; Strategy

1? 基本概念

數學建模主要就是根據實際問題進而來建立數學模型，并且對數學模型進行求解和計算，然后根據所求的運算結果去解決生活當中的實際問題。數學模型的實質就是一種動態的模擬，不是固定的思維方式，是運用數學的符號，數學的公式、語言、圖形等對問題的本質屬性進行抽象并且加以概括和刻畫，從而可以解釋生活當中一些客觀的現象以及發展的規律。數學建模需要人們靈活運用數學的相關知識，以及對生活中的現實問題進行細致的觀察和分析，從問題當中進行抽象，提煉出數學模型就叫作數學建模。

2? 建立數學模型過程

先要進行模型的準備，第一步要了解問題的實際背景以及背后的實際含義，并且收集各種有關問題的信息，用數學的思想方法來分析和理解問題，用數學的語言來描述問題。第二步就是對模型進行假設，在模型準備過后需要對問題進行簡化，考慮各種可能發生的情況以及突發事件，用精準的語言來表達這些問題。第三步就是模型的建立。在假設的基礎上，利用數學工具來刻畫常量與變量之間的數學關系，進而來建立數學模型。第四步就是模型的求解，對所建立的數學模型通過一系列的手段來進行計算出結。第五步就是對模型進行分析，我們已經得到了計算的結果，就要對所建立數學模型的思路進行闡述并加以說明，對結果進行分析。第六步就是模型檢驗，將模型分析所得的結果與實際情況相比較，來檢驗所建立的數學模型是否具有準確性、合理性、適用性。如果所建立的模型與實際問題的情況比較吻合，那么就需要對計算的結果給出其含義，并進行解釋;如果所建立的模型與實際問題吻合程度差的很多，那就需要進行修改，再重新建立模型，再經過計算和檢驗。

3? 數學模型在生活中的應用

數學建模在生活中的應用，就是將數學建模的思想方法從書本當中的固定知識和科研的領域當中逐漸轉向商業化的領域，解決生活當中出現的實際問題。數學建模的應用遍及生活中的各個角落，比如投資組合、最優解問題、指派問題、車輛調度、人口預報、分期付款等。所以，數學建模在人們的生產生活當中具有重大的意義，下面列舉一些生活當中應用建模的實例。

在生活中，我們會面臨銀行還貸款的問題，知道銀行還貸款的年利率為5.58%，如果我們今年急需用錢，需要向銀行貸款15萬元，并且20年還清。在這20年中，每個月需要還貸款的金額是不變的，問每個月應該還給銀行多少錢？如果現在已經還了14個月，在此時銀行降低年利率為5.31%，此后還的貸款按照新的年利率算，問以后每個月需要還多少錢？對于這道實際問題，我們設x為每個月需要還的貸款金額，r為月利率，為第i個月欠銀行的錢數，n為需要還款的月數，所以，我們就有如下公式：

在這里a0為最初的還給銀行貸款的，an為最后一個需要還欠銀行的錢數。對于第二個問題來說，假設還給銀行的貸款k個月以后，年利率降低了，此時第k個月之后用過該還給銀行的總錢數就為，我們將此總錢數作為原始的貸款的總錢數。則需要還給銀行的貸款時間為n-k個月。

每個學生都要經歷考試，所以教師要制訂合理的出題方案就顯得尤為重要。編寫一張試卷需要考慮諸多因素，根據基礎性、重要性、啟發性、難易程度、應用性這幾類所占的比例來編寫一張試卷，如果現在有一本書，在這本書當中有N個章，每一章又有不同的節，每一個節又有不同的考點，所以如何根據這本書編寫一張試卷？我們可以用數學建模當中的層次分析法來解決問題，首先可以從章出發，建立層次結構圖，將基礎性這類因素設為準則層，將每一章設為方案層;其次根據隨機一致性指標制造出基礎性這類因素對章的影響程度設為矩陣A，根據公式來進行編程最后會得到CR=0，也就是一致性比率為0，得到一致性檢驗合格。

我們每個人都愿意去商場里購物，在購物滿意度問題中，人們常常會碰到如何利用一定量的錢來購買兩種商品的問題，由于我們所帶的錢數是一定的，但是我們更偏愛其中一種商品的時候，那么去買當中一種商品就會比較多，所以我們必然就要少買另一種商品，但是這種情況人們的滿意度就不會很高，那么如何花費一定量的錢，才能使顧客達到最滿意的效果呢？在這一問題中，就要用效用函數來解決，也就是在數學模型當中出現最優解的問題，當人們同時購買兩種產品，要使滿意度達到最大，也就是所列的函數值最大，進而才能使購物分配方案達到最佳。

生活當中經常遇到的問題就是凳子能在不平的平面上平穩嗎？對于這類題首先要用數學的符號語言把凳子的位置和4只腳著地的關系表示出來，我們設凳子的4個角分別設為A、B、C、D，利用正方形（椅腳連線）的對稱性用x表示凳子的位置，其中A、C，兩腳與地面的距離之和設為f（x），B、D兩腳與地面的距離之和設為g（x），我們知道地面是連續曲面，所以兩個函數f（x），g（x）是連續的，其次椅子在任意位置至少三只腳著地，所以對任意的x，f（x），g（x）至少一個為0，所以f（x），g（x）是連續函數，對于任意的x，f（x）·g（x）=0;g（0）=0，f（0）>0。根據這兩個函數，進而來求解。

我們每個人都有過趕高鐵列車的經歷，現在有12名乘客想要去40 km處的一個高鐵列車站去乘坐高鐵，但是現在距離高鐵列車開車的時間就只有3 h了，如果要是步行前去的話，他們的速度是4 km/h，所以靠步行是沒有時間了，唯一剩下的交通工具就是一輛出租車，但是這輛出租車包括司機在內最多只能坐下5個人，出租車行駛的速度是60 km/h，那這12名乘客能趕上火車嗎？對于這類問題，面對不同的搭乘方法會有不同的答案。通常情況會有兩種：第一種就是不能趕上，第二種就是能趕上，針對第一種情況，用出租車接送乘客需要3次，加上出租車需要往返那么一共就是3+2=5次，出租車行駛的總路程為5×40=200（km），時間為200/60=10/3（h）所以全靠出租車是無法全部趕上的。針對第二種情況，出租車接送第一波乘客的時候，讓其他的乘客先步行，這樣可以節省一些時間，設第一趟出租車共用了x小時，這時出租車和其他的乘客的總路程為一個來回，所以4x+60x=40×2解得x=1。25（h）剩下的人與高鐵站的距離為40-1。25×4=35（km）依次類比，第二趟大約需要1.09 h，剩下的乘客與高鐵站的距離大約為30.63 km，第三趟大約需要0.51 h，因此一共用的時間為1.25+1.09+0.51=2.85（h），所以這些乘客是能趕上列車的。

4? 應用總結

通過以上幾個例子，可以初步的了解模型的構建，利用數學建模去解決生活當中各種問題時，建立模型是十分關鍵的一步，建立模型的過程簡單來說就是將各種復雜的實際問題進行簡化、抽象，概括為合理的解釋，對于一些較為復雜的問題，更是需要通過調查，收集資料來抓住一些問題的關鍵，然后利用數學的理論和方法去分析和解決問題。我們要知道數學建模是一種思維方式，不是一個固定的解題方法，所以在面對問題的時候，我們要靈活地處理問題，在建立模型前要做好準備，要知道解決的是什么問題，并且也要把假設的情況想清楚，把不必要的因素或者突發事件考慮周到，為接下來建模做好準備。數學建模的建立卻需要人們對現實問題進行深入和細致的研究，并且仔細觀察和分析，認真思考問題的關鍵，并且巧妙靈活地運用所學過的數學知識去解決問題。不管是在用數學的思想方法在生產領域解決哪一類問題，還是與其他學科相結合來解決問題，首要的和關鍵就在于建立模型，并且運用所學的知識加以計算和求解，在其中計算機技術在生活中的應用可謂是錦上添花。

在生活當中運用數學建模來解決實際問題，可以提高學生的思維水平和解決問題的能力，改變學生學習數學的態度，使學生產生學習數學的興趣，進而更能將書本上的知識轉化為實用的技能，因此數學建模在生活當中的應用無時無刻出現在我們身邊，其在生活當中具有重要作用。

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