分類討論思想在初中數學教學中的應用分析

邱琴

摘 要：分類討論思想是一種非常重要的數學邏輯思想。這種思想在發展學生思維、提高學生的核心素養起著重要作用。在歷年的中考中，有關此思想的數學命題占有重要地位，但對初中學生來說又是一大難點。本文從分類討論思想在初中數學教學中的應用問題和應用策略及類型分析這幾個方面進行闡述，希望有助于實際教學的發展。

關鍵詞：分類討論;初中數學;應用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-8877（2020）32-0096-02

【Abstract】Classified discussion is a very important thought of mathematical logic. This kind of thought plays an important role in developing students' thinking and improving their core quality. In the senior high school entrance examination over the years，the mathematical proposition about this idea occupies an important position，but it is a big difficulty for junior high school students. This paper expounds the application of classified discussion thought in junior high school mathematics teaching，application strategies and type analysis，hoping to contribute to the development of practical teaching.

【Keywords】Classified discussion;Junior high school mathematics;Application

所謂分類討論，就是在研究和解決數學問題時，問題所給對象不能進行統一研究，我們就需要將對象按某個標準區分出為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”.也就是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的解題策略。此思想可以培養學生全面觀察事物、靈活處理問題的能力，有利于初中生數學核心素養的培養與提升。下面對分類討論思想在初中數學教學中的應用進行一些初步探討：

1.教學中，學生在解題時經常出現的問題。

在利用此思想解決數學問題時，學生存在著一些問題有待解決，其一：學生對知識系統掌握的不夠扎實，沒有分類討論的意識;其二：學生認為數學題目比較難，數學思維量比較大，如何進行分類存在著很大問題;其三：學生對分類思想方法的具體應用不是很清晰，在分類中就會存在著不合理之處，也就導致了考慮問題不周全而造成漏解或重復;其四：分類討論的思想有著很多的技巧，程度不好的學生就沒辦法完全掌握。

2.初中數學中分類討論思想在解題中常見的類型

教師要能夠對分類討論思想有明確詳細的認識，這樣才能更好的指導學生。老師要在教材的理解以及教學目標方面有著充分了解，掌握各方面的知識和技能，將專業水平不斷的提升，只有如此，才能將分類討論思想的作用在教學中得到充分發揮。在進行應用分類討論思想的時候，要能將討論的對象以及討論的范圍加以明確化，要能確定同一類的標準，并能科學的對全體對象實施分類，而且分類要做到不重復，不遺漏，然后逐類地加以討論，最后進行綜合性的加以概括和得出結論，需要分類討論的類型主要有以下幾方面：

（1）由數學概念導致的分類討論，利用定義要考慮所有可能的情況;

例1：已知點A（3，0）、C（0，?4）在線段AC上，有一點Q，AQ=4，若在x軸上有一點E，使得以A、E、Q為頂點的三角形為等腰三角形，請求出E點的坐標。等腰三角形的定義中描述：有兩邊相等的三角形為等腰三角形，所以要考慮AE=EQ，AE=AQ，EQ=AQ三種情況，最后得解。

（2）由數學定理、性質、公式的限制條件引起的分類討論;

例2：若xx-2019=1，求x的值。

此題根據：（1）公式x0=1（x不等于0），（2）1n=1，（3）（-1）2n=1這三種情況來分析，得出x=2019，1，-1.

例3：某工廠準備購進甲乙兩種商品，甲種進價80元/件，售價120元/件;乙種進價60元/件，售價90元/件，計劃購進兩種商品共100件，其中甲種不少于65件.

第一，若購進這100件商品的費用不得超過7500元，則甲種商品最多購進多少件？

第二，在第一的條件下，該工廠對甲種商品以每件優惠a（0

第二的解答：設總利潤為w元，因為甲種商品不少于65件，所以65≤x≤75.w=（40-a）x+30（100-x）=（10-a）x+3000.根據一次函數的性質對（10-a）進行討論，（10-a）的不同取值對最值產生影響：方案1：當00，w隨x的增大而增大，所以當x=75時，w有最大值，則購進甲種商品75件，乙種商品25件;

方案2：當a=10時，所有方案獲利都相同，所以隨便哪種方案進貨都可以;

方案3：當10

（3）由數學式子的變形所需要的限制條件引起的分類討論;

例4：若|x|=2，|y|= 3，則x+y等于多少？要考慮x，y是非負數還是負數，才能把絕對值符號去掉，本題要分①x=2，y=3? ②x=2，y=?3? ③ x= ?2，y=3? ④x= ?2，y= ?3四種情形進行討論。

（4）結論存在多種情況，不能一概而論時而引起的分類討論;

例5：求不等式的1-ax>3解集時，要根據不等式的性質對a進行分析。即a>O與a<0這兩種情況進行討論

例6：如圖，拋物線經過A（4，0），B（1，0），C（0，?2）三點.

第一，求出拋物線的解析式;

第二，P是拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由;

第一的解答略，第二∵△OAC是直角三角形，以A、P、M為頂點的三角形與其相似，由于點P可能在x軸的上方，或者下方，分三種情況，每種位置又有兩種情形一是△APM∽△ACO，另一種是△APM∽△CAO，分別用相似比解答;

（5）由圖形的位置和大小的不確定性而引起的分類討論;

例如：⊙O1、⊙O2的半徑分別為13和20，兩圓相交于A、B兩點，且AB的長24，求圓心距O1O2和∠O1AO2（精確到1°）。

此題沒有圖形，所以一定要考慮分類的情況，將不同位置的兩個相交圓畫出，一種是兩個圓心位于AB的同側，另一種是位于AB的兩側。這道題主要是防止題目漏解的情況出現。

3.在初中數學解題中分類討論思想的應用策略

初中數學老師在應用分類討論思想過程中，要對學生的學習情況有充分的了解，對學生這一解題思想的應用情況，針對性的提出幫助，幫助學生掌握分類討論思想的應用。具體策略如下：

（1）轉變教學理念，打破傳統的教學思想模式，通過現代化的教學思想進行教學，緊密和新課程標準相結合，并將學生作為教學的中心，圍繞著學生來展開教學活動，創新性的應用分類討論思想。

（2）制定準確的數學教學目標，對教學中的每個知識點和模塊都要進行精心的設計，滿足學生的實際學習需求。并能通過現代化技術的應用，促進學生的學習興趣和效率的提升，將多媒體技術和網絡技術在課堂中加以應用，營造動態化的教學環境。

（3）在教學中應注重對學生分類討論思想的培養，將分類討論的思想滲透到解題過程中，引導學生仔細觀察，合理展開分類。在分類過程中，善于引導學生簡化討論方法，防止分類過分復雜導致錯誤。并注重提高學生在進行分類討論時的思維縝密性，讓學生在具體的練習中養成分類討論的習慣，了解分類討論的原則 。最后達到利用分類討論思想來提高學生的數學綜合解題能力，這也是新課改的具體要求。

總而言之，初中數學的解題教學中，應用分類討論思想要能遵循相應的原則，這樣才能將分類討論的作用得到充分發揮，對學生的學習效率才能有效提升。分類討論思想的應用中，老師要能夠將教學的內容作為主要的載體，和每個教學環節的特征相結合，然后將分類討論的思想在每個環節中加以融入，通過科學化的方式讓學生能對這一解題思想得以領會并吸收，讓學生確實掌握分類討論的問題的解決方法與策略，才能讓學生學習效率得以提升，才更能利于培養與提高中學生的數學核心素養。

參考文獻

[1]顧燕霞.初中數學思想方法教學策略研究[D].蘇州大學，2017

[2]劉繼和.“分類討論”在初中數學教學中的應用[A].中華教育理論與實踐科研論文成果選編第4卷，2010