數學轉化思想在解一元二次方程中的應用

陳培明

【摘要】通常在學生解決一元二次方程的時候必須要求其重點分析方程的具體特征，然后靈活選擇解決方式。在其所有解決方式之中，公式法是通用方式，配方法是公式法的基礎，最直接的方式有開平方，而因式降次則是解決一些特殊方程最簡便的方法，對于這些方式來說都有一個共性，即轉化思想。基于此，本文就將重點對一元二次方程解決過程中轉化思想的應用策略進行分析。

【關鍵詞】轉化思想 ?一元二次方程 ?應用策略

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）52-0051-02

引言

在數學學科當中蘊含有很多思想方法，其中轉化思想最為典型。從字面意思理解就是將未知問題轉化成為已有知識范圍中問題的一類思想方式。它在不斷轉化之下能夠將原先復雜的、不規范的和不熟悉的內容轉化成為熟悉的、規范的和簡單的問題。在教學過程中教師需要不斷訓練和培養學生的轉化思想，以此提升其思維能力及變通能力，實現觸類旁通。在解決一元二次方程時重點就是先進行降次，將其轉化成學過的一元一次方程然后進行解答。降次本質上就是轉化思想，以下就將重點對其應用策略進行分析。

一、轉化思想概述

轉化一般也被稱為化歸，在數學解題過程中比較常用，其思想實質就是在簡單的、已有的、基本的和具體的知識基礎上，將未知轉化成已知，將復雜的簡單化，將非常規的常規化，將抽象的具體化，由此順利解決各種問題。在初中數學中該思想方法的應用比較廣泛，是解決數學問題最重要的思想之一，包含了數學當中特有的數、形、式的轉化。在數學解題過程當中運用該思想必須要解決三項問題，即為什么要進行轉化、需要將其轉化成什么、以及怎樣進行轉化。

1.數和數之間的轉化

對于四則運算來說，其之間是存在很大聯系的，其中減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，當加數相等的時候，可以直接將加法轉換為乘法。因此在解決數學問題的時候只要能夠把握住這一基本轉化思想，就能夠使很多數學問題迎刃而解。

2.形和形之間的轉化

在初中階段培養學生的空間觀念是非常重要的一項內容，但這些對于學生而言，往往具有很大難度。因此教師在教學的時候通常還會將要學習的圖形轉化成學生已經掌握的圖形，從而促進學生理解和記憶，并找到正確的解題方法。

3.數和形之間的轉化

在解決數學問題的過程中，直接將數轉化成圖形，能夠強化題目的直觀感，進而減少計算過程和計算難度。數與形之間的轉化，能夠把原先抽象的數學語言和直觀的圖形相互結合在一起，由此提升學生思維的直觀性、形象性，從而使問題化難為易。

二、轉化思想在二元一次方程解題中的應用

對于初中生而言，一元二次方程是其學習過程中相對比較棘手的模塊之一，所以教師在教學過程中將轉化思維有效融入進去，能夠更好地幫助學生進行理解和記憶。雖然傳統求根通式是萬能的，但是卻會給學生帶來巨大的計算量，不但需要消耗大量的時間，還會增加學生的壓力以及出錯的概率，所以教師給學生傳授轉化思想極為必要。因此以下就將重點分析當前在一元二次方程解題當中比較常見的幾種轉化思想。

（一）因式分解

通常因式分解對于學生的要求都比較高，重點考查學生的技巧及觀察能力。在因式分解之中就重點用到了降次思想，實現以整劃歸。其具體步驟有四項：第一，先將等式右邊的所有項都移到左邊;第二，把左邊化解成十字相乘的形式;第三，確保每一個分解出來的因式都是0;第四，將兩個式子之中的x解出來[1]。在因式分解之中提公因式法相對比較簡單，也就是直接開平方，這是一種最直接的方式，其本質就是把一元二次方程直接轉化成兩個一元一次方程。例如：2x2+3x=0，就可以分解成為x（2x+3）=0，得到x=0或2x+3=0，最后就能夠得到方程的解為0和。

在其因式分解之中，最難的就是十字相乘法，它主要就是運用了轉化思想。十字相乘法就是運用十字交叉線進行分解：第一步，把常數系數及二次項系數都分解成兩個數的乘積;第二步，把四個數并排排列，使其相互交叉相乘;第三步，將相乘的數都加起來看其最終結果是否是一次項系數，如果不是就要把排列方法轉換成另外兩個數的乘積再繼續進行計算;但是是的話就可以直接將式子按照橫的方式去書寫，最終將答案求出來[2]。

（二）開平方與配方法

在具體教學過程中還可以要求學生運用類比的方式將新知識和舊知識之間的聯系找出來，以此在這樣的類比過程中盡快掌握新的知識內容。配方法的主要原理就是完全平方公式，即a2+b2±2ab=（a±b）2，該方式的主要步驟有五項：第一步，把原方程轉化成一般形式;第二步;給式子兩邊去除二次項系數，從而使其變成1，然后再把常數項轉移到方程的右邊;第三步，給方程兩邊加上一次項系數一半的平方;第四步，進行配方，式子的右邊為常數，式子的左邊是完全平方式;第五步，開方進行求解，并留意常數項的正負情況[3]。

一般這種方式的適用范圍主要為：倘若能夠把式子左邊在進行變形之后轉化成平方的形式，右邊是一個比0大的常數，那么這時候就可以運用這種方式進行解題。主要類型有三種：①x2=a（a≥0）②（x+m）2=n（n≥0）③（mx+n）2=c（m≠0且c≥0）。這些都是運用開方法去解答題目的通式，倘若能夠直接把原式轉化成這幾種，就可以有效提升解題效率。例如（x-5）2 ? ? ?-36=0，將其復原成一般式就是x2-10x-11=0，這樣一來就可以直接看到一次項系數及二次項系數能夠變成平方的形式，通常二次項系數是1的都能夠運用開方的方式將其解答。當二次項系數不是1，例如2x2-10x+25=0，就可以直接變形成（x-5）2=0，這樣就要求一次項系數及常數項。從該方式的運用之中能夠看出來，一方面它把方程形式直接開平方成所要求的形式，也就是對式子進行了轉化;另一方面，它也實現了從未知到已知的轉化。這種方式要求學生必須要準確看出來配方的形式，通過轉化直接將二次方程轉化成一次方程，對于提升計算能力和概括能力具有很大的優勢。

（三）公式法

這種方式本質上就是從配方法當中得出的一種能夠適用所有一元二次方程的通用解法。這主要是因為解決一元二次方程其基本思路就是從復雜到簡單的轉化，只要可以確定出方程的各項系數就能夠運用方式將方程的根求出來。因此從這一點上也能夠看出來公式法的通用性。這種方式的出現能夠解決以上幾種方式存在的缺陷：第一，系數比較大，使用配方運算相對來說比較煩瑣;第二，方程并無實數根要花費大量的時間去進行配方[4]。公式法的實質與配方法是一樣的，即將一元二次方程降次成一個一元一次方程，然后再把答案算出來。運用公式法的主要目的就是為了直接縮減配方過程，將固定的公式套入進去。這一方式也重點體現出了轉化思想。

結束語

總的來說，對于初中生而言，一元二次方程是極難攻克的一項問題。從以上分析之中能夠發現，要想準確解決該問題就必須要將其轉化成一個比較容易的問題或者是已經解決的問題，也就是必須要把新內容轉化成舊內容，將未知轉化成已知。因此教師在教學過程中就需要重點培養學生的轉化思想，進一步提升數學素養，以此給后續的數學學習打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]朱文澤.例談數學核心素養如何落實在課堂——以“一元二次方程的解法”為例[J].文理導航（中旬）， 2019（3）.

[2]陳兆宏.巧用數學思想方法解一道二元一次方程組試題[J]. 中學數學教學參考， 2018（18）.

[3]覃秋紅.化歸思想在數學解題中的應用[A].2018年“提升課堂教學有效性的途徑研究”研討會[C]. 2018.

[4]渠英.解決一元二次方程問題時常用的四種數學思想[J]. 初中生世界， 2014（39）：22-24.