初中數學分層走班教學探究
——以《函數的性質》為例

陸 京

一、分層走班教學的時代背景

“分層走班”是現代教育改革發展的必然產物，是為滿足學生個體發展的需求而產生的。初中階段的學生面臨著個體發展差異性日趨擴大、兩極分化愈加明顯的現象，而“分層走班”教學為解決這一現狀提供了較好的途徑。初中學生的分層走班教學是在不打破行政班級的前提下，根據學科特點，將行政班兩兩打通，根據學生學習知識的能力，將學生分為A層和B層，在不同的層次班級上課，以達到讓學生自身接受新知、獲得課堂效率和學習成果的最大化。本文將以初中數學學科分層走班為例，通過九年級上冊第一章第三節二次函數的性質為例，闡述分層走班教學的形式、內容和學生學習的效果。

二、分層教學過程展示

1.教學目標

(1)從具體函數的圖像中認識二次函數的基本性質；

(2)了解二次函數和二次方程的相互關系；

(3)探索二次函數的變化規律，掌握函數的最大值(或最小值)及函數的增減性概念，會求二次函數的最值，并能根據性質判斷函數在某一范圍內的增減性。

2.教學重點與難點

(1)教學重點

二次函數的最大值、最小值及增減性的理解和求法；

(2)教學難點

二次函數性質的應用較為復雜，是本節教學的難點。

3.分層教學流程

(1)AB分層課前前測

每節課前都要求AB層學生完成課堂預習，前測作為課堂預習的檢驗也需要分層處理，本節課的前測內容如下。

A層前測

①二次函數y=x2-2x-3的圖像如圖1所示，當y＜0時，自變量x的取值范圍是______。

圖1

圖2

②如圖2，已知拋物線與x軸的一個交點A(1，0)，對稱軸是直線x=-1，則拋物線與x軸的另一交點坐標是( )。

A.(-3，0) B.(-2，0)

C.(0，-2) D.(0，-3)

③已知二次函數y=4x2-mx+5，當x＞-2時，y隨x的增大而增大；當x＜-2時，y隨x的增大而減小，則當x=1時，y的值是( )。

A.28 B.17 C.1 D.25

B層前測

①已知拋物線y=-(x+3)2-5，則此拋物線的函數值有( )。

A.最小值-3 B.最大值-3

C.最小值-5 D.最大值-5

②拋物線y=x2-5x+4與x軸的交點坐標為_______，與y軸的交點坐標為_______。

③對于二次函數y=-(x-2)2+3，當x______時，函數值y隨x的增大而減小；當x______時，函數值y隨x的增大而增大。

設計意圖：由于AB層學生的程度不同，因此對AB層學生提出的預習要求也不同，設置的課前前測內容的難易程度也有所不同。這項作業在課前完成，花費大于3至5分鐘，教師可以通過學生前測的情況了解學生的預習情況，學生也可以根據自己的前測結果，評估自己的不足之處，可以帶著問題來上課，讓課堂成為學生解惑的地方，為提高課堂效率打下基礎。

(2)分層課堂例題剖析深度對比

例題：已知函數y=-0.5x2-7x+7.5

(AB層)①求函數的頂點坐標、對稱軸，以及圖像與坐標軸的交點坐標，并畫出函數的大致圖像；

(AB層)②自變量x在什么范圍內時，y隨x的增大而增大？何時y隨x的增大而減小？并求出函數的最大值或最小值。

(A層)③在此拋物線上有兩點A(x1,y1)，B(x2,y2),且x1＞x2＞0，試比較y1與y2的大小。

(A層)④該拋物線是由拋物線y=-0.5x2怎樣平移得到的？

設計意圖：本題的第①和第②題都是圍繞本節教學重難點展開，學生掌握了這兩題就基本完成了本節課的教學任務。對于B層學生來說，每一小問都要深入詳細地講解，速度可以放慢一些，多提問學生，舉一反三。對于A層學生來說，在預習的基礎之上，大部分學生是可以獨立完成題①與②，因此可以讓學生上講臺來進行解答。題③是對二次函數性質的應用，利用性質可以很快找到解決的方法，這是A層學生可以探討和研究的，也是對這道例題進行的加深，學生也可以通過小組討論得出解決方法。題④是對圖像和平移的應用，有助于A層學生提高思考能力。

(3)分層課堂鞏固提升環節對比

(A層)已知二次函數y=-x2-2x+3的圖像與x軸交于A，B兩點(點A在點B左側)，與y軸交于點C，圖像的頂點為點D，利用圖像判斷，當x滿足什么條件時，0≤y≤3(由學生獨立思考，限時3分鐘，然后進行小組討論)？

(B層)已知二次函數y=2(x-1)(x-m-3)(m為常數)。

①求證：不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點(由學生獨立思考完成)。

②當m取什么值時，該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方(由學生獨立思考，限時3分鐘，然后進行小組討論)？

設計意圖：A層題目的設計，既要求學生利用圖像完成在此過程中涉及到求出二次函數的“五點”，同時又與常規的二次函數性質題不同。常規的題目會讓學生根據x的情況判斷y的范圍，而此題用了逆向思維，由y的范圍來判斷x應滿足的條件，增加了難度和深度，激發了學生的探索精神，使學生能夠更好地利用圖像來解決二次函數的性質問題。

B層題目的設計，由淺入深，讓學生有一個充分的適應和過渡過程，在學習二次函數性質的基礎上，能夠利用圖像求出與函數有關的交點問題。通過獨立思考與小組討論相結合的方式，激發每位學生的能動性，有效提升課堂效率。

(4)分層教學作業布置

A層作業

①如圖3，已知點O(0，0)，B(2，1)，拋物線l：y=-(x-h)2+1(h為常數)與y軸的交點為C。

圖3

1)經過點B，求它的表達式，并寫出此時l的對稱軸及頂點坐標；

2)設點C的縱坐標為yc，求yc的最大值，此時l上有兩點(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1＞x2≥0，比較y1與y2的大小。

②如圖4是二次函數y=ax2+bx+c的圖像的一部分，圖像過點A(-3，0)，對稱軸為直線x=-1。給出以下結論：1)abc＜0；2)b2-4ac＞0；3)4b+c＜0；4)若為函數圖像上的兩點，則y1＞y2；5)當-3≤x≤1時，y≥0。其中正確的結論是________(填寫代表正確結論的序號)。

圖4

③已知函數y1=kx2-(2k+1)x+(k+1)(k為實數，且k≠0)。

1)求證：無論k為何值，該函數圖像與x軸總有兩個公共點；

2)若一次函數y2=(k-1)x+2k-1的圖像與y1的圖像經過x軸上的同一點，求k的值。

B層作業

①已知函數y=ax2-2ax-1(a是常數，a≠0)，下列結論正確的是( )

A.當a=1時，函數圖像過點(-1，1)。

B.當a=-2時，函數圖像與x軸沒有交點

C.若a＞0，則當x≥1時，y隨x的增大而減小

D.若a＜0，則當x≤1時，y隨x的增大而增大

②已知拋物線y=x2+2x+m-1。

1)若拋物線與x軸只有一個交點，求m的值；

2)若拋物線與直線y=x+2m只有一個交點，求m的值。

③已知二次函數y=-x2-2x+3的圖像與x軸交于A，B兩點(點A在點B左側)，與y軸交于點C，圖像的頂點為點D。

1)求點A，B，D的坐標；

2)畫出這個函數的大致圖像；

3)利用圖像判斷，當x滿足什么條件時，0≤y≤3。

設計意圖：A層學生的作業具有一定的高度，除了掌握二次函數性質的基礎題之外，在此基礎上作了進一步的加深。第一題為基礎知識的鞏固并且能利用圖像很快地比較y1與y2的大小。第二題綜合性較強，要求學生熟悉二次函數a、b、c的判斷、對稱軸的應用以及性質的綜合應用，對學生的能力有一定要求。第三題是一個發散提升題，第一小題證明拋物線與x軸的交點，既可以用Δ法，也可以根據y=0時的求值法，讓學生感受一題多解。第二小題對學生的能力有一定的要求，適合A層學生的能力發展。

B層學生的作業以扎實基礎為主，由淺入深，對二次函數的性質進行數形結合的綜合應用，難度適中，符合B層學生的學習能力，并且也能激發B層學生的學習新知和攻克問題的欲望。

(5)教學效果反饋

通過這節課，AB層學生基本能掌握二次函數的性質，并且能夠應用在圖形和一些綜合題中。對A層學生來說，不僅掌握了基礎的用法，而且綜合解題能力也有了提升；B層學生也通過由淺入深的學習，加深了二次函數性質的認識，AB層學生都得在自己的能力范圍內，做到了學校效率最大化。

三、分層教學反思

通過AB分層，切實做到了從學生自身出發，課前、課中和課后設計都緊密聯系學生的特點，盡量讓每位學生都能得到提升，大大提高了課堂效率。分層教學讓優等生更加優秀和拔尖，讓基礎中下的學生獲得自信，重新燃起對學習的動力。在分層中也有值得我們注意的方面，比如對于分層標準的界定，既要公平合理、有利于學生發展，又要考慮人數和行政班級的情況。另外，處于AB分層臨界點的學生，可能會出現在A層不太跟得上、在B層又有些“喂不飽”的現象，教師要多關注他們的課堂表現和作業情況，及時發現問題和解決問題，確保他們能在原有的基礎上得到提升和發展。