立足“HPM”，彰顯數學文化

周作雄

【摘要】“HPM”以其豐富的數學概念、思想、方法，深邃的人文底蘊，成為課程資源開發的重要載體。立足“HPM”M，對數系教學做出優化和改進，其目的在于激發學生學習興趣、發展其數學核心素養，建構其正確的數學觀的同時提升質量、彰顯數學文化。

【關鍵詞】HPM;數系教學;數學核心素養;數學文化

在《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》中，對核心素養進行了明確界定，核心素養系學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。在教育部最新頒發的課程標準中，就把如何發展學生的核心素養作為貫穿課程標準的主線，高中新課程實施中要將它將全面實施并展開。在《高中數學課程標準》中，提出了6個核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析，教師如何在自身課程實施中實現發展學生數學核心素養，并以此為目標，成為當下數學教學研究一個熱點問題。

學科核心素養的提出，其目的在于將以知識為中心教學目標向能力為核心教學目標轉型，所以我們的教學不應當只是一種單純的知識教學，還應該是一種以發展學生能力為主導的教學，這其中，數學文化就起著十分重要的作用。在這個教育背景下，我們的教學就應當將知識教學與文化教學進行緊密的結合。在我們的數學教學中，要培養學生的數學核心素養，必須考慮加入數學的相關文化，因為它扮演著一個不可或缺的角色。其實，在2003年頒布的《普通高中數學課程標準》中，已經明確了數學文化具有的價值，“數學課程應當適當的反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學的推動作用，數學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神。數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀?！?/p>

一、“HPM”：教學融入數學文化的載體

“HPM”是History and Pedagogy of Mathematics 縮寫，中譯為數學史與數學教育。“HPM”有兩方面的含義：其一是指在國際數學教育會議上專門討論數學史和數學教育融合的研究團隊;其二是指這個團隊的研究對象“數學史如何與數學教育融合在一起，共同促進學生的發展。”“HPM”的功能有宏觀與微觀之分。宏觀上：①貫通數學的歷史，把握數學發展的脈絡，加深對數學概念、方法、思想的理解;②整合數學學科，理清數學學科的關系，體會數學創造過程;③把數學從課內導向課外，形成對文化的歷史認同感;④傳承數學史的文化，給予數學以人文的一面。微觀上：①增強學生的學習動機;②幫助學生形成正確的數學觀;③有助于學生保持對數學的興趣。其中汪曉勤教授將其總結為：“HPM”不僅可以激發學生的學習興趣，培養學生的數學精神，啟發學生的人格成長，預見學生的認知發展，指導并豐富教師的課堂教學，促進學生對數學的理解和對數學價值的認識，構建數學與人文之間的橋梁。

作為數學老師，我們應該如何將數學文化元素融入教學呢？喻平教授給出了他的建議，他認為數學老師首先在教學設計時就要思考這樣三個問題：①為什么我們要研究這個數學知識？②我們應該如何去研究這個數學知識？③這個數學知識它有什么樣的意義與價值？思考完這三個問題后，數學文化的味道馬上就出來了。第一，為什么我們要研究這個數學知識？這個問題必然與我們的數學史相關聯，我們就會去數學史中去尋求我們的答案。尋找這個問題的起源，同時從社會需求以及數學學科發展需求兩個方面去思考，從而揭示陳香的數學文化。第二，我們應該如何去研究這個數學知識？這與我們的數學思想方法相關，數學思想方法是我們數學文化中的精髓，通過揭示其中的思想方法，來宣揚科學家的理性精神、求實態度，由此彰顯深邃的數學文化。第三，這個數學知識它有什么樣的意義與價值？我們老師就會去思考這個數學知識有什么社會價值、文化價值以及科學價值、以及有什么美學的價值？或者是有什么思維訓練的價值，等等，由此便可以散發濃郁的數學文化來了。顯然，思考前面兩個問題就與HPM產生必然聯系，因此，“HPM”中教學融入數學文化的一個重要載體。

二、數系發展：寫實記錄數學文化的跡印

在中學數學內容中，數的擴充如圖1所示。這是一個簡單的圖示，其實是經歷了一個漫長的歷史過程形成的，里面充滿了許多故事，留下了濃墨重彩的數學文化跡印。

負數產生的歷史。我國古代著名的數學專著《九章算術》中，最早提出了正負數加減法的法則，三國時期的學者劉徽（公元225-公元295）對《九章算術》作了詳細的注解，并最先給出了正負數的定義。東漢末年時期的劉烘（公元206年）、宋代的楊輝（1261年）也著書提到了正負數的加減法則，元代時期的朱世杰）不但給出了正負數同號異號的加減法則，同時還給出了正負數的乘除法則，所以它在前人的基礎上又前進了一步。但是，負數在國外被認可和被接受，比我國要晚很多。在印度，數學家婆羅摩笈（Brahmagupta，公元前598-公元前668）多于公元628年才認識負數可以是二次方程的根，歐洲是在14世紀，當時在數學方面最有成就的法國數學家丘凱（ChuQuet）還把負數當成是荒謬的數，不給予理會它。一直到十七世紀，荷蘭有出現了一個叫日拉爾的數學家，他最先開始認識并使用負數來解決幾何問題。

無理數的故事。一群畢達哥拉斯的門徒地海上泛舟，其中一位學者看著遼闊的海面興奮地說：“畢達哥拉斯先生的理論是多么的正確啊！你們看這大海的波浪一層又一層，波峰浪谷，就好像偶數和奇數相間一樣，所以我們的世界就是數字的秩序。”“是的，是的?！边@時一個正在搖槳的大個子插進來說：“就說這小船和大海吧。用小船去丈量這海水，肯定會得出一個精確的數。一切事物之間都是可以用數字互相表示的。”

這時船尾的一個名叫希帕索斯的學者突然提問了，他說：“我看不一定，要是量到最后，不是整數呢？”有人說：“那就是小數?！毕Ｅ了魉菇又賳枺骸耙沁@個小數，它除不盡，也不能循環，怎么辦？”有人馬上回答“這是不可能的事，世界上的所有的東西，都應該可以用數字，把它直接準確地表達出來的?！边@時，希帕索斯瞥了一眼，然后說道：“世界上一切事物不一定都可以用我們現在知道的數來表示吧，就拿直角三角形來說，假如它是一個等腰直角三角形，我們就無法用一個已知數來表示斜邊?！边@時候，一個劃船男人一聽這話就不開心了，并且大叫呵斥道：“不可能，畢達哥拉斯的話放置四海皆是正確的。”于是，希帕索斯伸出自己的雙手，用手的兩個虎口比作一個等腰直角三角形，然后說道：“如果大拇指直邊和食指直邊都是3，那么等腰直角三角形的斜邊是多少？我已經算過很多遍，所有的已知等腰直角三角形，它的斜邊都不能用一個整數表示出來?！彼倪@話像一聲晴天霹靂，全船的全員聽到后都憤怒了，然后大聲地罵道：“你敢不認可畢達哥拉斯先生的理論，想破壞我們的信仰！敢不相信我們的世界是由數字組成?！毕Ｅ了魉惯@個時候表現得十分的冷靜，并說道：“這是我的新發現，我應該被獎賞，而不是在這里被你們侮辱。你們可以去證實，看我說的是否正確？”然而當時船上所有的人，他們根本聽不進去他的解釋，對他大聲吼道：“你就是個叛逆！我們學院沒有你這樣的學生?！边@時開始有人起哄，說道：“打死他！批死他！”一個壯漢沖上來，就是一拳。希帕索斯口吐鮮血說道：“你們無視科學，你們這群土匪、強盜、莽夫！”這時，人群中又有人喊道：“我們要捍衛我們學派的信仰，它永遠對的?！比缓笥钟幸粋€人高馬大的人也沖過來，奮力將他抱起，說道：“癡人說夢，去海里好好地清醒一下吧！”說著就把我們主人公扔進了海里。洶涌的海水很快將他給淹沒了，然后他就再也沒有回來了。一位這么有思想、有才華的數學家就這樣被一群無知的信徒給殺害了。

在這次事過去很多年以后，不少畢達哥拉斯學派的成員也慢慢發現，不但等腰直角三角形的斜邊，而且我們的圓，還有那個數字3.14159265358979……更是永遠也無法用整數來精確表示的。慢慢地，信徒們開始后悔了，后悔殺死希帕索斯的魯莽行動。最后人們也漸漸明白，除了我們所認識的有理數之外，還有一些無限的不循環的小數，它確實是一種的數，是新發現的一類數，它的名字就叫做“無理數”。

由無理數引發的數學史上第一次數學危機一直延續到19世紀。1872年，德國數學家戴德金（Julius William Richard deakin，1831-1916）從連續性的范圍出發，用有理數的“分割”來定義我們的無理數，并把無理數和有理數擴充到了實數范圍內，有了實數理論的科學基礎，無理數由此也結束了，它“無理”的時代，它的結束，也標志著數學史上持續2000多年的第一次數學危機得到解決。

虛數的故事。虛數誕生于歐洲文藝復興時期的三次方程求解。我們知道，二次方程可有簡單變換，得到通解公式，當判別式為負值時無解。到了14世紀，數學家開始探索三次方程的求解，這個過程耗費了幾代數學家的心血，直到16世紀的意大利數學家西皮奧內·德爾·費羅（Scipione del Ferro，1465-1526年），首次得到了標準形式三次方程的通解，但費羅并未把他的解法公布出來，而是帶進了墳墓。另一位數學家塔塔里亞（Nicolo Tartaglia，1499-1557年），在1535年得到了同樣的通解公式，和他的前輩費羅一樣，豐塔納也秘密保守他的發現。另外一位數學家卡爾達諾（1501-1576年）聽說了塔塔里亞知道三次方程的求解，于是卡爾達諾就去請求告訴他關于三次方程的相關解法，塔塔里亞在卡爾達諾多次的請求下，告訴了他三次方程的求解公式，但并未傳授三次方程公式的推倒過程。

方程的求根公式為：

卡爾達諾守著他的承諾，保守三次方程的求解秘密，直到他聽說了費羅的故事，才得知原來塔塔里亞，并非第一位得到三次方解的人，這時卡爾達諾認為他對塔塔里亞的承諾已經沒有意義。1545年，卡爾達諾出版了他的數學名作《大衍術》，在書中他給出了塔塔里亞的求解公式，并發表了三次方程的解法，他在書中做了一個重要的突破，把這一解法推廣到了三次方程的一般解。

然后虛數i，就隱藏在這個看似復雜的公式當中，這個公式蘊涵了一個新數學領域的誕生，她需要一位超級天才去發現。從卡爾達諾的《大衍術》開始，200多年時間中，人們不斷遇到負數的開方問題，但采用不以敢承認和回避的態度，于是虛數一直披著神秘莫測的外衣，到了1797年，威賽爾給出了虛數的圖像表示，后來高斯在平面直角系中就建立了點與復數之間的一一對應關系，并提出用數偶（a，b）來表示a+bi，這樣才確立了復數的合理地位。

這些故事展現了數學真理發現的艱辛歷程，反映了人類文明推進的艱難，同時，更加彰顯了科學家不屈不撓探求真理的執著和為科學獻身的精神。數系的發展史蘊含豐富的文化元素、厚重的文化積淀，如果不挖掘這種以內隱形式潛藏于知識深層的課程資源于教學之中，無疑是一種莫大的浪費、資源的流失。

三、文化融入：數系教學的不同形式

HPM融入教學的方法有許多，其中就包括：介紹歷史上數學家的故事;運用數學史引入新概念;講授“數學史”課;利用相關歷史史料的教材設計來布置課堂練習和課后作業;舉辦數學歷史主題的班會;借鑒歷史發展，設計話題式的教學;以及探索過去數學史上的數學錯誤、另類觀點來幫助今天的學習者理解并解決他們的困難等等。汪曉勤教授把“HPM”融入到課堂教學的方式歸納為四種方式（如圖2所示）：

①附加式：講解數學數學家軼事與生平;②復制式：將數學家的解題方法直接呈現;③順應式：根據歷史史實，合理改編數學素材;④重構式：重構知識發生發展的過程。

（1）以順應式的方式將“HPM”融入負數的教學設計

1.情景設計

師：同學們能用以前學過的知識來解決下列問題嗎？

（1）小夢買練習冊一共花了4.5元錢，現在她有了5元錢，她還剩多少元？

（2）若小夢手上只有4元錢，她能買到想要的練習冊嗎？為什么？

生：用小夢手中的錢減去本子的價格得：5-4.5=0.5。

師：那么第二問該怎么解答？（引導學生第二個問題也用手中的錢數減去本子的價格）

生：老師，我只會列出式子，不能得出答案：4-4.5=？

師：其他同學是不是也是這樣的答案，不夠減？

（設計意圖：從具體生活情境引入，引導學生逐步抽象出數學問題，并通過構造無法計算，不能減的認知沖突，激發起學生的求知欲，從而培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學計算等素養）

2.數學相關歷史介紹

師：大家現在還不怎么會做，其實是很正常的，老師可以理解，因為在我們歷史上，有許多的數學家也都曾經被這個所問題困擾呢！如代數學鼻祖丟番圖，他在其《算術》中稱4x+20=4方程是沒有意義的。同樣，斐波拉契在《花朵》中稱方程x+36=33是沒有根據的。如何解決困惑呢？我國古代杰出的數學家劉徽給出了區分的方法。他用正算赤，（下轉第23版）? ? ? ? ? ? ?（上接第22版）負算黑來表示。所以我們也可以借用前人的方法，用紅黑顏色的數來加以區別。

我們不妨以較大的數減去較小的數的結果來表示運算結果，只是為了區分，我們用黑色來表示，即把這個結果用黑色的數來表示區別。因此，4-4.5=0.5。

師：那么，以下的式子結果等于什么？0-2=？0-4=？0-6=？

生：我是模仿了上面的方法，得2，4，6。

師：我們知道，加法和減法互為逆運算，那么下面運算結果是多少？2+2=？4+4=？5+5=？

生：很快得出結果：0。

師：那么，以下式子結果等于什么呢？0-2=？0-4=？0-5=？

生：我的答案是：2，4，5[師]完全正確。

師：我們把這里的這種特殊的黑數稱為負數。而我們原來的數除了0以外的數，稱為正數。負數的表示是在相應的正數前面加符號“-”，例如上面的2，4，6，我們可以表示為：-2，-4，-6。

（設計意圖：這種引入是建立在小學生的認知基礎之上的，更能引起他們的興趣，培養他們的數學思維，同時有利于打造濃濃的數學人文課堂，對于培養小學生的創新精神和數學核心素養起著舉足輕重的作用）

3.課后引入

老師可以將有關負數的發展歷史史料提供給學生，讓學生對于負數有更深的了解。

（設計意圖：將有關負數的發展歷史作為史料提供給學生，進一步破除他們對負數的困惑和恐懼感，以及指導學生探究學習，彰顯數學的文化魅力，使數學學習成為學生們獲得知識、形成方法、感悟價值、提升素養的生命歷程）

（二）以附加式的方式將HPM融入無理數的教學設計

1.視頻引入

讓學生觀看《科學世界》中視頻，通過視頻中，人類如何尋找地球外的生命，以及發射“勾股定理圖”來作為與外星文化取得聯系的信號，來提出本節課需要探究的問題：為什么勾股定理圖可以作為與“外星人”聯系的信號？

（本環節設計意圖：巧妙地視頻引入，激發學生的對勾股定理的興趣，以及思考勾股定理有何魅力，可作為外星文明溝通的橋梁）

2.插入故事

師：同學們，現在老師給大家介紹一下畢達哥拉斯的故事。（插入前面“無理數的故事”）

（本環節設計意圖：巧妙得借助無理數的故事，將學生帶入了無理數的世界。通過數學史再現，讓學生感受到數學知識發生的動人歷程，以及體會數學家為數學真理而奮斗甚至獻身的崇高精神）

3.動手實踐

師：請學生拿出課前準備好的紙和剪刀，動手剪一剪，拼一拼，設法得到一個經典的畢達哥拉斯的勾股圖（如圖3所示）。思考這樣一個問題：在直角三角形中，若兩條直角邊長為a，b，斜邊為c，則有a2+b2=c2。若a=1，b=2，則c2=12+22，即c2=5，則c是有理數嗎？

師：有理數包括什么？

生：整數和分數。

師：c2=5是整數？是分數？

生：22=4，32=9，所以c應該是在2和3之間，故c不是整數。

生：分數不可能，兩個相同的分數相乘都為分數，所以c不可能是分數。

師：回答得很好。我們把上述c2=5中，c既不是整數，又不是分數的數稱之為無理數。

（本環節設計意圖：培養學生動手實踐能力的同時，促進其對畢達哥拉斯學派成就有深入的了解，從而給學生普及更多的人文味的數學）

4.課后引入

選做題：以小組為單位的形式，讓他們去查閱以及收集無理數相關的數學史料，作為數學知識分享會或者班級數學角的宣傳資料。

（設計意圖：讓學生在查閱無理數的數學史料過程中，對數學的發展產生一定的熟悉和相應的認知，從而擴大他們在此方面的了解、增加他們的知識面，讓初中階段的學生了解到數學學科中的每一個知識都不是簡單地產生的，從而激發初中階段的學生對數學未來領域的好奇心。）

（三）以復制式的方式將“HPM”融入復數教學設計

1.問題引入

師：意大利數學家卡爾達諾曾經困惑于這樣一個問題：求同學們是否可以幫其求解？

生：

生：因為，所以，又因為，所以此方程無解。

師：兩位同學的回答都很棒，但都不是正確答案。那么此方程的答案究竟是怎樣呢？老師先保持一下它的神秘感。

（設計意圖：通過引入意大利數學家卡爾達諾在對“求的問題，在實數域上無解的過程來引起學生的認知沖突，同時讓學生初步感知虛數的存在。）

師：接下來，我們再來看一下德國數學家萊布尼茨所困惑的問題：求解方程：，還是有請同學們幫他求解一下。

生：，再將其代入得.令，所以此方程無解。

師：回答的非常不錯，值得表揚。但是很遺憾，沒有回答正確。此方程真的無解嗎？

（設計意圖：通過再引入萊布尼茨對的解題困惑，再次激起學生認知沖突。同時讓學生們去感受虛數和實數之間是存在某種聯系的，從而為學生的學習創造動機）

2.數學相關歷史引入

師：我們來看看虛數引入的歷史，插入前面“虛數故事”。

（設計意圖：復制式教學可以促進學生的理解，在數學與歷史之間架設一座橋梁，使得學生可以發展其思維和想象，培養其文化素養。其次，讓學生體會歷史相似性，了解前人對虛數的發現過程并不是一帆風順的，并告誡他們在以后的學習過程中不要輕言放棄）

3.課后引入

選做題：以四人一組的形式，讓他們去查閱復數相關的發展史料，下節課圍繞學生收集內容進行進一步的展開討論以及延伸，最后可收集優秀學生的資料，指導其發表相關虛數論文。

（設計意圖：高中階段的學生團結、協助能力已經具備，讓他們討論、整理以及發表數學史小論文，不僅可以完善其對數系認識的整體框架，還可以添補其數學文化歷程。這一做法有效的激發起了學生對于數學文化的探究的熱情以及為數學發展奮斗終身的志向）

數系的發展史蘊含豐富的文化元素、厚重的文化積淀，充分挖掘其價值，恰如其分地切入，不僅可以契合學生學習認知、激發求知欲、增強數學文化的提升以及數學觀的建立，而且對于彰顯中國數學歷史文化、培養民族自豪感、以及發展數學核心素養都有同工之妙。

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