土木工程專業研究生有限單元法課程教學改革初探

江巍，劉章軍，吳勃

摘要：針對當前土木工程專業研究生有限單元法課程教學中存在的問題，文章從教學內容、教學方法、教學手段等方面進行探索。在強化有限元基本理論和程序基本框架教學的基礎上，優化整合教學內容以滿足學生的多樣化需求，按“理論講解—程序設計—案例分析”的環節組織各類單元形式的教學，綜合運用多種教學手段以激發學生的參與感和學習興趣。上述措施可有效改善土木工程專業研究生有限單元法課程的教學效果，培養研究生的實踐和創新能力。

關鍵詞：土木工程專業;有限單元法;教學改革;研究生教育

中圖分類號：G643 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2020）01-0170-04

一、引言

作為最具代表性的數值模擬方法之一，有限單元法以其強大的適應性和通用性在多個學科得到應用，其計算精度和計算效率可靠，以其為理論基礎的大型商業軟件（如ABAQUS、ANSYS、ADINA等）為廣大工程技術人員所接受。隨著國家工程建設的飛速發展，有限單元法已經成為土木工程領域分析復雜工程問題的重要工具，運用有限單元法解決實際工程技術問題和進行科學研究已經成為土木工程專業研究生必備的基本能力之一[1]。因此，有限單元法相關課程在土木工程專業研究生課程體系中不可或缺，以筆者所在高校為例，“有限單元法及程序設計”為土木工程學術學位碩士研究生的學科基礎課，同時為建筑與土木工程專業學位碩士研究生的專業基礎課。

有限單元法及其程序設計的理論基礎涉及了數學、力學、計算機科學等多個學科分支，其實踐運用對象囊括了建筑、交通、巖土、地質災害等各類具體問題。該課程的學習可進一步錘煉研究生的數學力學功底，同時培養研究生針對具體工程問題進行模型提煉和分析研究的能力。然而，當前土木工程專業研究生有限單元法課程的教學效果不甚理想[2，3]。本文結合筆者所在高校開展的土木工程專業研究生有限單元法課程教學改革實踐工作，對如何優化有限單元法課程的教學內容和如何變革教學方法進行探討，以期促進教學水平和學習效果的提升。

二、土木工程專業研究生有限單元法課程教學過程中存在的幾個問題

1.預備知識不足導致教師實施教學困難。有限單元法的理論學習與實踐應用需要多學科預備知識的前期積累和熟練運用，然而在課程教學中發現，相當比例研究生的預備知識與有限單元法學習的要求不能匹配，其原因是多方面的。首先，課程體系中預修課程設置不合理。一般來說，數值分析、彈塑性力學、編程語言等為學習有限單元法的基本預備知識，如果學生缺乏相關知識儲備，則會造成學習困難，然而土木工程專業研究生的課程體系中數學、力學類課程要求相對較低，以筆者所在高校為例，土木工程專業研究生培養方案中“數理統計”和“數值分析”均為學位課，學生只需選擇其中一門課程學習即可。其次，學生對預備知識的運用熟練程度不足。有限單元法學習所需的部分預備知識可追溯至本科開始階段，如“編程語言”，其在土木工程本科階段后續課程學習和實踐實習中使用頻率不高，大部分學生對相關內容早已生疏。

2.不斷縮減的課程教學學時與不斷豐富的教學內容之間的矛盾。隨著高校教育改革的持續推進，專業課課程教學學時壓縮已經成為一種普遍現象[4]，有限單元法課程的教學學時也未能例外，筆者所在高校由以前的64學時壓縮至48學時。雖然有限單元法的經典理論部分已經形成了比較完善的體系，但隨著基礎理論研究的不斷進步和工程應用對象的日益豐富，一些新的有限元技術如廣義協調元、擴展有限元、比例邊界有限元等已經形成且在實際應用中得到推廣[5]，有限元解決的工程問題也愈加復雜，如多場耦合問題、斷裂接觸分析、結構動力響應等[6]。在課程教學學時不斷壓縮的條件下如何有效融入有限單元法的最新理論進展，引導研究生追蹤科學研究前沿，是值得深入思考的問題。

3.研究生學習需求的多樣化。土木工程專業研究生對于有限單元法課程的學習需求，主要取決于研究生的研究方向和學習目的。高校土木工程專業研究方向的分布與其自身特色和優勢學科密切相關，以筆者所在高校為例，其涉及了房屋建筑、道路橋梁、巖土工程、地質災害防治等多個類別的方向。一般而言，房建、道橋等研究方向的研究生對基于結構力學的有限元更感興趣，而巖土、地災等研究方向的學生則覺得基于彈性力學的有限元更為實用，基于不同力學的有限元其對應的主流商業軟件也不一樣。根據近年來該課程教學反饋情況，研究生的學習目的存在三個層次的區別。第一個層次為希望可以更好地使用商業有限元軟件并對計算結果給予正確的分析，這類學生希望可以獲得更多商業軟件應用方面的知識。第二個層次為希望實現創新性成果（如通過實驗建立的新的本構關系等）的有限元程序實現或在商業軟件基礎上進行二次開發，這類學生希望對程序設計方面進行更多的實際操作練習。第三個層次為希望由有限元方法起步熟悉計算力學，為進行數值計算方法研究或攻讀博士學位奠定基礎，這類學生則希望教師加強對相關數學力學基礎的補充，并對相關公式細節進行仔細的講解。研究生學習需求的多樣化，導致教師在組織教學材料上很難同時滿足所有需求。

4.程序設計教學環節薄弱。有限單元法的程序設計教學是該門課程教學不可割裂的部分，通過編程練習可讓研究生加深對有限元理論公式的理解，建立起有限元從理論到具體應用的理性認識。然而，目前有限單元法課程在程序設計教學環節做得不甚理想。（1）程序設計教學受到多方面教學條件的制約，如教學學時不足、學生機房資源不足、有限元教學程序缺乏通用權威等。（2）通常某個專題的程序設計教學在理論知識教學完全結束之后才正式進行，兩者之間的銜接不到位導致學生難以將代碼和理論之間對應聯系。（3）程序代碼的編寫和調試乏味無趣，學生易產生畏難情緒。（4）目前有限元課程結業很少考查學生程序設計的水平能力，導致學生重視程度不夠。如何加強程序設計教學環節的教學質量，仍然需要進一步探索。

三、有限單元法課程教學內容的優化

有限元方法課程系統講解了有限單元法的基本原理、程序設計和如何應用有限元去解決實際問題，其內容囊括了有限元方法的數學力學基礎、程序設計的一般框架和基本技巧、各類單元的特性、方程推導和程序實現、不同工程問題的有限元方法解決、常見商業軟件的應用等。在課程教學學時壓縮的背景下，有限單元法課程教學內容的優化勢在必行。

1.舉綱張目，強化對基本原理和程序基本框架的教學。與力學類專業研究生相比，土木工程專業研究生的數學、力學基礎總體相對薄弱，因此其有限元方法課程教學通常從學生比較熟悉的具體工程問題出發，介紹不同類型單元的特性及其應用，對有限元方法基本原理的教學重視程度不夠。學生對有限單元法的本質缺乏了解，導致在學習過程中只見樹木不見森林，往往陷入各種有限單元的細節公式推導，感覺沒有原則可以遵循，浪費大量時間的同時教學效果不佳。研究生階段的課程，必須從微分方程求解的角度出發引入有限單元法，理解有限元方法是如何離散被研究對象的，在此基礎上引導學生建立整體與局部的概念，明確單元位移模式構造的一般準則。學生掌握好有限單元法的基本原理，各種具體的有限元單元則是實現的特例而已，教師可以更多地啟發學生關注這些單元的使用目的和局限等。雖然有限元單元形式多樣，但其程序框架是基本一致的，因此進行第一種具體有限元單元的程序教學后，強化學生對有限元程序的基本框架和功能模塊的認識是非常重要的。學生清楚認識有限元程序的基本框架，當需要修改程序實現特定功能時，可迅速定位到對應的功能模塊，對于后續其他類型單元程序的閱讀、編寫、調試大有裨益。強化這些綱領性知識的教學是事半功倍的，一方面學生對有限元方法本質和思想的掌握水平得到提升，另一方面教師在后續具體有限元單元的教學中可緊扣主干，從細枝末節中解脫出來，從而節省教學時間。

2.內容整合，補充拓展內容滿足多樣化的學生需求。在強化有限元綱領性知識教學的基礎上，根據土木工程專業研究生的知識結構和有限單元法課程的內容體系，對教學材料進行充分整合，進行核心內容和拓展內容的區分。教師在課堂上集中進行課程核心內容的講解，指導學生在課外自學相應的拓展內容。經過整合，土木工程專業研究生有限元課程包含了四大模塊：（1）數學力學基礎。（2）基于彈性力學的有限元。（3）基于結構力學的有限元。（4）復雜工程案例的商業軟件分析。大量預備知識如大型稀疏矩陣的求解方法、拉格朗日插值、高斯積分的數學來源等內容被放入專門建設的拓展內容庫中，這些知識嚴格來說不屬于有限元課程的教學內容，讓學生理解這些都只是有限元方法在進行實現時使用到的數學工具，更有利于學生把握有限元方法的主線。拓展內容庫中對于預備知識的編排，一般根據教學內容的先后順序進行，起到配合核心內容教學的作用。更為重要的是，要在拓展內容庫中分門別類地補充大量的經典文獻、名家綜述和前沿研究動態，以筆者所在高校為例，拓展內容庫中建設有“常用的其他數值計算方法”“重心坐標的概念和使用”“超參元和次參元”“廣義協調有限元”等多個不同的專題。學生根據自身需求和興趣了解這些知識，可加深對于有限元方法本質的理解，同時可以感受到有限元方法的蓬勃生機。

四、有限單元法課程教學方式的變革

長期以來，有限單元法課程的教學多采用傳統的“灌輸式”教學方法，其理論內容與實用軟件之間的內在聯系不明確，程序代碼的閱讀、編寫和調試枯燥無味，導致研究生學習興趣不足。為此，針對不同的教學內容，根據其教學目的采用不同的教學方法是很有必要的?？傮w上，為培養研究生的創新能力，在各種具體的有限元單元教學過程中，以“理論講解—程序設計—案例分析”的教學環節組織教學，在各個教學環節采用啟發式、任務式、設計式、研究式、探索案例式等多種教學方法相結合。

1.理論講解，啟發式和任務式教學方法相結合。理論講解部分多運用啟發式、任務式的教學方法，提高研究生對有限元理論知識與實際問題聯系的認識，推動研究生嘗試理論創新。有限元方法其理論部分涉及大量的細節，如單元位移模式的設計、形狀函數的構造和推導、剛度矩陣的組裝等，學生在學習時容易淹沒在繁雜的細節推導中，顧此失彼。學生在掌握有限元方法的基本理論并通過平面三角形三結點單元的學習之后，對有限元方法的常見術語和方程建立一般過程已有一定的了解，那么教師在進行后續其他類型有限元單元的教學時，可以通過“為什么需要這種單元”“現有的結點數目條件下怎么去表達單元位移”等問題啟發學生思考各類單元的使用目的和位移模式表達。在完成位移模式構建后，采用任務式教學方式指導學生自主完成“方程推導→剛度矩陣計算和集成→各類邊界條件處理”的過程，強化學生的理論認知，然后通過“這種單元的計算精度如何”“是否完備協調”“使用是否受限制”等問題啟發學生總結各類單元的局限，介紹國內外的最新研究成果對這些局限的改進。

2.程序設計，采用設計式、研究式教學方法，與理論講解并行推進。程序設計是本課程的主要內容之一，對研究生創新能力的培養有著重要作用[7]，但經過教學內容的優化，程序設計不再作為單獨的教學模塊。教師通過平面三角形三結點單元有限元程序的示范，讓學生了解有限元程序的基本流程，引導學生總結好有限元程序的基本框架和功能模塊。在后續其他類型有限元單元的學習中，程序設計教學與理論講解并行推進，教師以輔助性教學程序為基礎布置簡單的設計性任務，如將總體剛度矩陣存儲方式由“上三角”改為“下三角”，將“平面應力單元”改為“平面應變單元”，將高斯積分點由“四個”改為“九個”等，學生在學習理論的同時根據自己的理解完成這些任務，程序設計與理論知識之間的銜接得以加強。另外，鼓勵研究生結合自己的研究方向在輔助性教學程序引入新的本構關系、荷載效應和邊界條件，使這些程序可以直接為研究生的課題研究所用，調動學生學習程序設計的興趣，且有助于培養研究生基于有限元程序進行創新研究的能力。

3.案例分析。在案例分析環節，教師帶領研究生使用教學程序解決簡單的數值算例，讓研究生對有限元方法的運用建立更深的理性認識，使研究生了解教學程序與大型商業軟件之間的內在聯系與區別。通過具體案例的示范，使研究生清楚“節點和單元編號”“應力磨平”等有限元前后處理工作的內容并認識到其重要性，對“平面問題和空間問題求解時位移邊界條件的數量”“有限元網格的布置原則”等知識點有進一步的直觀認識。采用簡單數值算例進行示范時，教師可引導研究生思考總結如何將實際工程問題抽象為有限元計算模型，如何解釋和評價有限元計算結果等，為后續運用大型商業軟件解決復雜工程問題奠定初步的基礎。

五、多種手段并用，激發研究生學習的興趣和參與感

任何一門課程的教學工作，學生學習的主動積極性都是影響其教學效果的關鍵因素之一。土木工程專業研究生在學習有限單元法時，容易因為數學力學基礎相對薄弱而在理論學習時對部分知識點消化困難，以教師為中心的課堂講授式教學過程中學生參與感不強導致學習熱情降低。在有限元課程教學中如果不注意解決好這些問題，教學效果必然難以達到預期。

1.采取不同策略處理理論教學中的知識難點。土木工程專業研究生的有限元課程教學，在課程講授過程中盡量考慮學生的預備知識掌握水平，不能因為知識難點的存在而導致學生產生畏難情緒，因此對于知識難點需要采取不同的策略。理論教學的核心在于引導學生把握有限元方法的整體結構，在不影響這一核心的前提下對于部分知識難點可以適當避開，例如有限元方程的建立，在實際授課中引導學生從Galerkin加權余量法和力學虛位移原理出發進行推導即可，對于涉及泛函變分等知識的Ritz變分法則作為拓展知識供學生自主學習。對于無法避開的難點內容，應讓學生清楚地掌握其概念內涵和公式建立的過程，如等參單元整體坐標導數積分運算向局部坐標的轉換等，可由教師采取黑板板書引導學生一起進行，學生會發現使用高等數學多元函數的求導法即可完成這一過程，可建立起學生的學習信心。

2.讓學生成為教學資源構建的主體。讓學生成為課程的積極參與者，對學生學習的主動積極性可產生巨大的提升作用。在有限元課程教學的教學內容整合過程中，課程的核心內容由主講教師制訂，拓展內容庫的建設充分強調研究生的參與。拓展內容庫中的預備知識部分根據研究生對課堂教學的反饋情況不斷地完善拓展，鼓勵研究生將自己收集到的科研文獻進行評述后上傳至拓展內容庫。在程序設計教學中，鼓勵研究生將自己基于輔助性教學程序進行的創新性研究成果進行課堂展示，激發學生的學習興趣。研究生參與教學資源構建的更重要方面在于豐富課程的實際工程案例。以前，筆者所承擔的有限元課程“復雜工程案例的商業軟件分析”教學模塊案例庫僅涉及了庫岸邊坡、地下洞室、結構抗震等問題，介紹的商業軟件數量也偏少，遠不能適應現有土木工程專業研究生的研究方向數量。通過讓研究生以優秀工程案例投稿、軟件使用經驗分享、軟件二次開發技巧展示等形式參與案例庫的建設，工程案例庫的建設水平得到了顯著的提升。教師選擇優秀工程案例讓學生在課堂上講自己分析問題解決問題的過程，組織學生進行討論和總結，促進不同研究方向的學生交流，學生在獲得參與感的同時可以更多地了解土木工程專業有限元商業軟件的全貌。

3.變革考核方式。有限單元法是一門理論與實踐并重的課程，單純地依賴閉卷考試來評價研究生對課程的掌握程度是不合理的。目前筆者所在高校土木工程專業研究生有限元課程期末考試為開卷考試，考試成績占最后總成績的60%。為更好地調動研究生的積極性和參與意識，促進研究生進行創新性學習，將研究生參與教學資源構建、對輔助性教學程序進行創新的情況等納入考核標準，占最后總成績的20%。其余20%涵蓋了研究生完成公式推演、程序設計等課程任務的表現情況。通過考核方式的變革，學生參與有限元課程的主動積極性明顯提升，營造了良好的學習氛圍。

六、結語

長期以來，有限單元法的課程教學在教學內容、教學方法上未能充分考慮土木工程專業學生的知識背景和實際需求，從而導致土木工程專業研究生的學習效果難以達到預期，針對該問題本文總結了筆者所在高校的土木工程專業研究生有限單元法課程教學改革實踐工作取得的經驗：有限單元法課程應強化基本理論和程序基本框架的教學，并對教學內容緊扣主線進行優化;各類有限元單元的教學按“理論講解—程序設計—案例分析”的環節組織教學并多種教學方法相結合;教學過程中應采用適當處理理論難點、鼓勵學生參與資源構建、形成綜合全面的考核方式等多種手段樹立學生的學習信心和參與意識。這些措施有利于激發研究生的學習熱情，加深研究生對有限元方法的一般本質的理解，提升研究生有限元程序的編制水平，有利于學生實踐能力和創新能力的培養，滿足多樣化的學生需求。

參考文獻：

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Research on Teaching Reform of Finite Element Method for the Postgraduate Majoring in Civil Engineering

JIANG Wei，LIU Zhang-jun，WU Bo

（China Three Gorges University，Yichang，Hubei 443002，China）

Abstract：To address some issues in the teaching of Finite Element Method for the postgraduate majoring in civil engineering，some measures have been proposed to reform the teaching contents，methods and approaches.The principle theory of Finite Element Method and the fundamental framework of Finite Element program is emphasized，and the teaching contents are integrated to satisfy the diverse requirement.The "theory instruction - program designing-examples analysis" procedure is adopted in the teaching of different kinds of finite element.Variety of teaching approaches are introduced to trigger off students' interesting and desire to participate.Those measures are verified to be beneficial to the teaching efficiency of Finite Element Method course，and is useful in cultivate the practical ability and creativity of postgraduate.

Key words：civil engineering;finite element method;teaching reform;graduate education