淺議化歸思想在高中數學函數學習中的應用

汪大友

【摘要】化歸思想是一種重要的數學思想，在降低數學問題難度、成功解答數學問題中發揮著重要作用.函數是高中數學的重要知識版塊，貫穿整個高中階段，題型復雜多變，對學生的解題能力要求較高.教學中注重化歸思想的應用講解，使學生掌握化歸思想應用方法與技巧，有助于學生突破函數這一學習難點，實現解題能力與效率的提升.

【關鍵詞】高中數學;函數學習;化歸思想;應用

化歸思想指運用所學或積累的經驗將問題由難化易、由繁化簡，最終解決問題的一種思想.實踐表明，在高中函數學習中學生靈活運用化歸思想，可明顯提高解題效率，實現解題能力與學習成績的提升，因此，教學實踐中，教師應結合具體教學內容，做好化歸思想的應用講解，使學生扎實掌握這一重要知識，靈活解答各種函數試題.

一、化歸思想之換元法的應用

換元法是一種重要的化歸方法，在解答函數試題中應用率較高.為使學生能夠掌握這一重要化歸方法，一方面，教師講解經典例題，使學生感受換元法的妙用，體會換元法在解題中的便利之處，培養學生應用換元法進行化歸的意識.另一方面，教師鼓勵學生總結應用換元法時的注意事項，保證換元前后參數取值范圍的一致性，避免換元出錯.

例1?已知f1-x1+x=1-x21+x2，求f（x）.

分析?該題是求解函數表達式的試題，屬于高中函數中的常見題型.試題題干較為簡潔，屬于復合函數類型的試題.解答該類試題時，可考慮使用換元法，即，令t=1-x1+x，而后代入進行化簡求解.需要注意的是需正確求出t的取值范圍.

∵t=1-x1+x=-1-x+21+x=-1+x1+x+21+x=-1+21+x，

∴t≠-1.

同時，由t=1-x1+x，可得1-x=t（x+1），即x=1-tt+1，

∴f（t）=1-1-t1+t21+1-t1+t2=4t2t2+2=2tt2+1，

∴f（x）=2xx2+1（x≠-1）.

二、化歸思想之數形結合法的應用

數形結合是高中數學常用的化歸方法，通過“形”將“數”之間的關系直觀地展示出來，可簡化計算，提高函數試題解題效率.為使學生掌握這一方法，教師一方面，為學生講解常見函數對應的圖像，傳授圖像繪制技巧，如在繪制函數圖像時一定要注意定義域，保證圖像繪制的正確性.另一方面，為學生講解經典函數例題，傳授數形結合應用技巧.

例2?已知函數f（x）=ln（-x+1），x≤0，x2+3x，x>0， 若f（x）-（m+2）x≥0，則實數m的取值范圍是.

分析?該題目是與分段函數相關的試題，難度中等.認真分析題干可知，可將f（x）-（m+2）x≥0轉化為f（x）≥（m+2）x，顯然需要運用數形結合法進行化歸.根據題干分別繪出兩個函數的圖像，如圖所示，便不難進行解答.

認真觀察右圖可知，當直線與曲線相切于原點時，對g（x）=x2+3x進行求導得g′（x）=2x+3，則m+2=3，解得m=1，當直線繞著原點從x軸轉到與曲線相切時，滿足題意，則0≤m+2≤3，解得-2≤m≤1.

三、化歸思想之構造法的應用

高中函數學習中構造法是一種難度較大的化歸方法，對學生分析問題的能力要求較高，因此，為使學生理解并掌握這一化歸方法，教師一方面，做好構造法應用總結，尤其認真分析不同函數試題特征，總結構造規律，并向學生詳細講解.另一方面，優選代表性例題，對學生進行強化訓練，使學生徹底掌握構造法應用技巧.

例3?已知f′（x）是函數f（x）（x∈R且x≠0）的導函數，當x>0時，xf′（x）-f（x）<0成立，記a=f（20.2）20.2，b=f（0.22）0.22，c=f（log25）log25，則（??）.

A.a

B.b

C.c

D.c

分析?認真觀察a，b，c的表達形式，可知其形式一樣，不難聯想到構造函數F（x）=f（x）x，對其進行求導得F′（x）=xf′（x）-f（x）x2，然后根據題干條件不難得到F（x）的單調性，問題便迎刃而解.

構造函數F（x）=f（x）x，則F′（x）=xf′（x）-f（x）x2，∵x>0時，xf′（x）-f（x）<0，顯然F′（x）<0，即，函數F（x）單調遞減.∵a=F（20.2），b=F（0.22），c=F（log25）.又∵log25>20.2>0.22，∴c

綜上所述，化歸思想在解答高中數學函數試題中效果顯著，因此，為使學生更好地學習函數知識，提高函數試題解答正確率，教師一方面，為學生關注化歸思想知識，使學生認識、理解化歸思想，尤其做好化歸方法應用講解，指引學生更好地解題.另一方面，通過優選、精講試題，對學生進行針對性訓練，使學生徹底掌握化歸方法，做到靈活應用，以不變應萬變.

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