聚焦一題多解樣例，培養(yǎng)高職學生創(chuàng)造性數(shù)學思維

李建明

【摘要】高等數(shù)學作為公共基礎課程，在諸多領域得到了大量應用，例如經濟管理、自然科學、生命科學以及工程技術.但由于高等數(shù)學涉及知識點眾多，章節(jié)之間聯(lián)系緊密，要求學習者要建立嚴密的思維方式和習慣，這樣才能更好地掌握與應用知識.在高等數(shù)學中，一題多解體現(xiàn)了豐富的數(shù)學思想，能夠幫助學生有針對性地訓練數(shù)學思維.本次將圍繞一題多解樣例展開論述，重點分析在高職高等數(shù)學中培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的具體方式，以供參考.

【關鍵詞】高職;高等數(shù)學;一題多解;有效路徑

一題多解指的是利用差異化的策略解答同一道題.鑒于每個人在思考以及思維層面存在多元化的分析切入點，因此可以建立不同類型的解決路徑，所以高職學生在學習高等數(shù)學時常會面臨一題多解的情形.學習高等數(shù)學不僅是掌握解題方法，更重要的是培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)新思維，這既是高職教育的要求，也是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的必經之路.具體而言，一題多解廣泛存在于各類研究活動以及教育活動之中，極大推動了數(shù)學學科的發(fā)展，也培養(yǎng)了學生的創(chuàng)造性思維.

一、一題多解在高職高等數(shù)學中的重要價值

在高職高等數(shù)學中，一題多解已經得到了普遍應用.一題多解的本質是圍繞中心原理進行延伸，用不同的方法解決數(shù)學問題，這是培養(yǎng)學生發(fā)散思維的重要舉措.一題多解對學生數(shù)學思維的訓練極為明顯，學生可以在不同的解法中深化對定理的認識.另外，高等數(shù)學往往存在大量的公式符號，會讓學生產生枯燥感和疲勞感，利用一題多解，可以讓學生在同一道題中領悟不同解題思路，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)造思維，增加學生的解題成就感.

二、一題多解在高職高等數(shù)學中的具體應用

（一）利用一題多解讓學生更為深入地感知高數(shù)概念

在微積分中，不定積分的重要意義不言而喻.由于不定積分為微分計算的逆計算，和微分計算相比，其難度往往更大.教師在介紹不定積分概念的過程中，通常會對原函數(shù)的概念加以闡述.鑒于原函數(shù)具有不唯一性，不同原函數(shù)之間存在一個常數(shù)，所以將帶有常數(shù)C的全部原函數(shù)均稱作不定積分.但是在實際教學中，部分高職學生對這一概念的理解存在偏差，導致學習效果不理想.

例1 求解不定積分∫2sin xcos xdx.

解析 利用一題多解的思路讓學生掌握不定積分的概念，針對該題可以利用三種方式加以解決，具體如下.

第一種解法：借助倍角公式sin 2x=2sin xcos x，隨后應用第一類換元法，湊微分法，即可解決.

原式=∫sin 2xdx=12∫sin 2xd（2x）=-12cos 2x+C.

第二種方法：跳過換元法直接采用湊微分法.

由于cos xdx=dsin x，

那么，可以將原式轉成為∫2sin xdsin x=sin2x+C.

第三種解法：同樣直接采用湊微分法.

設sin xdx=-dcos x，

那么原式=-∫2cos xdcos x=-cos 2x+C.

從上面三種方法可知，三種不同的解題思路會有三種不同的結果，這是什么原因？究竟哪一個答案是正確的？通過原函數(shù)的定義，可知F′（x）=f（x），

那么通過驗證可知：

-12cos 2x′=-12（-sin 2x）×2=sin 2x=2sin xcos x，為被積函數(shù);

另外，（sin 2x）′=2sin xcos x，也是被積函數(shù);

（-cos 2x）′=-2cos x（-sin x）=2sin xcos x，同為被積函數(shù).

所以，上述三種解法均正確，進而可以掌握結果和被積函數(shù)之間的實際關系，原函數(shù)的導數(shù)和被積函數(shù)具有相等關系.

另外，通過倍角公式可以推導出：

-12cos 2x=-12（2cos 2x-1）=-cos 2x+12=-（1-sin 2x）+1[]2=sin 2x-1[]2.

這意味著，以上三種不同結論的差為一個常數(shù)，也進一步體現(xiàn)了原函數(shù)的定義：一個函數(shù)的原函數(shù)并不是唯一的，不同原函數(shù)均相差一個常數(shù)C，也顯示出對于相同的不定積分試題而言，即使結果形式有所差異，其本質并未改變.所以利用一題多解可以讓學生更加深刻地理解原函數(shù)以及不定積分的含義.

（二）引導學生活學活用，實現(xiàn)觸類旁通

部分學生由于沒有深入了解和掌握一元隱函數(shù)求導法則，因此剛接觸二元隱函數(shù)求導會產生消極心理，心生畏懼.針對這一情況，教師為了消除學生的畏懼心理，需要應用一題多解方法，使學生對知識點的掌握更加系統(tǒng).

例1 令y2=2-xey，那么dydx的值是多少？

解析

第一種解法：采取直接求導法，將等式的左側與右側同時對x求導，而y需要被視作關于x的函數(shù)，那么，

2ydydx=0-ey-xeydydx，

等式變換后，可得

dydx=-ey2y+xey.

第二種解法：借助關系式dydx=-FxFy.

由于上式中x，y無關，

設F（x，y）=2-xey-y2，

由此可得Fx=-ey，F(xiàn)y=-xey-2y，

dydx=-FxFy=-ey2y+xey.

第三種解法：借助微分形式不變形的特點將等號左邊和右邊予以全微分，同時x，y無關，那么

d（y2）=d（2-xey），

2ydy=0-eydx-xeydy，

所以dydx=-ey2y+xey.

由以上三類解題思路，可知對于第一種解題方法而言，應該重點關注y與x的具體聯(lián)系，將y視作x的函數(shù)，而在第二種以及第三種解題思路中，x，y無關.厘清上述三種不同類型解題方法的核心邏輯才能更好地解決隱函數(shù)導數(shù)問題，最終為學習二元隱函數(shù)求導法創(chuàng)造條件.所以，筆者會利用二元函數(shù)求導案例，引導學生意識到二元隱函數(shù)和一元隱函數(shù)求導具有相同性質.

例3 如果x+y3-ez=2z，那么請計算zx和zy的值.

解析 第一種解法：采取直接求導法，應該重點分析x，y，z之間的關系，即z為x，y的函數(shù)，而x與y無關.

所以，等式左邊和右邊均對x求導，可得

1-ez×zx=2zx，通過計算得zx=12+ez，

等式左邊和右邊均對y求導，得到

此時，可將x，y，z三個變量視作獨立變量，再將F對三個變量求偏導數(shù).設F（x，y，z）=x+y3-ez-2z，

所以可得到Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z的具體數(shù)值，即

Fx=1，F(xiàn)y=3y2，F(xiàn)z=-ez-2，

第三種解法：直接應用微分法，將x，y，z視作獨立變量，等式的左、右兩邊都計算全微分，再運用等式dz=zxdx+zydy確定z[]x以及zy的值.具體過程如下：

d（x+y3-ez）=d（2z），dx+3y2dy-ezdz=2dz，dz=12+ezdx+3y22+ezdy，

有上述案例中，一題多解在高等數(shù)學中得到了廣泛應用，特別是在理解重要概念以及難點概念時，一題多解能夠讓學生串聯(lián)已學知識和新知識，并在其中展開類比以及推廣，這可以有效培養(yǎng)學生獨立思考的能力以及創(chuàng)新意識，也為后續(xù)學習高等數(shù)學奠定良好基礎.

（三）一題多解在證明題中的應用

例4 已知f（x）在[0，1]上連續(xù)并且單調不增，請你證明如果0≤μ≤1，∫μ0f（x）dx≥μ∫10f（x）dx.

解析 本題可以通過多種方法加以理解，具體可以從函數(shù)單調性、定積分換元法、積分中值定理、定積分的性質以及微分中值定理等角度切入證明.

證明一：假設F（μ）=∫μ0f（x）dx-μ∫10f（x）dx，

由題設條件，可知

F（1）=F（0）=0，

F′（μ）=f（μ）-∫10f（x）dx.

由此可見，f（x）在[0，1]上符合羅爾定理，因此，有ξ∈（0，1），使F′（ξ）=0，那么f（ξ）=∫10f（x）dx.

由于f（x）在[0，1]上連續(xù)并且單調不增，所以可分成兩種情況，即

如果μ>ξ，

那么F′（μ）=f（μ）-∫10f（x）dx=f（μ）-f（ξ）≤0;

如果μ<ξ，

那么F′（μ）=f（μ）-∫10f（x）dx=f（μ）-f（ξ）≥0.

因此，ξ為F（μ）的最大值對應的點，所以F（μ）在[0，1]內的最小值是F（1）=F（0）=0，所以F（μ）≥0，原不等式得以證明.

證明二：可以把問題不等式轉變成變上限積分，隨后借助函數(shù)單調性的性質來證明原式，例如需要證明∫μ0f（x）dx≥μ∫10f（x）dx，就相當于要驗證

∫μ0f（x）dxμ≥∫10f（x）dx1（μ≥0）.

假設F（x）=∫x0f（t）dtμ，所以只要驗證F（x）單調不增即可，而

F′（x）=xf（x）-∫10f（t）dtx2，

由于f（x）連續(xù)，借助積分中值定理，可得

F′（x）=xf（x）-xf（ξ）x2=f（x）-f（ξ）x，0≤ξ≤x.

而由于f（x）單調不增，因此f（ξ）≥f（x），所以F′（x）≤0，意味著f（x）單調不增，那么，當0<μ≤1，存在F（μ）≥F（1），如果μ=0，那么原式即可成立.

證明三：設F（x）=∫x0f（t）dtμ，

那么F′（x）=xf（x）-∫x0f（t）dtx2=∫x0f（x）dt-∫x0f（t）dtx2=∫x0[f（x）-f（t）]dtx2.

由于f（x）在[0，1]上連續(xù)并且單調不增，那么f（x）≤f（t），所以F′（x）≤0，即F（x）單調不增，因此原不等式得以證明.

三、結束語

綜上所述，一題多解貫穿高等數(shù)學教學的各個環(huán)節(jié)，掌握一題多解可以更好地掌握與理解高等數(shù)學的概念以及相應的解法，對于提升解題效率極具價值.因此，教師在高等數(shù)學教學時，應該有針對性地進行一題多解的專項訓練.