高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)解題教學(xué)策略

陳劍穎

(福建省福州第十一中學(xué) 350001)

高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題教學(xué)中，求導(dǎo)是最為基礎(chǔ)的步驟，關(guān)系著解題的成敗，教學(xué)中應(yīng)做好基礎(chǔ)知識(shí)講解，使學(xué)生牢固掌握常見(jiàn)函數(shù)的求導(dǎo)公式，避免求導(dǎo)時(shí)張冠李戴.同時(shí)，依托具體題型，講解相關(guān)解題策略，使學(xué)生少走彎路，盡快找到解題突破口.

一、利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性的解題策略

求解復(fù)雜函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一.通常函數(shù)帶有參數(shù)，研究其單調(diào)性時(shí)需要進(jìn)行分類(lèi)討論.為使學(xué)生掌握這一題型的解題方法，教學(xué)中，一方面，認(rèn)真講解導(dǎo)數(shù)的意義，使學(xué)生深入理解.同時(shí)，要求學(xué)生采用對(duì)比記憶法，牢固記憶基本函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，明確求導(dǎo)中應(yīng)注意的問(wèn)題，以正確求導(dǎo)，為討論函數(shù)單調(diào)性奠定基礎(chǔ).另一方面，依托具體例題講解，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到求導(dǎo)后需運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)進(jìn)行分類(lèi)討論，確定函數(shù)的極值點(diǎn)以及對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.

例1已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)，若x=1是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，試求出b關(guān)于a的關(guān)系式(用a表示b)，并確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.

解題策略首先，根據(jù)f(x)的表達(dá)式先進(jìn)行求導(dǎo)，由x=1，求出b關(guān)于a的關(guān)系式.其次，求導(dǎo)后，統(tǒng)一使用a表示f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求解出函數(shù)的極值點(diǎn).最后分類(lèi)討論極值點(diǎn)，確定其單調(diào)區(qū)間，解題過(guò)程如下：

解由f(x)=(x2+ax+b)ex，則f′(x)=[x2+(2+a)x+(a+b)]ex.

∵x=1為其極值點(diǎn)，則f′(1)=[1+(2+a)+(a+b)]e=0,解得b=-3-2a，則f′(x)=ex(x-1)[x+(3+a)].令f′(x)=0得x1=1，x2=-3-a.∵x=1是極值點(diǎn)，∴-3-a≠1，即a≠-4.當(dāng)-3-a>1，即a<-4時(shí)，由f′(x)>0得x∈(-3-a，+∞)或x∈(-∞，1)，由f′(x)<0得x∈(1，-3-a),當(dāng)-3-a<1，即a>-4時(shí)，由f′(x)>0得x∈(1，+∞)或x∈(-∞，-3-a)，由f′(x)<0得x∈(-3-a，1).

綜上，當(dāng)a<-4時(shí)，f(x)在(-∞，1)、(-3-a，+∞)上單調(diào)遞增，在(1，-3-a)上單調(diào)遞減.當(dāng)a>-4時(shí)，f(x)在(-∞，-3-a)、(1，+∞)上單調(diào)遞增，在(-3-a，1)上單調(diào)遞減.

二、利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍解題策略

求解參數(shù)范圍是導(dǎo)數(shù)知識(shí)的又一重要應(yīng)用，其常和導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，綜合性較強(qiáng).為使學(xué)生能夠順利解答這一試題類(lèi)型，教學(xué)中，一方面，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化，尤其對(duì)于恒成立問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為f(x)min>a或f(x)max

例2已知函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2-10x，x=3為其一個(gè)極值點(diǎn).若直線y=b和函數(shù)f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍.

解題策略首先，根據(jù)題干求出函數(shù)f(x)的表達(dá)式.其次，通過(guò)求導(dǎo)找到其單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn).最后，根據(jù)其單調(diào)性其極值點(diǎn)，大致繪制其圖形，確定b的取值范圍，解題過(guò)程如下：

∴f(x)max=f(1)=16ln2-9，f(x)min=f(3)=32ln2-21.又當(dāng)x→-1+時(shí)，f(x)→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞.

結(jié)合函數(shù)大致圖形可知要想直線y=b和y=f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍應(yīng)為(32ln2-21，16ln2-9).

三、利用導(dǎo)數(shù)求解不等式的解題策略

導(dǎo)數(shù)和不等式結(jié)合在高考中較為常見(jiàn).這類(lèi)題型技巧性較強(qiáng)，有時(shí)需要構(gòu)造函數(shù)，因此，教學(xué)中，為使學(xué)生攻克這一類(lèi)型，一方面，為學(xué)生講解相關(guān)的解題技巧，如進(jìn)行作差和零比較大小，作商和1比較大小等.另一方面，為使學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)求解不等式的具體過(guò)程，教學(xué)中還應(yīng)多為學(xué)生講解相關(guān)題目，詳細(xì)板書(shū)解題過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行思考，當(dāng)堂消化吸收所學(xué).

解題策略首先，根據(jù)給出的函數(shù)表達(dá)式求解其單調(diào)性，求解單調(diào)性時(shí)應(yīng)注意定義域.其次，根據(jù)要求證的結(jié)果，分別進(jìn)行作差，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及極值分別加以證明.另外，需要注意的是，必要情況下需要構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)進(jìn)行證明.該題的證明過(guò)程如下：

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)解題技巧，應(yīng)做好教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，注重教學(xué)反思，積極尋找有效的教學(xué)策略.一方面，深入講解導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，使學(xué)生切實(shí)打牢基礎(chǔ)，應(yīng)講解優(yōu)秀例題，使學(xué)生掌握不同題型解題方法.另一方面，優(yōu)選代表性題目，對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，使學(xué)生在訓(xùn)練中積累經(jīng)驗(yàn)，掌握解題技巧，高效解答有關(guān)導(dǎo)數(shù)類(lèi)型的試題.