高職數學函數極限概念教學的實踐與認識

袁立新

【摘要】從理解的角度，函數極限的概念包括它的形式化定義，對于高職學生而言并非遙不可及.函數極限概念教學的重難點集中于兩次抽象過程上，即先把具體教學材料抽象成描述性定義，然后將描述性定義抽象為形式化定義.抽象過程需要用學生熟悉的、可理解的方式進行，如類比、直觀、計算.同時，要重視情感在極限概念教學中的作用，積極地從所學內容、教師、教材等方面培養(yǎng)學生的數學情感.

【關鍵詞】函數極限;概念教學;實踐;抽象

一、引言

“若從今天的數學中抽去了極限的思想，……，那么說得嚴重一點，這時的數學幾乎近于一無所剩了.”[1]高職階段的學生具備了一定的抽象思維能力，對極限思想有了初步的了解.函數極限概念是學生進一步理解極限思想的一個重要途徑，也是深入學習數學的必要準備.它的ε-δ定義（以下稱為形式化定義）更是數學概念符號化的典型代表，能讓學生體驗到數學的抽象性與嚴謹性.但是在高職數學的教學中，對于極限概念的理解，要么避而不談形式化定義，認為它超出學生的思維能力;要么直接給出定義，著重語義分析，忽視形成過程，概念理解也缺乏層次[2].所以，從理解的角度，函數極限概念教學需要過程性、階段性地展現(xiàn)，即要重視其形成過程（或抽象過程），同時需要從學習者已有的知識經驗中，特別是從已學習的數學內容中找到適合的認知根源，努力通過類比、直觀、計算等策略幫助其理解.為了能把上述概念教學建議和要求落到實處，實現(xiàn)認識與實踐的統(tǒng)一，教學需要構建深入課堂的、整體性的認知與策略，給出基于理解的函數極限概念有效教學框架與過程.同時，教學過程也需要關注學生的學習情感，避免因學習困難導致的情緒障礙.

二、函數極限概念的教學認識

（一） 第一次抽象：形成函數極限的描述性定義

函數極限概念的形成需要經歷兩次抽象.第一次是從學生已有的現(xiàn)實出發(fā)，把具體的教學材料抽象成描述性定義（以limx→x0f（x）=A為例）.教學重點是指出日常“極限”的理解經驗與極限概念的不同，以便對極限概念形成恰當的心理表征.除了給出豐富的函數圖像外，利用數值表也是一個好的選擇，如根據x→2時，x2-4x-2的值的變化情況，直觀上幫助學生消除部分“00”的困惑.

（二）進一步抽象的必要性

通過觀察、猜想的方法研究極限并不總是可行的.例如，通過函數圖像猜測函數y=sin 1x在x=0處的極限比較困難.同樣，通過數值表猜測也容易誤入陷阱.如對于函數y=sin πx，x分別取0.1，0.01，0.001，…結果都是0，這容易導致limx→0sin πx=0這樣的不正確的猜測結果.所以，除了從文化歷史角度讓學生了解極限形式化定義的重要性外，更重要的是讓學生親身體驗描述性定義的不足.類似地，函數單調性概念最初被描述為“函數值隨著自變量的變化而變化”，雖然從直觀上很容易理解，但不夠嚴謹.后來學習了嚴格定義后，不需要直觀，更能對單調性進行嚴格討論.所以，要深入理解極限概念或運用它解決問題，需要形式化定義.

（三） 第二次抽象：形成函數極限的形式化定義

第二次抽象是由函數極限概念的描述性定義轉變?yōu)樾问交x.第二次抽象過程應以第一次抽象過程為基礎，無法逾越，因為極限概念的描述性定義是學生理解形式定義的一個良好的認知根源.但這個過程比較困難，關鍵是抽象過程中的概念語言的嚴格化與符號化過程.

1.日常語言的數學化表達

這方面的教學準備工作容易被忽略.只有適應數學化的表達，特別是數學符號語言的表達，學生才能對形式化定義進行分析與理解，避免形式化定義的形式與內容的脫節(jié).事實上，在中學階段，學生學習如函數單調性或周期性的嚴格定義時，也會出現(xiàn)由日常語言轉化為數學語言的不適應.教學研究表明，這些不適應也會遷移到極限形式化定義的理解上面來[3].數學語言，主要是數學符號語言，可以簡化自然語言，擴充和完善其表達范圍，使表達更嚴謹、科學.而數學的嚴謹性主要體現(xiàn)在邏輯表達與推理上，這也是第二次抽象的難點所在，即不僅要把日常語言轉化為數學語言，而且要注重數學語言所表達的邏輯性.對于數學抽象過程中的邏輯困難，弗萊登塔爾給出了一組由日常語言轉換為數學語言的邏輯準備工作，并把日常語言“很小的事能產生很大的影響”逐步數學化為函數不連續(xù)的ε-δ定義[4]，值得借鑒.教學過程中可以給出，如“沒有最大的自然數”“兩個實數之間距離可以任意小”等的數學化表達練習.

2.函數極限描述性定義的形式化轉換

這樣的轉換過程是一種數學建模的過程，即定量、具體地刻畫兩個無限過程及其聯(lián)系.其中需要一套符號表示這兩個過程，并通過符號系統(tǒng)化體現(xiàn)兩者的聯(lián)系.為了方便理解，教學時需要借助具體的函數進行轉換，并盡可能用學生熟悉的語言表達.

在形式化過程中，重點有兩方面：一是“函數值f（x）無限接近A”表述為：對任給的正數ε，|f（x）-A|都能小于ε.二是“自變量x充分接近x0”的表述轉換.上表中的進程由第④步推進到第⑤步是關鍵.因為教學時不僅要把“自變量x充分接近x0”數學化、符號化，更要定量地建立兩個無限過程之間的聯(lián)系，因此，為了使學生理解轉換過程，教學需要具體化.如第④步能否實現(xiàn)，可以通過計算試一試：ε取一具體值ε1，要使|f（x）-A|<ε1，那么x離x0有多接近？即x與x0的距離在多少以內，能使函數值f（x）與A的距離在ε1以內？即“0<|x-x0|<？時，|f（x）-A|<ε1.”通過圖形計算（即函數圖像上的點的坐標計算）或不等式|f（x）-A|<ε1計算尋找這樣的范圍（即δ）.ε可再取一些值，體會尋找具體的δ的過程和方法.在此基礎上，形成第⑤步的表述水到渠成.

3.對極限形式化定義的整體意義的領悟

經過上述抽象過程獲得形式化定義之后，因為定義中的符號多，邏輯層次復雜，需要對符號的關系及邏輯結構的語義作整體性認識.整體領悟的方法通常有如下幾種：一是函數極限形式化定義的幾何意義;二是用更為簡潔或易于理解的等價表述方法;三是定義的否定形式;四是類比或比喻.例如，定義可以看成甲與乙兩個人之間的競賽或對抗[5].

4.關于函數極限形式化定義的兩個關鍵問題

函數極限形式化定義教學中的難點眾多，但在教學中以下兩個問題甚為關鍵.

（1）形式化定義如何以“有限”展示“無限”

有學生提出，“根據函數極限的ε-δ定義，要說明‘A是x趨于x0時函數f（x）的極限需要無數步的驗證，給出具體的ε1，ε2，ε3，…，找出相應的δ1，δ2，δ3，….這是不可能實現(xiàn)的，從而不能保證A是它的極限.”事實上，涉及類似無限的命題是常見的，并非極限概念特有的.例如，要說明一個函數是偶函數，不必把無數對互為相反數的函數值求出來檢驗;利用定義證明直線與平面垂直，也不必檢驗直線是否與平面內所有直線都垂直.一步的完成，意味著無窮多步類似推理的完成，或者說一件事等價于無窮多件的現(xiàn)象，這在變量數學里是常見的.這種現(xiàn)象恰恰反映出數學統(tǒng)一的思想和經濟思維的特點[6].只要能找出ε與δ的關系，即可替代無數步的檢驗，以有窮的方式討論無窮.

（2）形式化定義的否定形式

邏輯關系復雜的命題，要給出其否定形式也會很困難.要理解形式化定義的否定形式，需要從具體的函數出發(fā).例如，要說明limx→3（2x-1）不等于5.1，假設5.1是x趨于3時函數f（x）=2x-1的極限，那么對任意給定的正數ε，都能找到正數δ，當0<|x-3|<δ時，使|f（x）-5|<ε.例如當ε=0.5時，則能找到δ=0.2時，使|f（x）-5|<0.5.但是當ε=0.05時，通過計算發(fā)現(xiàn)，這樣的δ找不到了，或者說此時不管δ取什么樣的正數，在集合{x|0<|x-3|<δ}中都能找到x不滿足|f（x）-5.1|<0.05.這說明limx→3f（x）不等于5.1.在此基礎上討論函數在某點極限不存在的情況就變得容易了.當然也可利用一些可探索的信息技術環(huán)境幫助學生表達和理解極限定義的否定形式，而不必只從純邏輯角度機械地以對偶形式給出否定形式，以避免“只講推理，不講道理”.

三、 函數極限概念教學中的情感支持

數學情感是數學學習是否滿足學生自身求知欲需要的一種體驗，它是在數學學習過程中產生和發(fā)展起來的.數學概念的抽象性與嚴謹性決定了要形成對數學學習的興趣，需要長期積極情緒體驗的積累.厭惡甚至痛苦的數學體驗會讓學生失去學習的興趣，進而影響對數學的認知.而函數極限概念符號眾多，語義抽象，令學生望而生畏.

首先，要努力融化極限形式定義的“冰冷”形式.事實上，極限形式定義是一種普通的靜態(tài)定義形式.從邏輯角度看，其外層邏輯結構在中學里是常見的[7]，如“函數f（x）（x∈D）是無界的”，可定義為“M>0，x∈D，使|f（x）|>M.” 只是里層的結構由一個簡單命題變成了一個復合命題（假言命題），增加了理解的困難.對此，只要堅持從特殊到一般、從具體至抽象的概念教學原則，努力展示定義中的抽象符號與圖形、數值或者可理解的自然語言的聯(lián)系，甚至借助信息技術手段，完全能讓學生產生火熱的思考.

其次，彌補教師教學中的情感缺失.無法動之以情，何以曉之以理？教師需要“以情生情”，如果學習極限概念時向學生夸大其“枯燥、困難、高度抽象”，不寬容學生的錯誤，那么教學效果會適得其反.張奠宙先生談到他自己開始學習ε-δ定義時，他的老師徐潤炎先生在黑板上寫“ε”的讀法是“一不是龍”，至今使其印象深刻[8].有時教師的一個小小的輕松幽默，一個符號的歷史挖掘，或者一個有趣的類比，讓學生不僅對教師印象深刻，還能把這樣的情感遷移到所學知識上來.M·克萊因主張，教師不應害怕幽默，而應隨意使用它[9].波利亞的教學三原則，特別是最佳動機原則，強調了培養(yǎng)學生對數學情感以及利用它進行教學的重要性[10].所以教師在教學的時候，也需要情感設計，努力讓學生在學習過程中保持積極的情緒狀態(tài)，獲得更好的情感與成就體驗.

最后，向學生提供通俗易懂的極限相關的閱讀材料.培養(yǎng)學生的數學閱讀興趣是培養(yǎng)學生積極的數學情感的有效途徑.以深入淺出的方式講解極限的概念，特別是其形式化定義的閱讀材料還很缺乏.正如柯朗所言：遺憾的是有些作者故弄玄虛，他們不做充分的準備，而只是把這個定義直接向讀者列出，好像作些解釋就有損于數學家身份似的[5].

四、結束語

從其歷史過程看，“歷經數千年時間，仍然沒有ε-δ的影子，那么要讓學生短短數十分鐘掌握‘ε-δ語言并不是一件容易的事情”[11]，因此，極限概念的理解與其他許多數學概念一樣，需要經歷特殊到一般、實踐與認識的不斷反復與深化.另外，雖然極限形式化的定義是為了擺脫對樸素直觀的依賴，但在學生頭腦中的心理表征并非是相應的形式化定義，所以有必要充分發(fā)揮圖形圖像、數表的教育功能，采用類比、數形結合、一般化或特殊化等方法，借助信息技術手段，創(chuàng)設出與形式化定義相一致的精致直觀，使學生產生恰當的概念意象.總之，極限形式化定義是一種普通的靜態(tài)定義形式，通過精準施策，學生是可以理解的，多年的教學實踐也表明了這一點.

【參考文獻】

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[10] （美）G·波利亞.數學的發(fā)現(xiàn)[M].劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.北京：科學出版社，1981：158.

[11]任芬芳，汪曉琴，陳玲玲.美國早期數學教科書中的極限概念[J].數學教育學報，2017（4）：38-43.