初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題思想方法探究

張建南

摘要： 喬治·波利亞作為著名的數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)提出過：對數(shù)學(xué)思想方法的完善，就好比天上的北極星，人們可以通過他找到正確的發(fā)展道路。數(shù)形結(jié)合思想在應(yīng)用過程中可以幫助學(xué)生掌握更多的數(shù)據(jù)支持，并且更好地理解數(shù)學(xué)知識，對解決實(shí)際問題具有指導(dǎo)性作用，有利于培養(yǎng)學(xué)生具備創(chuàng)新能力，并且使得學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加完善。采用數(shù)形結(jié)合思想是當(dāng)前數(shù)學(xué)思想最為典型的一種方法，也是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)美的方式，數(shù)與形是教學(xué)過程中能夠客觀描述物體的兩個(gè)方面，“數(shù)”主要側(cè)重于對體外“形”的研究，具有一定的直觀性，并且數(shù)與形有著密切的聯(lián)系，不僅可以用數(shù)來反映相應(yīng)的空間與形式，同時(shí)也能用形來對數(shù)的數(shù)量進(jìn)行說明。華羅庚是我國著名數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，而形缺數(shù)則難以解決問題。在數(shù)的問題上，如果利用純計(jì)算方法進(jìn)行解決問題，可能會比較困難;而如果對于形的問題，只用數(shù)的方法解決也十分困難，因此需要將兩者進(jìn)行有效結(jié)合。在幾何與代數(shù)中不斷發(fā)揮自身優(yōu)勢，以此可以促進(jìn)數(shù)學(xué)更好發(fā)展，同時(shí)又能夠用于解決各種實(shí)際問題。因此，把數(shù)形結(jié)合的思想作為當(dāng)前教育的重要思想之一。本文主要是探討如何利用數(shù)形思想解決拋物線問題。

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合;解題方法;有效措施;解題思路

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，會涉及不同數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)，而數(shù)形結(jié)合是一種十分常見且實(shí)用的教學(xué)方式，可以幫助學(xué)生正確地掌握數(shù)與形之間所存在的內(nèi)在聯(lián)系，因此實(shí)現(xiàn)形與數(shù)更好轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生解決多種數(shù)學(xué)問題。利用數(shù)形結(jié)合思想，可以將無形內(nèi)容化成有形內(nèi)容，使學(xué)生能夠形成一個(gè)定向思維與形象思維，以此對問題有著更直觀的理解與更透徹的分析，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能力，并且?guī)椭鷮W(xué)生提高他們的觀察能力與邏輯思維能力。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，采用數(shù)形結(jié)合思想具有十分重要的價(jià)值，如果能夠?qū)ζ浜侠響?yīng)用，必然會對于提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性與興趣有著難以替代的作用。

一、 數(shù)形結(jié)合方法概述

在初中數(shù)學(xué)研究過程中，主要對象是空間形式與現(xiàn)實(shí)數(shù)量關(guān)系，數(shù)值主要是數(shù)量體現(xiàn)的一種形式，形則是體現(xiàn)空間的一種形式。數(shù)與形可以根據(jù)一定的規(guī)則存在相互聯(lián)系與相互作用，抽象數(shù)量關(guān)系中常有直觀與形象等多個(gè)幾何意義。直觀圖形性質(zhì)可以用數(shù)量關(guān)系對其進(jìn)行更加精準(zhǔn)的描述，數(shù)與形在一定條件下可以實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化，并且互相溝通。我們在對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究過程中，需要借助圖形更加直觀地去研究，而在對圖形進(jìn)行研究時(shí)，則需要根據(jù)數(shù)量關(guān)系去得到最終結(jié)果。數(shù)與形作為研究數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的兩個(gè)方面，需要將數(shù)與形有效結(jié)合起來，以此使得問題更加簡單，開闊學(xué)生的思維。華羅庚教授曾經(jīng)說過“數(shù)無行少直觀形，形無數(shù)難入微”，這也間接地說明了數(shù)與形之間所存在的關(guān)系。在數(shù)學(xué)中，數(shù)與形也是一種表現(xiàn)形式，更是一種思想方式，它作為初中教學(xué)過程中一個(gè)十分重要的思想，在解題過程中能夠發(fā)揮更大的作用，并且也提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣與理解程度，形的直觀能夠與數(shù)的精準(zhǔn)更好地結(jié)合起來，解決各種問題，以此化解難點(diǎn)知識，最終將知識變成學(xué)生能夠接受的方面。關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想方法，可以在多個(gè)數(shù)學(xué)雜志上可以見到有很多研究，但是關(guān)于其思想方法，卻沒有深刻的完整的認(rèn)識。

隨著我國社會的不斷發(fā)展，數(shù)形結(jié)合方式在不同領(lǐng)域被得到廣泛應(yīng)用，人們不僅需要在數(shù)學(xué)中淋漓盡致地發(fā)揮它的作用，并且還會不斷地創(chuàng)新與挖掘新的作用與方向。不僅如此數(shù)形結(jié)合方式也逐漸被其他學(xué)科所運(yùn)用，根據(jù)運(yùn)用過程會總結(jié)出相應(yīng)規(guī)律，最終探索在實(shí)際生活中數(shù)形結(jié)合的相關(guān)應(yīng)用。因此這就說明數(shù)學(xué)結(jié)合運(yùn)用范圍不再局限于數(shù)學(xué)科目，也不僅僅局限于其他科目，它有著更加廣泛的使用空間。數(shù)形結(jié)合為什么能夠被如此廣泛地運(yùn)用呢？這值得我們深入思考。可以肯定的一點(diǎn)就是數(shù)形結(jié)合方式自身具有一定的教育價(jià)值與教育意義，因此可以根據(jù)問題的需要將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成與圖形相關(guān)的問題進(jìn)行解決，或者將圖形性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系的問題進(jìn)行解決，只有這樣才能真正發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用。我們在日后教學(xué)中，希望利用數(shù)形結(jié)合的教育價(jià)值與教育意義，解決數(shù)學(xué)問題，并且提高學(xué)生解題能力。所以在初中教學(xué)中，結(jié)合教學(xué)方式可以提高學(xué)生解決問題的能力，這也作為日后主要研究對象。筆者認(rèn)為，作為教師應(yīng)當(dāng)從教育價(jià)值視角出發(fā)，對其進(jìn)行深入研究，以此提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力。

二、 利用數(shù)形結(jié)合方法解決拋物線問題

（一）變化教學(xué)片斷與分析內(nèi)容

給出二次函數(shù)，y=-x 2+4x-2

（1）求此二次函數(shù)的最大值;

（2）若 5 2 ≤x≤3，求二次函數(shù)的最大值和最小值;

（3）若0≤x≤1，求二次函數(shù)的最大值和最小值;

（4）若0≤x≤3，求二次函數(shù)的最大值和最小值;

設(shè)計(jì)意圖：1. 解題方法：討論開口方向、對稱軸在區(qū)間左邊、右邊，對稱軸在區(qū)間內(nèi)靠左或靠右。2. 采用數(shù)形結(jié)合方法。

（二）教學(xué)過程

將最值設(shè)定在 5 2 ≤x≤3。教師在呈現(xiàn)出例題1后需要學(xué)生自主解決問題，在經(jīng)過五分鐘討論以后，學(xué)生需要給予教師相應(yīng)的回答。其次改變最值范圍，教師可以利用投影方式將整個(gè)改變區(qū)間方位演示給學(xué)生，學(xué)生可以先進(jìn)行自主解答，隨后與班級其他同學(xué)討論。其次演示旋轉(zhuǎn)，教師可以利用投屏方式演示0≤x≤3該最值情況，學(xué)生自主解答后，班級同學(xué)相互討論。最后歸納方法，教師利用y=-x 2+4x-2這道題，通過數(shù)形結(jié)合方法為學(xué)生講解最值范圍多個(gè)變化過程，并且將其呈現(xiàn)給學(xué)生后，可以引導(dǎo)學(xué)生自主思考。

（三）片段解析

在該問題的引導(dǎo)下利用信息技術(shù)能夠?qū)椎绬栴}的變化過程進(jìn)行全面展示，為學(xué)生提供最值變化等多個(gè)過程，同時(shí)也為學(xué)生提供動態(tài)學(xué)習(xí)的資源，使學(xué)生在拋物線變化過程中能夠感受出形結(jié)合思想所表達(dá)的含義，有效提高解決問題的能力。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生具有充分的感知能力，對于方法的理解與知識的掌握是十分到位的。在課件演示過程中，可以將教學(xué)過程中的不可能問題化成可能問題，提高教學(xué)效率，同時(shí)也體現(xiàn)出信息技術(shù)作為學(xué)生開展數(shù)學(xué)活動與教師教學(xué)實(shí)踐的主要工具的作用。學(xué)生作為課堂的主體，經(jīng)歷了聯(lián)想、觀察、歸納、分析等多個(gè)過程后，形成了更加廣闊的思維與豐富的知識，為日后學(xué)習(xí)積累寶貴經(jīng)驗(yàn)。

三、 教學(xué)感悟

（一）直觀演示

在教學(xué)過程中關(guān)于拋物線的翻折、旋轉(zhuǎn)、平移等多個(gè)運(yùn)動，如果按照傳統(tǒng)的教學(xué)方法，只是在學(xué)生的腦海中不斷變化與運(yùn)行，因此筆者認(rèn)為可以充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，使得圖形變化過程更加直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前，為學(xué)生提供與教學(xué)內(nèi)容相互符合的學(xué)習(xí)資源。在課堂過程中，可以利用白板技術(shù)對整個(gè)變化過程進(jìn)行直觀演示，將抽象變化過程展現(xiàn)在學(xué)生面前呈現(xiàn)出直觀變化過程，利用這種方法不僅在信息技術(shù)的演示下能讓學(xué)生感知到數(shù)學(xué)結(jié)合思想在學(xué)習(xí)過程的重要性，也為學(xué)生日后學(xué)習(xí)積累更加豐富的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也為他們?nèi)蘸筇骄刻峁└佑行У穆窂健?/p>

（二）事實(shí)歸納

信息技術(shù)的出現(xiàn)，可以幫助學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)更加簡便與直觀，它作為一種輔助性工具，可以對學(xué)生整個(gè)過程起到引導(dǎo)性作用。但是學(xué)生作為獲得知識的主體，需要學(xué)生能夠積極參與其中，才能更大地發(fā)揮信息技術(shù)的作用。在必要過程中需要學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行交流與總結(jié)，在大容量、快節(jié)奏的教學(xué)中，學(xué)生能夠清楚地知道自己是課堂的主體，不管使用多么先進(jìn)的技術(shù)支持，都難以替代學(xué)生自己的思維，所以在教學(xué)方法、解題方法、教學(xué)思維等多個(gè)方面，學(xué)生都要對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行相應(yīng)歸納。在進(jìn)行大量復(fù)習(xí)之后，這個(gè)環(huán)節(jié)顯得十分重要。隨著高密度動態(tài)演示過程不斷進(jìn)行，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行發(fā)現(xiàn)與歸納，抓住學(xué)習(xí)重點(diǎn)，并且能夠及時(shí)抓住稍縱即逝的機(jī)遇，通過辨別、追問、交流等多種方法，讓結(jié)論逐漸浮現(xiàn)在學(xué)生的心頭。

（三）適度延伸

在復(fù)習(xí)過程中，我們不僅需要關(guān)注解題方法、生成過程、數(shù)學(xué)思想，同時(shí)還要對這些方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣埂ｉ_展有效的拓展訓(xùn)練，能夠?qū)⑺@得的知識與學(xué)生的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)更好地結(jié)合起來，最終使得他們的認(rèn)識結(jié)構(gòu)更加完善。所以為了不斷提高數(shù)學(xué)思想在學(xué)生認(rèn)知中的作用，我們應(yīng)當(dāng)逐漸提高例題難度，并且使得其層次更加豐富。隨后引導(dǎo)學(xué)生的思維更加的深入，在片段中可以幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)與重點(diǎn)，對學(xué)生的思維進(jìn)行有效引領(lǐng)，使他們能夠歸納出解題方法，這對日后拓展應(yīng)用具有難以替代的作用，在學(xué)生的歸納過程中可以找到一般方法，同時(shí)在相對應(yīng)的鞏固訓(xùn)練中提高自身的數(shù)學(xué)能力。

四、 結(jié)束語

綜上所述，通過本次課題的深入研究，我們能夠發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想中跟生活實(shí)際進(jìn)行聯(lián)系，好比種下一步棋子，他能夠?qū)⒅R轉(zhuǎn)化成學(xué)生自己的能力。數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法存在著相互聯(lián)系的作用，他們都必須建立在相應(yīng)的知識基礎(chǔ)上。如果缺乏相應(yīng)的基礎(chǔ)，即使有再高的轉(zhuǎn)化能力與學(xué)習(xí)能力，也難以提高自身的數(shù)學(xué)成績，有人將數(shù)學(xué)比作成一個(gè)成年人，問題是心臟部分，知識是其軀體，行為思想是其靈魂。不管如何對其進(jìn)行對比都可以清楚地了解到，在初中解題過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要性。作為一名教師，筆者認(rèn)為應(yīng)當(dāng)樹立終身學(xué)習(xí)的想法，不斷提高自身的教學(xué)能力，認(rèn)真地備教材、備方法、備課，從學(xué)生角度出發(fā)，一切為學(xué)生著想，一切為學(xué)生做準(zhǔn)備，并且不斷提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在本次研究中仍存在不足之處，希望能夠利用終身學(xué)習(xí)方法來要求自己。不僅如此，從教師角度來說，教師可以在學(xué)生身上使得自身的思想得到延續(xù)，因此將數(shù)學(xué)思想方法滲透到教學(xué)過程中，可以使自身在教育過程中得到更好的鍛煉。

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