二次函數的圖像及性質在初中教學中的幾點思考

陳悅

[摘? 要] 文章結合2019年福建中考數學的第10題、第25題進行分析，分享在初中數學中教學二次函數的圖像及性質的幾點經驗：培養學生動手作圖能力;密切聯系其他數學知識;注重滲透數學思想;合理利用信息技術.

[關鍵詞] 二次函數的圖像及性質;初中教學;數學思想

問題背景

從2017年福建省開始全省統一中考命題以后，二次函數的圖像及性質就是考查的熱點內容之一，而且往往會與其他數學知識點結合起來，考查學生解決數學問題的綜合能力，對學生數學核心素養的要求比較高. 《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提到，會用描點法畫出二次函數的圖像，通過圖像了解二次函數的性質. 初中階段學生所習得的二次函數的概念，將為高中階段進一步學習函數做鋪墊. 《普通高中數學課程標準（2017年版）》中提到，用函數觀點理解方程和不等式是數學的基本思想方法. 借助二次函數的圖像，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系. 二次函數的圖像及性質的學習，如果能夠讓學生感悟到這些知識與技能背后更為本質的東西，將對學生掌握數形結合思想、分類思想、轉化思想產生積極的意義.

案例分析

例題1? （2019福建中考第10題）已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像經過A（m，n），B（0，y■），C（3-m，n），D（■，y■），E（2，y■）五點，則y■，y■，y■的大小關系是（? ? ?？搖）

A. y■

C. y■

評析? 本題主要考查了二次函數的圖像及性質、二次函數的對稱軸以及軸對稱的性質. 因為二次函數的關系式中a是大于0的，所以函數的開口方向向上. 但僅憑借這個條件還不能大致確定出函數的圖像，所以我們需要從題目給的五個坐標入手. 本題要比較的是點B，D，E的縱坐標，這三個點的橫坐標是已知的. 其中，A，C兩點的橫、縱坐標都是用字母表示. 仔細觀察，發現A，C兩點的縱坐標是相同的，都等于n. 所以我們可以得出一個重要的結論，即這兩個點在二次函數的圖像中是關于對稱軸成軸對稱的. 根據軸對稱的性質，這兩個點的橫坐標到對稱軸的距離相等，即可得到：x=■=■，從而得出二次函數的對稱軸x=■，此時就可以畫出二次函數的大致圖像了. 利用幾何畫板去模擬出這個函數的圖像，如圖1所示. 把B，D，E三點的橫坐標輸入，就可以把這三個點直接在函數圖像中表示出來了. 通過觀察圖像，可以很容易發現B點的縱坐標大于E點的縱坐標大于D點的縱坐標，即可得出：y2

觀察這個題目，我們可以發現其中所滲透的數學思想是很豐富的. 處理這個題目的關鍵是確定出二次函數的對稱軸，并借助二次函數的圖像來比較B，D，E三點的縱坐標，是把代數問題轉化為幾何問題來進行解決，體現了數形結合的數學思想和轉化的數學思想. 對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），可以借助二次項系數的正負判斷二次函數圖像的開口方向，當a>0？圳開口向上;當a<0？圳開口向下. 因為a>0，所以開口向上，體現了分類的數學思想. 數學思想是數學教學的核心和精髓，教師在教學中應該盡力反映和體現數學思想，讓學生了解和體會數學思想，提高學生的數學素養.

例題2? （2019福建中考第25題）已知拋物線y=ax2+bx+c（b<0）與x軸只有一個公共點.

（1）若拋物線與x軸的公共點坐標為（2，0），求a，c滿足的關系式;

（2）設A為拋物線上的一定點，直線l：y=kx+1-k與拋物線交于點B，C，直線BD垂直于直線y=-1，垂足為點D.當k=0時，直線l與拋物線的一個交點在y軸上，且△ABC為等腰直角三角形.

①求點A的坐標和拋物線的解析式;

②證明：對于每個給定的實數k，都有A，D，C三點共線.

評析? 本題是一道代數與幾何綜合的問題，主要考查了二次函數、一次函數的圖像及性質，二次函數的頂點式，軸對稱的性質，等腰直角三角形的性質等基礎知識，綜合考查學生對初中階段函數方面的基礎知識的掌握水平. 要求學生對二次函數、一次函數的圖像有比較深刻的領悟，要能夠把相關的代數問題轉化成數學符號，并利用函數的圖像對其中所包含的圖形元素進行分析.

本題的第（1）問，已知拋物線與x軸的公共點只有一個，交點坐標（2，0），可以推出二次函數的頂點坐標為（2，0）. 可以代入二次函數的頂點式，得到y=a（x-2）2=ax2-4ax+4a，所以c=4a.

本題第（2）問的①小問要求點A的坐標和拋物線的解析式. 已知直線l的解析式y=kx+1-k可以變形為y=k（x-1）+1，會過定點（1，1）. 當k=0時，直線l變為y=1，平行于x軸，與y軸的交點為（0，1）. 因為（0，1）也是拋物線上的一點，所以c=1. 又因為△ABC為等腰直角三角形，且A，B，C三點都在拋物線上，由于二次函數的圖像具有對稱性，所以點A為拋物線的頂點. 因為c=1，所以頂點坐標為A（1，0）. 設二次函數的解析式為y=a（x-1）2，把（0，1）代入解析式可得a=1，拋物線的解析式：y=x2-2x+1.

本題第（2）問的②小問要求證明A，D，C三點共線，這個問題主要考查了一次函數、二次函數的圖像及性質. 這個題目的難度較大，首先本題沒有配圖，需要學生自己動手作出函數的圖像;其次對學生的數學閱讀能力要求比較高，要能夠把相關的數學元素經過理解、表征之后呈現出來;最后，要能夠借助函數的圖像，把幾何問題轉化為相關的代數問題進行解決. 因為直線l與拋物線相交于B，C兩點，可以聯立方程組，解得點B橫坐標：x■=■（2+k-■），點C的橫坐標：x■=■（2+k+■）. 因為點C在一次函數的圖像上，代入后可以得到點C的坐標為1+■，1+■，畫出函數的大致圖像之后，如圖2所示，可以觀察得到，直線BD垂直于直線y=-1，點B和D的橫坐標相同，點D的縱坐標為-1，所以D1+■，-1. 已求得A（1，0），可以得到k■=■=■，同理可得k■=■，所以k■=k■，點A，C，D三點共線.

在初中教學的具體實踐

1. 在二次函數的圖像及性質的教學中培養學生的動手作圖能力

在二次函數的圖像及性質的教學中，教師應該充分給學生動手作圖的時間，讓學生掌握描點法的基本步驟. 教師應通過創設具有實際背景的問題，讓學生在理解兩個變量的基礎之上，通過列表、計算、描點等過程，畫出二次函數的大致圖像. 動手作圖是一種數學實踐活動，也是學生自主學習的重要方法. 學生在參與數學活動的過程中，不僅僅能夠促進其對二次函數的掌握，還可以幫助學生獲得數學的基本活動經驗.

2. 在二次函數的圖像及性質的教學中密切聯系其他數學知識

在初中階段，對二次函數的圖像及性質的學習是基于笛卡兒坐標系進行的，其實質就是把一些幾何問題轉化為代數問題. 在問題轉化的過程中，往往需要借助到其他的數學知識，同時它并不是單一的數學方法的應用，可能涉及多種數學方法，因此對學生數學素養的要求比較高. 另一方面，在二次函數的圖像及性質的學習中就需要用到其他的數學知識. 例如，在研究二次函數軸對稱性的時候，就需要用到軸對稱的性質.

3. 在二次函數的圖像及性質教學中應注重滲透數學思想

數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和文化在更高層次上的抽象與概括. 在二次函數的圖像及性質教學中，我們也可以充分挖掘其中所蘊含的數學思想，讓學生在教學實踐活動中，通過獨立思考，動手操作，合作交流，進一步感悟數學思想. 特別是二次函數的圖像及性質所蘊含的函數思想，可以說是為高中階段學習函數做了很重要的鋪墊. 依據解析式可以描繪出圖像，從圖像特征又可以讀出函數的形態結構. 解決問題時，更重要的是利用函數的形態結構，量化地處理問題. 因此，函數形態結構的架構在初中階段可以慢慢滲透，為高中的學習打下基礎.

4. 在二次函數的圖像及性質教學中合理運用信息技術

在二次函數的圖像及性質教學中，合理地利用信息技術進行輔助教學，可以幫助學生直觀地獲取數學知識，也有助于提高學生的課堂效率. 比如，在研究二次函數的增減性時，可以結合幾何畫板動態模擬兩個變量之間的變化情況，這樣將幫助學生更加直觀地感受二次函數的增減性. 又比如，在探究二次項系數a與二次函數圖像的開口大小時，如果能夠結合幾何畫板，學生就能更有效地、更快速地去理解它們之間的關系，這也有助于提高課堂效率.