如何讓高中生理解“導數”概念

吳麗娜

摘 要：在高中數學教學體系中，“導數”是一個重要的知識項目。在高考數學中，“導數”占據較大的比重，學生對“導數”的掌握程度對其自身的數學高考成績有一定的影響。在“導數”這節內容教學中，概念教學是最基礎的環節。然而，“導數”概念非常抽象，加上學生在這方面花費的精力較少，所以很多學生對“導數”的概念了解不透徹，認知水平低，導致后續的數學學習非常低效。為了改變這一局面，數學教師要重視并加強“導數”概念教學，確保每個學生都能透徹理解和熟練掌握，為學生的后續學習打好基礎。

關鍵詞：高中數學導數;概念教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 收稿日期：2019-07-23 文章編號：1674-120X（2020）04-0050-02

高中學生有樂于探索的精神，而且思維異?；钴S，然而，對學生來說，“導數”概念比較抽象，學生對其定義往往理解不清，這為學生接下來的學習造成一定阻礙。新形勢下，數學教師首先要結合新課標要求針對“導數”這一概念進行深入研究，明確教學方向，結合學情采取合適的教學措施，使學生直觀形象地理解并掌握“導數”的概念及其意義，以此提升“導數”教學實效性，促進學生健康長足發展。

一、高中數學“導數”概念教學的重要性

作為微積分的重要構成，“導數”是對現代科學技術進行研究的一種重要手段，在相關領域占據著舉足輕重的位置?！皩怠焙秃瘮店P系密切。在高中數學教學中強化“導數”教學，有利于學生更好地理解函數性質，對學生分析和解決數學問題的能力以及邏輯思維的培養具有重要意義。新課程改革對高中數學教材作出適當的調整，無論是教學任務還是教學要求，都和傳統教學存在一定的區別。“導數”已經成為高中數學教學和學習中的難點、重點，有著特殊的作用和地位。學生掌握“導數”知識，可以在數學學習中更好地解決幾何、不等式、數列、函數等數學問題。

二、高中數學中導數概念教學策略

（一）深入了解實際的學情，樹立明確的教學目標

在傳統的“導數”概念教學中，教師很少深入研究學情，通常都是直接按照教學大綱要求制定教學目標和教學方案，然后在課堂上執行教學方案。這樣就導致“教”與“學”相互分離。高效教學視角下，數學教師必須先深入研究并掌握實際學情，然后基于對學情的把握樹立教學目標。通俗點說，數學教師在教學中應當遵循“量體裁衣”的原則，既要確保制定的教學方案符合新課改要求，更要保證教學方案與學生的實際情況相符合。一般來說，高中學生已經具備一定的符號意識，所以教師在講解“導數”這個概念的時候，只需要闡述清楚△y和△x分別表示什么即可。另外，高中學生雖然有一定的抽象思維，但如果能夠借助一些形象的事物加以輔助，將會更容易理解抽象的知識。所以，在指導學生認知“平均變化率”“瞬時變化率”等抽象概念的時候，教師可以適當地借助一些生活素材，這樣既能吸引學生，又能促進學生理解。此外，高中學生有一定的生活閱歷，認知水平比較高，具有較強的想象能力。數學教師在講解生活實例的時候，可以引導學生發揮自身的想象能力，并且充分利用學生的計算能力。在分析“導數”這一概念過程中涉及到數學運算和數據分析時，教師要盡量都交給學生，讓學生自主運算和歸納，這樣既能調動學生的主觀能動性，使學生全身心參與其中，還能發展學生的數據分析、數學運算等核心素養。

（二）基于問題設計精彩導入，激發學生探究欲望

課堂導入是一個直接影響課堂上學生參與積極性和教學實效性的教學環節， 但是其重要性往往沒有得到應有的重視。在傳統數學教學中，教師在講解“導數”概念的時候通常是直奔主題，這樣的課堂導入很難喚醒學生的學習興趣。在這樣的教學環境下，學生的參與積極性非常低，整體教學效果也受到影響。在筆者看來，教師應當針對這一局面進行改進，通過問題情境設計課堂導入，以此激發學生探究欲望。例如，教師可以立足實際創設如下幾個問題情境：①春天的時候小樹苗長得非常快，如何從數學角度將樹苗的“快長”刻畫出來？②下雪的時候，室外的溫度陡然下降，如何從數學角度將氣溫的“陡降”刻畫出來？③最近幾年，房價一直在暴漲，如何從數學角度將房價的“暴漲”刻畫出來？④我國的GDP最近幾年一直在猛增，如何從數學角度將最近五年我國GDP的“猛增”情況刻畫出來？這一系列的問題貼近生活實際，對學生來說具有一定的熟悉感和親切感，而且能夠激發學生的探索欲望。在這個基礎上，教師再指導學生通過類比的方式用比值將變化的快慢程度刻畫出來。這樣的課堂導入能夠在集中學生注意力的同時激活學生的思維，使學生全身心地投入課堂教學活動之中。譬如，筆者在講解這個概念的時候，先在課前讓學生帶一個氣球，課堂上讓學生吹氣球，親身體驗并發現：一開始吹氣球的時候氣球的體積很快就變大，但是越到后面，吹起來就越吃力，而且氣球的半徑增加得也越來越慢;然后讓學生用數學知識對這種現象進行描述。這個問題很快就喚醒了學生的學習興趣，讓學生迫不及待地想知道答案。趁著學生興致正濃，筆者帶領學生通過球的體積公式建立體積V與半徑r之間的函數關系，即（體積單位：L;半徑單位：dm）。掌握了這一公式之后，筆者鼓勵學生計算氣球體積從0變為1L這個過程中半徑的增加量，即r（1）-r（0）≈0.62（dm）。這個變化的過程可以用△r表示，即變化程度，用符號表示即r2=r1+△r。放在函數里面，則表示為△x，表示自變量的變化量，即x2=x1+△x，△x即x1的“增量”。而氣球在體積從0變為1L這個過程中的平均膨脹率為≈

0.62（dm/L）。這個式子可以被稱之為氣球體積從0到1L的平均變化率，即。放在函數中，即，而△y=f（x2）-

f（x1）。有了實例的輔助，學生快速理解了“平均變化率”的概念，而且學習興致極高，這為接下來“導數”這一 概念的引入打下了牢固基礎。

（三）開展小組合作交流活動，促進學生理解吸收

傳統教學中，教師習慣性采取灌輸式教學法，也就是直接將知識告知學生，省去了學生的思考、參與等環節。這樣的教學方式只能讓學生記住知識，但卻不利于學生對知識的理解和應用。高效教學視角下，教師應當將學習主動權交還給學生，這樣可以促進學生對“導數”這一概念的理解、消化和吸收。例如，在學生了解“平均變化率”這一概念之后，筆者利用多媒體將我國運動員在10m高跳水臺上跳水的畫面呈現出來，喚醒學生的學習興趣。在這個基礎上，筆者再將運動員起跳后時間t與運動員與水面之間的高度h之間存在的函數關系h（t）=-4. 9t2+6.5t+10告知學生，并且問學生假如運動員的瞬時速度可以通過平均速度求出來，t=1s時運動員的瞬時速度是多少？提出這一問題之后，筆者先讓學生自主思考，讓學生感知由平均速度到瞬時速度的這個過程。在學生思考的時候，筆者從旁進行輔助，給予學生適當的暗示和提醒，讓學生認識到，時間間隔越小，平均速度就越逼近瞬時速度。在這個基礎上，筆者進一步提出問題：“當△t取多種不同的值時，平均速度的值是多少？”對于這個問題，筆者仍然讓學生獨自思考，引導學生列出式子。接著，筆者向學生展示課前準備好的Excel表格，讓學生看到不同時間區間內平均速度和△t的值，如表1和表2。

表格中呈現的大量數據，可以讓學生直觀地看清楚平均速度的變化趨勢。在這個基礎上，筆者再向學生提問：“當△t趨向于0時，平均速度的變化趨勢如何？”通過表格明顯可以看到，當△t趨向于0，平均速度趨向于-3.3這個數值。在學生掌握這一知識點之后，筆者再引出瞬時速度的概念：“-3.3這個常數就是t=1s時運動員的瞬時速度。”最后，筆者再提出問題：“①在某個時刻t0，運動員的瞬時速度應當如何表示？②瞬時速度從某種程度上說是位移對時間的瞬時變化率。假如用x=x0表示高臺跳水中的函數，那x=x0處，函數x=x0的瞬時變化率應當如何表示？”筆者讓學生以小組為單位針對這兩個問題展開研究。設計的第一個問題，是為了引導學生通過類比的方式對t0時刻瞬時速度進行定義。而設計的第二個問題，是為了讓學生認識到=這個比值無限趨向于某一個常數A，則也意味著，在x=x0處，x=x0可導，而且這個常數A就是x=x0處函數x=x0的導數。這種由學生自主思考和小組合作而探究出結果的方式，相對于教師直接將“導數”概念灌輸給學生的教學方式，能夠讓學生更好地理解并記住，而且學生經過了自主探索，對“導數”的內涵有了深入的理解，掌握了其本質，在今后運用的時候也會游刃有余。

準確理解“導數”概念，是高中學生學好與“導數”有關的數學知識的前提和基礎，也是幫助學生突破“題海”困局的關鍵手段，可以起到事半功倍的效果。因此，在高中數學教學中，教師要注重并加強“導數”概念教學，首先要樹立正確的教學目標，并利用問題情境設計課堂導入，在這個基礎上開展小組合作交流活動，最后組織學生展示各自的成果，在良好的互動氛圍中促進學生對“導數”概念的理解、消化和吸收。

參考文獻：

[1]張子悅.基于極限思想對導數與定積分概念的認識與思考[J].科技資訊，2018（13）：165-166.

[2]吳沛東，盧焱堯，彭杰. 高中生在導數問題解決中的困難調查與對策研究[J].數學教學通訊，2014（3）：2-5.

[3]王強.數學“微課”初探——以“導數的概念”一課為例[J].高中數學教與學，2016（4）：27-30.

[4]楊鋒.內容下移：數學教學一種可能的方向——基于導數教學的反思[J].數學教學通訊，2018（30）：50-51.

[5]賴忠華.“浙江省高中數學‘導數及其應用（理科）教學指導意見”解讀與教學建議[J].中學教研·數學，2008（1）：1-2.