“二次函數背景下等角問題”教學探索

江同營

【摘 要】 二次函數背景下角相等的“存在問題”知識涵蓋面廣，綜合性強，考查能力多，具有相當的深度與難度。二次函數背景下角相等“存在問題”的基本特征是在一定條件下一個角與已知角相等或互余的結論是否存在，這類題目對能力的要求比較高，廣泛運用于中考的拉距與選拔題上，如何不用題海戰術，讓學生真正掌握解決這類問題的方法，是值得我們探討的問題。本文就以實例對二次函數背景下等角問題的教學進行探索。

【關鍵詞】 二次函數;等角問題;教學探索

二次函數背景下是否存在角相等的問題的知識涵蓋面較廣，綜合性較強，考查能力也較多，具有一定的深度和難度。二次函數背景下是否存在角相等的問題，其基本特征是在一定條件下一個角與已知角相等或互余等的結論是否存在，常見的敘述語言是“在二次函數的圖像上是否存在……，使得……？如果存在，請求出xx點的坐標（或xx的解析式），如果不存在，請說明理由”。根據分析，此類問題通常分為兩大類型解題，一類是由位置關系確定的“存在性問題”，要求尋找的是滿足特殊位置關系方面的要求，例如等腰三角形中等邊對等角，另一類則是由數量關系確定的“存在性問題”，要求尋找一個特殊數量關系方面的要求，比如點的坐標等。這類題目對能力的要求比較高，廣泛運用于中考試卷的拉距與選拔題目上，如何不用題海戰術，讓學生真正掌握解決這類問題的方法，是值得我們探討的問題。

【探索目標】

1.探索二次函數背景下的等角問題。

2.體會數形結合、分類討論等數學思想在解題中的運用。

3.在解決問題的過程中，提高學生分析問題、解決問題的能力。

【探索過程】

一、例題研討

如圖1，拋物線的圖像與直線y=x+1交于點A、C，直線y=x+1與y軸交于點D，過C作CB⊥x軸于點B。

問題1：設點P是x軸上的一個動點，如果∠BPC=∠ADO，請畫出滿足條件的示意圖，并直接寫出點P的坐標。

【設計意圖】將題目中的已知代數條件轉化成幾何圖形條件，發現圖形中隱含的信息，為解決之后的問題做鋪墊，同時注意點在線上運動時是否會產生不同情況。

問題2：設點P是x軸上的一個動點，如果∠BPC=∠COD，請求出點P的坐標。

【設計意圖】首先，畫圖是學生的弱項，以這題為載體進行訓練。其次，通過角的改變，探索解決等角問題的方法。

此題屬于較基本、較典型的常見題型，我們可利用此題二次函數的“背景”進行變式嘗試，變式后的題目如下：

變式1：設點P是直線y=x+1上的一個動點，如果∠BPC=∠COD，請求出點P的坐標。

變式2：設點P是拋物線上的一個動點，如果∠CBP=∠OCD，請求出點P的坐標。

【設計意圖】通過點P位置的變化（由在直線y=x+1變為在拋物線上）和角的變化（由∠BPC=∠COD變為∠CBP=∠OCD），讓學生感受圖形雖然略有變化，但是解題的思路方法沒有變化，這樣的變式更凸現了本題的重點，提高了思維的“質”，通過一系列的變式訓練幫助學生對問題理解得更加深刻，從而提高學習的效率。

二、小結提升

教師引導學生進行分析思考小結：

1.可以從哪幾個不同的角度解決二次函數背景下的等角問題？（平行線的同位角、內錯角相等，等腰三角形的等邊對等角，相似三角形的對應角相等，全等三角形的對應角相等）

2.在解決問題的過程中要注意些什么？

三、探索思考

本節課的教學重點是探索二次函數背景下的等角問題的求解方法。教學難點是如何轉化二次函數背景下的等角問題。在教學設計上遵循以下思路：

1.思考方法的指導。引導學生在解決問題時，先要確定點P的位置、畫出示意圖，再觀察等角的大小和位置關系，如果在不同三角形中，可以尋找相似三角形，利用對應邊成比例求解，如果其中一個角的三角比可求，那么可以尋找或者構造直角三角形，利用三角比求解。

2.由易到難，逐級而上。例題的安排從簡單入手，點P先是位于坐標軸上，然后位于直線AC上，最后位于拋物線上，利用圖形中隱含的條件把等角轉化到相似三角形或者直角三角形中。通過角的不同和點P的位置變化，使學生積累解題經驗。

解決二次函數背景下角相等是否存在問題的一般思路是，先假設存在，把存在這一結論作為條件進行分析、研究、推理，接著進行精密計算，如果能夠推出一個合理的結果，那么假設成立，如果得不出結果，或者結果和邏輯矛盾，那么假設就不成立，最后得出結論。解決二次函數背景下角相等的存在問題，可以從平行線的同位角及內錯角相等、等腰三角形的等邊對等角、相似三角形的對應角相等以及全等三角形的對應角相等諸多角度進行思考并給予解決。在解決問題的過程中，要注意分類討論、類比、轉化、數形結合等數學思想方法的應用。

二次函數綜合題涉及的知識面廣，思想方法多，對學生分析問題、解決問題的能力要求較高。本節課基本做到了拓展同學的解題思路，將等角問題轉化到直角三角形、相似三角形或者等腰三角形中。

四、跟蹤訓練

如圖2，二次函數的圖像與x軸交于點A、B，與y軸交于點C。

（1）求頂點D的坐標;

（2）若點是y軸上的點，將點Q繞著點P按順時針方向旋轉90度得到點E，當點E恰好落在該二次函數的圖像上時，求t的值;

（3）在（2）的條件下，連接AD、AE，若M是該二次函數圖像上的一點，且，求點M的坐標。

【參考文獻】

[1]葉興君.二次函數題—角相等的“存在問題”[J].數理化學習，2015（7）.

[2]郭小麗.二次函數中的角度相等問題（初三）[J].數理天地：初中版，2018（12）.

[3]宋盛華.中考二次函數與“存在性問題”的探究[J].數理化學習（初中版），2011（07）.