基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角的單元設(shè)計(jì)

劉英英

[摘? 要] 通過單元“整體”設(shè)計(jì)整體把握課程核心內(nèi)容，宏觀學(xué)科核心素養(yǎng)、中觀課程標(biāo)準(zhǔn)、微觀教學(xué)內(nèi)容相聯(lián)結(jié)，為學(xué)生構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程. 文章以一元二次方程章單元為例從核心素養(yǎng)分析、課標(biāo)分解、版本對(duì)比、單元目標(biāo)設(shè)計(jì)、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)五個(gè)角度進(jìn)行闡述.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);單元設(shè)計(jì);課標(biāo)分解

2017年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，六個(gè)核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立亦相互交融. 素養(yǎng)具有連續(xù)性和階段性，學(xué)生的學(xué)習(xí)也是如此的，因此學(xué)科核心素養(yǎng)最終是要落實(shí)在平時(shí)的教學(xué)中，那么作為日常教學(xué)這個(gè)最重要的底層基礎(chǔ)平臺(tái)，如何為學(xué)生構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，如何以課程為載體進(jìn)行設(shè)計(jì)和教學(xué)，整體把握課程核心內(nèi)容，培養(yǎng)真實(shí)學(xué)力，為學(xué)生謀求長(zhǎng)遠(yuǎn)的利益，值得我們思考和踐行.

單元教學(xué)設(shè)計(jì)是基于學(xué)科知識(shí)內(nèi)在邏輯和思想方法，運(yùn)用系統(tǒng)方法對(duì)某個(gè)單元或某些相關(guān)聯(lián)的課程資源，從整體出發(fā)逐層分解、組合構(gòu)建、有機(jī)整合的一種構(gòu)想. 單元設(shè)計(jì)立足于學(xué)科核心素養(yǎng)的維度，以課標(biāo)為綱、著力于策略、著手于學(xué)情，突出的是建構(gòu)過程. 打破“課時(shí)約束”，將碎片知識(shí)點(diǎn)整體架構(gòu)，對(duì)教學(xué)策略有序整合，突出的是內(nèi)容的整體性、階梯性，目標(biāo)的過程性、層序性，過程的生本性、創(chuàng)造性，引導(dǎo)的是思維，實(shí)現(xiàn)的是進(jìn)階. 通過單元“整體”設(shè)計(jì)，教師的頭腦中會(huì)有一副“完整的圖畫”，根據(jù)這幅“圖畫”目的性更強(qiáng)，臺(tái)階設(shè)置效度更高. 單元設(shè)計(jì)給予學(xué)生的是學(xué)科素養(yǎng)的漸進(jìn)建構(gòu)，給予教師的是規(guī)劃力. 單元設(shè)計(jì)中的“單元”可以是教材中的章，也可以是“章”的整合，可以是以數(shù)學(xué)方法為主線、知識(shí)間的關(guān)系為架構(gòu)進(jìn)行重組，也可以是實(shí)踐項(xiàng)目.

單元設(shè)計(jì)的路徑如圖1.

下面筆者以北師大版九年級(jí)上冊(cè)第二章《一元二次方程》為例，進(jìn)行學(xué)科核心素養(yǎng)分析及單元教學(xué)設(shè)計(jì).

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分析

《一元二次方程》是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)最后一個(gè)方程，前面一元一次方程、二元一次方程及方程組的學(xué)習(xí)，學(xué)生體會(huì)了“元”的擴(kuò)展，一元二次方程則實(shí)現(xiàn) “次”的提升. 主要內(nèi)容包括：概念、解方程、解決實(shí)際問題，而這恰好是研究學(xué)習(xí)方程、不等式內(nèi)容的共同路徑. 用方程簡(jiǎn)約表述數(shù)量關(guān)系，在抽象和模型的大背景之下研究一元二次方程的概念和解法，是全章的重點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn).

（一）概念的形成

教材中概念引入設(shè)置了3個(gè)不同的問題情境“教室鋪設(shè)地毯、5個(gè)連續(xù)整數(shù)、墻上的梯子滑動(dòng)問題”，通過構(gòu)建等量關(guān)系，觀察、分析、尋找它們的共同點(diǎn)，抽象出隱藏在具體問題中的一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用簡(jiǎn)潔的符號(hào)語言表征共性的問題，用有限的字母表示無限的生活背景，在這個(gè)過程中學(xué)生經(jīng)歷了從數(shù)字到字母，從具體到抽象，從眼見為實(shí)到想到為實(shí)，眼見“鋪地毯”想到“梯子下滑”， 這就是數(shù)學(xué)抽象的過程.

（二）解方程

解一元二次方程“核”是降次，是基本策略，是知識(shí)主線基礎(chǔ)上突出思維訓(xùn)練的一條暗線. 配方法是推導(dǎo)求根公式的工具，前涉及完全平方公式的恒等變形，后為二次函數(shù)做鋪墊，因式分解法是整式乘法的逆運(yùn)算，突出的是“降次”“逆向”，置于公式法之后，目的不僅是讓學(xué)生體會(huì)結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，更讓學(xué)生在過程中積累研究問題的角度和思路，從整體思想“集成”眼光，轉(zhuǎn)化思想“如何轉(zhuǎn)”“怎樣轉(zhuǎn)”……，在建構(gòu)新知時(shí)敢于探索，善于思考，讓思考成為行為習(xí)慣和思維模式，這就是邏輯推理. 解方程屬于運(yùn)算，而運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是邏輯推理，依據(jù)題目的特征挖掘信息→定義、公式、法則的準(zhǔn)確運(yùn)用→選擇合理運(yùn)算方法→簡(jiǎn)化運(yùn)算，在這樣的過程中目標(biāo)明確“x=a”有理有據(jù)是核心.

（三）實(shí)際應(yīng)用

教材例題及練習(xí)提供了豐富的問題背景——《九章算術(shù)》中的“勾股”問題，印度古算書中“猴子”問題，圍雞場(chǎng)、道路設(shè)計(jì)、增長(zhǎng)率、臺(tái)風(fēng)問題、握手問題……情景的多樣性、層次性，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)的魅力與價(jià)值. 學(xué)生運(yùn)用方程工具解決問題，將問題情景轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題→第一步抽象，確定等量關(guān)系、設(shè)列方程數(shù)學(xué)表述→第二步邏輯推理、數(shù)學(xué)表達(dá)，解答方程得到結(jié)論→第三步運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)模型，解決問題的過程其實(shí)就是數(shù)學(xué)化的過程，問題策略多樣化的過程是學(xué)生從知識(shí)層級(jí)逐步轉(zhuǎn)移到思維層級(jí)的過程，從經(jīng)驗(yàn)到素養(yǎng)，思維正遷移，掌握知識(shí)的同時(shí)滲透數(shù)學(xué)的意識(shí)，這就是核心素養(yǎng)的養(yǎng)成過程.

課標(biāo)分解

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、教材、學(xué)生與資源等具體情況，將課程標(biāo)準(zhǔn)中有關(guān)內(nèi)容的行為標(biāo)準(zhǔn)分解成具體的、可操作的、可評(píng)價(jià)的教學(xué)結(jié)果目標(biāo)，即課程標(biāo)準(zhǔn)的具體化.

（一）能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型. 這里的“體會(huì)”是指通過認(rèn)識(shí)、概括、運(yùn)用三個(gè)步驟引導(dǎo)學(xué)生在具體的情境中，用一元二次方程語言描述實(shí)際情景中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而體驗(yàn)?zāi)Ｐ偷某橄笮浴⒑?jiǎn)化性和結(jié)構(gòu)性.

（二）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程. 這里的“理解”包括兩層含義，（1）明確配方法的核心——配完全平方;（2）明晰算理邏輯清晰，能夠準(zhǔn)確判斷前提條件是恒等變形還是等式性質(zhì). 這里的“能”包含三種解法從何來，它們的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，三種解法能夠根據(jù)題目特征進(jìn)行算法選擇和策略優(yōu)化.

（三）能用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等. 這里的“能”包含對(duì)方程的根的再認(rèn)識(shí)，（1）能舉例說明未知數(shù)系數(shù)變化對(duì)一元二次方程根的影響;（2）在不解方程的情況下會(huì)判斷、能表述.

（四）了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系. “了解”說明這部分對(duì)初中學(xué)生的要求達(dá)到“知道、認(rèn)識(shí)”即可，屬于低階思維的要求，即由根的情況判斷系數(shù)關(guān)系，由系數(shù)關(guān)系判斷根的情況.

（五）經(jīng)歷估計(jì)一元二次方程解的過程，進(jìn)一步培養(yǎng)估算意識(shí)和能力，發(fā)展數(shù)感. 這里的“估計(jì)”，不僅僅在于求解，還包括直觀探究方程性質(zhì)，初步感悟代數(shù)式求值的計(jì)算也是方程求解的有效途徑，為后續(xù)高中二分法學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

各版本對(duì)比分析

（一）《人教版》章節(jié)小結(jié)中強(qiáng)調(diào)“比較你所學(xué)過的各種整式方程，說明它們的未知數(shù)的個(gè)數(shù)與次數(shù)，你能寫出這些方程的一般形式嗎？”通過不同方程之間的對(duì)比、歸納，找共性、尋差異，強(qiáng)化符號(hào)意識(shí)（即“一般形式”），體會(huì)方程的模型思想.

（二）《浙教版》一元二次方程章節(jié)緊跟在二次根式內(nèi)容之后，這樣的順序幫助學(xué)生更加明晰代數(shù)式與方程之間的微妙聯(lián)系，為直接開平方儲(chǔ)備知識(shí)、奠定基礎(chǔ).

（三）《華師大版》沒有提供實(shí)際問題背景，而是直接給出關(guān)于方程的問題，讓學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、對(duì)比、感受方程間的關(guān)系. 明確給出了“直接開平方法”的概念，并且后面緊接著是“因式分解法”的介紹，而非“配方法”.

（四）《北師大版》注重實(shí)際問題的引入，讓學(xué)生在解決問題的過程中體會(huì)解一元二次方程的實(shí)質(zhì).

（五）對(duì)比教材內(nèi)容及編排順序會(huì)發(fā)現(xiàn)：

1. 問題情境是起點(diǎn)也是終點(diǎn)，因此在確定單元目標(biāo)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該以多元多樣的實(shí)際問題為背景，以模型思想為核心，以“轉(zhuǎn)化”為基本策略.

2. 四個(gè)版本都強(qiáng)調(diào)了對(duì)已學(xué)過的方程的對(duì)比梳理，所以單元目標(biāo)的設(shè)計(jì)要關(guān)注過程，關(guān)注學(xué)生運(yùn)用方程的思想分析問題、解決問題的意識(shí)和能力.

3. 北師版和人教版沒有直接開平方法，但直接開平方法與學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備距離最近且難度最低，因此可以根據(jù)學(xué)情借助直接開平方法為學(xué)生搭建知識(shí)“攀爬架”，讓新知生長(zhǎng)有根，思維成長(zhǎng)有方向.

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角閱讀課程內(nèi)容、分解課程標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行單元整體設(shè)計(jì).

單元整體目標(biāo)設(shè)計(jì)

（一）知識(shí)與技能

1. 能從實(shí)際問題中建立數(shù)量之間的相等關(guān)系，并用字母表示一元二次方程的概念，能夠清晰說明概念中的隱含條件;

2. 會(huì)推導(dǎo)配方法，能夠根據(jù)題目有效信息選擇恰當(dāng)?shù)乃惴ǎ_解答一元二次方程并進(jìn)行策略優(yōu)化;

3. 能利用方程模型解決實(shí)際問題，會(huì)檢驗(yàn)且能檢驗(yàn)根的合理性，并做出正確判斷;

4. 能舉例說明未知數(shù)系數(shù)變化對(duì)一元二次方程根的影響;明確根的判別式隱含條件，根與系數(shù)關(guān)系能夠正向、逆向互用.

（二）過程與方法

1. 經(jīng)歷從生活情境中抽象出一元二次方程，梳理初中階段方程研究路徑，感受數(shù)學(xué)抽象，滲透模型思想和符號(hào)意識(shí);

2. 經(jīng)歷用直接開平方法、配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的過程，體驗(yàn)有邏輯地思考問題，體會(huì)類比歸納，滲透分類討論和化歸思想;

3. 經(jīng)歷估計(jì)一元二次方程解的過程，進(jìn)一步培養(yǎng)估算意識(shí)和能力，發(fā)展數(shù)感.

（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀

豐富的問題情景，聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)與生活，激發(fā)興趣，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn);問題牽引活動(dòng)帶動(dòng)，解決問題中增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的良性循環(huán).

（四）教學(xué)重難點(diǎn)

1. 概念的抽象過程.

對(duì)初中學(xué)生來說，從豐富的問題背景中尋找共同屬性，并概括歸納為一般形式是有困難的，用簡(jiǎn)潔的符號(hào)表述更增加難度;概念中隱含條件的辨析對(duì)部分學(xué)生也是障礙.

2. 知道配方法的來源，能準(zhǔn)確應(yīng)用.

配方法涉及的知識(shí);前——完全平方公式、恒等變形，后——二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式的相互轉(zhuǎn)化;難點(diǎn)之處在配方法解等式與配方法恒等變形整式的算理不同，學(xué)生在此處混淆的原因是邏輯推理的“源”不夠明晰.

3. 一元二次方程運(yùn)算能力的分階段訓(xùn)練.

4. 實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為方程模型.

評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

評(píng)價(jià)測(cè)量包括：前測(cè)診斷→過程評(píng)價(jià)→終端測(cè)量，測(cè)量的要素可以是知識(shí)、技能，也可以是信息提取、語言轉(zhuǎn)化、公式應(yīng)用、算法選擇、策略優(yōu)化、思維習(xí)慣、學(xué)習(xí)生長(zhǎng)力等，如果說前置是初診，那么終端是復(fù)診，尋找深層次的原因解決問題，指向核心素養(yǎng)的發(fā)展是目標(biāo). 評(píng)價(jià)中我們最常用的就是題，題對(duì)學(xué)生來說是知識(shí)梳理的清單，是思維生長(zhǎng)的腳手架，是數(shù)學(xué)思想與方法結(jié)合的載體，是可操作可訓(xùn)練的可見的能力. 對(duì)教師來說是知識(shí)體系，是教材再開發(fā)，是課程規(guī)劃力，以解題來帶動(dòng)解決問題，題的設(shè)計(jì)不是數(shù)量的疊加，應(yīng)該是量級(jí)的突破，梳理出知識(shí)的價(jià)值，自上而下遷引，指向個(gè)性化診斷、指向?qū)W科發(fā)展水平、指向核心素養(yǎng).

孟子曰：“登東山而小魯，登泰山而小天下”，單元設(shè)計(jì)學(xué)生經(jīng)歷感受的是生長(zhǎng)線，不是獨(dú)立的點(diǎn)，呈現(xiàn)的是教師的主導(dǎo)性和前瞻性，從知識(shí)的搬運(yùn)工到課程的規(guī)劃師. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并非空中樓閣，知識(shí)是核心素養(yǎng)生長(zhǎng)的沃土，課程實(shí)施是生長(zhǎng)路徑，資源是養(yǎng)料，通過單元設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)“漸進(jìn)建構(gòu)”，著眼于目標(biāo)——核心素養(yǎng)，著力于策略——單元設(shè)計(jì)，著手于學(xué)情——評(píng)價(jià)診斷，這就是核心素養(yǎng)的落地.