循法推理關聯

邵文鴻

摘 ? ?要：數學課堂問題設計的自然程度關系到引發學生思考的深入程度.在初中幾何內容教學中，教師可以從幾何研究的方法、學科邏輯的推理、知識結構的關聯三個角度來設計自然的問題.

關鍵詞：問題設計;自然性;幾何學習

觸發學生積極思維是數學課堂教學的應有追求.用“問題”引發學生思考是我們常用的教學策略.在實際的教學過程中，教師呈現的問題不“自然”，是造成不能有效激發學生思考的重要原因.所謂數學問題“自然性”設計，是指設計的數學問題能契合研究方法，符合數學邏輯，構建知識結構.現以初中幾何內容學習為例，從三個角度談談數學問題“自然性”設計的策略，以期拋磚引玉.

一、從幾何研究的方法角度設計問題

幾何學習一般遵循從定義、概念出發，研究圖形的性質與判定，再去研究圖形性質與判定應用的學習“流程”.除此之外，我們也可以從構成幾何圖形要素性質遷移以及幾何圖形性質與判定互逆的角度來研究幾何問題.

（一）從幾何要素性質遷移的角度

一般幾何圖形的性質主要研究構成圖形的要素與相關要素之間有何穩定的關系.我們可以從一個或幾個要素具有的性質的角度，提出其他要素是否具有類似關系的問題.這就是從幾何圖形要素性質遷移的角度提出問題.

案例1：圖形旋轉的探究

如圖1，在△[ABC]中，[∠ACB=90°]，[∠A=30°]，[BC=a]，△[ABC]繞點C逆時針旋轉α角度得到△[A'B'C].（[0°≤α≤360°]）

問題1：請探究[A'B']與[AB]的夾角與旋轉角的關系.

問題2：請探究[AA']與[BB']的數量關系和位置關系.

【設計解析】問題1中的[∠ACA']、[∠BCB']是由[△ABC]與[△A'CB']中兩條對應邊構成的旋轉角，發現[∠BCB']等于旋轉角，現從[△ABC]與[△A'CB']的組成要素考慮，自然提出第三條邊[AB]與[A'B']的夾角與旋轉角的關系.問題2是在問題1研究三條邊的位置關系后，自然提出圖形旋轉后對應點連線段的數量關系與位置關系，從中找出對應點連線段中蘊含的關系與原[△ABC]形狀與數量關系的本質聯系.

（二）從幾何圖形性質與判定互逆的角度

幾何圖形的判定定理本質上是描述確定一個圖形的條件.研究圖形的判定定理會產生兩個問題：一是確定這個圖形最少需要幾個條件？二是確定這個圖形需要的條件從哪里找？從學生的角度會想到確定圖形需要的最少條件可以采用逐步減少條件的辦法.確定圖形需要條件從哪里來的問題需要為學生探究提供線索;確定圖形需要的條件產生可以從圖形性質定理的逆命題中去尋找，這樣的問題設計是比較自然的.

案例2：平行四邊形判定定理的發現

如圖2，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC與BD交于點O.

問題3：從邊、角、對角線的角度來看，結合圖形，你能寫出[?]ABCD的哪些性質？

問題4：請你寫出這些命題的逆命題，并把它們排序整理，你認為可以分為哪幾類？

問題5：你寫出的逆命題中哪些真命題能作為平行四邊形的判定定理？

【設計解析】問題3引導學生結合圖形回顧平行四邊形的性質.問題4引導學生從已知的平行四邊形性質命題中提出逆命題，并對提出的逆命題進行分類排序整理.問題5引導學生猜想命題的真假，若學生認為是真命題，嘗試證明;若認為是假命題，嘗試舉反例.這樣的問題設計讓學生體會到不僅可以從圖形性質與判定互逆的角度提出問題，而且讓學生感到問題的探索過程是水到渠成的.

二、從學科邏輯的推理角度設計問題

基于學科邏輯，從類比與演繹兩個角度去設計問題，既讓問題的產生具有自然性，又讓學生的思考具有導向性.

（一）從類比的角度

從類比推理的角度設計問題是指當兩個或兩類幾何研究對象如果有部分屬性相同時，設計某些問題探究兩個或兩類幾何研究對象的其他屬性是否也相同.“類比”是從特殊到一般的問題設計，旨在引導學生在探索命題適用范圍從小到大的推理過程中有新的發現.

案例3：相似三角形的判定

問題6：兩個三角形全等的判定方法有哪些？

問題7：請你嘗試類比兩個三角形全等的判定方法，提出兩個三角形相似的判定方法有哪些？

【設計解析】問題6的回顧是讓學生在探究相似三角形的判定時找到新知識生長的固著點，讓新知識的發現有源可溯.問題7旨在引導學生思考全等三角形是相似三角形的特殊情況.在此基礎上研究相似三角形，是特殊到一般的推理過程，從“類比推理”的角度來設計相似三角形的判定問題，這樣的問題設計符合學科內部發展的邏輯順序.

（二）從演繹的角度

從演繹推理的角度設計問題實際上是引導學生在從一般到特殊的推理過程中自然發現問題，在探究命題的適用范圍從大到小的推理過程中有新的數學發現，積累數學演繹思考的經驗.

案例4：等腰三角形性質的研究（等腰三角形“三線合一”定理的探究）

問題8：軸對稱圖形的性質是什么？

問題9：如圖3，有一張等腰三角形紙片，[AB=AC]，請你折一折，你發現[△ABC]的對稱軸是什么，并從對稱的角度說出線段的數量關系、位置關系以及與角的數量關系.

問題10：如圖4 ，已知在等腰[△ABC]中，[AB=AC]，[∠BAC]的平分線[AD]所在的直線是對稱軸.從對稱性的角度你可以發現[△ABC]有什么性質？

【設計解析】問題8先讓學生回顧一般對稱圖形性質的目的是提供演繹推理的先行組織者.問題9引導學生發現等腰三角形的兩底角頂點實際上是一對對稱點，從一般對稱圖形的角度去探索線段與角的數量關系.問題10自然地從一般對稱圖形的性質得到等腰三角形“三線合一”定理，從一般到特殊演繹的角度設計問題，發現結論.

三、從知識結構的關聯角度設計問題

基于知識的整體性與關聯性，從定理擴展、數形結合、正反聯系的角度設計問題，有利于學生形成穩定的認知結構.

（一）從定理擴展的角度

幾何定理的學習，不僅要關注定理的形成與應用過程，而且要探索使定理成立的條件減弱或加強后有何新的發現，這就是從定理擴展的角度設計問題的內涵.其價值在于，使學生在學習定理之后會用聯系的觀點思考定理成立的條件，從系統整體的角度來進一步認識定理的內涵與外延.

案例5：勾股定理的教學

問題11：如圖5，已知[△ABC]中，若[∠C=Rt∠]，則[AC2+BC2=AB2].如圖6，若[△ABC]是銳角三角形（[∠C]是最大角），則[AC2+BC2]與[AB2]有什么數量關系？

問題12：如圖7，若[△ABC]是鈍角三角形（[∠C]是鈍角），則[AC2+BC2]與[AB2]有什么數量關系？

【設計解析】學生在學習了直角三角形中兩直角邊（較小邊）的平方和等于斜邊（最長邊）的平方之后，問題11的設計旨在引導探索銳角三角形較小邊的平方和與最長邊的平方有何數量關系. 在銳角三角形三邊關系探究的基礎上，問題12的設計自然讓學生聯想與探究鈍角三角形三邊的關系.三角形可分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直角三角形有勾股定理，從聯系的角度看，勾股定理擴展到其他類型的三角形一定會有新的結論.

（二）從數形結合的角度

數與形是同一數學知識不同側面的知識表征，數與形具有深刻的內在統一性.在學習“數”時要聯想到形的直觀，在學習“形”時需要借助數的入微刻畫.一些幾何定理不僅反映圖形的性質，而且蘊含著圖形所反映的數量關系的特征，在問題設計時要有意識地把它揭示出來.

案例6：三角形相似的應用

問題13：如圖8，點C是半圓O上的任一點（不與A、B重合），過點C作CD垂直于AB，試說明CD與AD、BD的數量關系，結合圖形你能說明式子的幾何意義嗎？

【設計解析】問題13從數與形的角度來設計旨在引導學生發現點C在變化過程中可以用數的關系來刻畫，以發現不變的數量模型.即學生在得到[CD2=AD?BD]之后，發現線段[OC≥CD，即a+b2≥ab]，解釋了算術平均數不小于幾何平均數的數學模型.

（三）從正反聯系的角度

從聯系的角度來考察幾何的學習，我們不僅要引導學生正向思考，也要啟發他們逆向思維.那么，問題的設計則不僅要引導學生從正面探索結論，也要引導他們從反面認識命題.所以，在學生學習幾何原命題之后，教師適切地設計逆命題的探究問題，則可以加強知識間的聯系，優化學生原有的認知結構.

案例 7：幾何反例的構造

問題14：請說出命題“平行四邊形的一組對邊平行一組對角相等”的逆命題，并請你判斷逆命題的真假，若命題為真，請證明;若命題為假，請舉出反例.

【設計解析】問題14的設計意圖是讓學生加強對命題正反的認識與聯系.如圖9，教師引導學生任意作一等邊[△ABC]，在底邊BC上取一點D，使得BD>DC，連接AD，由點D作[∠1=∠2]，截取DE=AC，連接AE，可得四邊形ABDE，易知[∠B=∠E]，又DE=AC=AB，四邊形ABDE滿足已給條件，但AE=DC