高中數學圓錐曲線教學方法及解題技巧探究

摘 要：圓錐曲線知識是高中數學的重要內容，對提高學生的解題能力、鍛煉學生的邏輯思維、培養學生的創新精神等具有積極的促進作用。然而，圓錐曲線向來是高中數學教學中的難點，很多學生對其存在畏難心理，并且難以真正地掌握和理解。針對這一情況，本文對圓錐曲線的有效教學方法和解題技巧進行了探究，旨在打消學生的畏難情緒，幫助學生更好地學習圓錐曲線知識。

關鍵詞：高中數學;圓錐曲線;教學方法;解題技巧

高考是人生的重要轉折點，高中數學在高考中扮演著不可或缺的角色，且在高考成績中占據較大的分值。對于高考數學來說，圓錐曲線知識更是每年的必考點，不僅在選擇題中有所涉及，更常常成為最后的壓軸題。根據統計結果，圓錐曲線知識的分值將近占到了高考數學總分的20%，這是多么龐大的數據。由此可見，學生學好圓錐曲線知識十分必要，這將極大地促進他們高考成績的提高，幫助他們走向光明燦爛的未來。

一、 圓錐曲線知識的重要性

圓錐曲線知識之所以重要不僅在于它能幫助學生取得理想的高考成績，更在于學生在解決圓錐曲線題目的過程中，他們的綜合運用知識能力、思維能力、創新能力等得到了培養和提高。一方面，圓錐曲線知識較為抽象、復雜，相對高中數學的其他部分難以理解，所以學生學習圓錐曲線知識需要具有扎實的數學基礎，需要學生對以前學過的知識和內容理解得更加全面與透徹，由此在一定程度上提高了學生的遷移能力、學習能力、理解能力等;另一方面，圓錐曲線的綜合題目包含著較多的數學規律與定理，涉及面十分寬廣，且題型富于變化性和動態性。學生要想正確解答出此類問題，就需要積極地動腦思考，充分調動頭腦中已有的解題思路和解題方法，從而找到題目的突破口，由此鍛煉了學生的數學邏輯，刺激了學生的思維活躍性，有利于學生思維能力的提高和創新精神的培養。

二、 圓錐曲線知識的教學方法

（一）創設情境，激發學習興趣

興趣是最好的老師，是提高教學效果的重要因素，更是學生自主學習的強大內驅力。在圓錐曲線知識的教學中，教師應該充分發揮“興趣”的力量，積極創設學生感興趣的教學情境，引導學生產生學習圓錐曲線知識的欲望和動力，激發他們的學習熱情，從而取得良好的教學效果。

比如，筆者在教學“橢圓及其方程”時，就創設了人造地球衛星繞地球運轉的問題情境，提問學生：“衛星的運轉軌道是什么圖形呢？衛星運轉軌道的一般方程是不是被科學家已知的，否則他們如何放心地發射人造衛星呢？萬一衛星運轉發生了偏移該怎么辦？”學生們的學習興致一下子被激發出來，展開了熱烈的討論。此時，筆者再提出：“學習了本節課的知識，同學們就會稍有了解了，接下來就隨老師一起進入橢圓方程的世界吧！”于是順利地開展了接下來的教學。通過創設情境，激發了學生學習圓錐曲線知識的興趣，使他們在最好的狀態下聽講，有利于提高教學效率。

（二）自主探究，發展自學能力

探究式課堂是新課改重點強調的教學模式，它能充分發揮學生的主人公作用，提高學生在課堂學習的參與度，讓學生在“真槍實戰”中掌握知識，增強對知識的記憶和理解，同時可以提高學生的動手操作能力，有效培養學生的探究精神。因此，教師在實際的教學過程中，應該創造探究式的課堂氛圍，引導學生積極進行自主探究活動。

比如，筆者在教學“橢圓的定義和概念”時，就給學生提供了豐富的教具，要求學生利用細繩、紙板、圖釘、鉛筆等自行繪制橢圓，測量出橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和，并測量出此時細繩的長度，然后探究二者之間的關系，并且根據發現的關系來介紹橢圓的概念。通過自主探究，不僅加深了學生對橢圓概念的理解和掌握，而且極大地發展了學生的自學能力，有利于提高教學質量。

（三）合作學習，培養合作精神

所謂合作學習，就是學生在教師的指導下，結合成科學合理的小組，然后共同完成規定的學習任務的教學模式。小組合作學習的效率遠遠高于個人學習的效率，有利于加快教學進度，并且能有效培養學生的語言表達、人際交往能力等，得到了廣大教師的認可和青睞。教師在教學圓錐曲線的知識時，也可以采取合作學習的模式，從而促進教學效率的提高。

比如，筆者在教學“圓錐曲線的統一定義”時，就要求學生進行小組合作學習，明確分工，組內成員分別研究橢圓的定義、雙曲線的定義和拋物線的定義，重點關注平面內的點到某一定點F和某一定直線l的距離之比——常數e的取值發生變化時，這些點的軌跡會有何變化，然后組內進行分析討論，得出結論。同學們迅速得到了圓柱曲線的統一定義，并且總結出當e的取值范圍為01時，這些點的軌跡形成雙曲線;當e=1時，這些點的軌跡形成拋物線。通過合作學習，不僅顯著提升了教學效率，而且培養了學生的合作精神和團隊意識，有利于他們走出校門后更好地適應社會。

三、 圓錐曲線題目的解題技巧

（一）重視曲線定義，巧妙解決最值問題

學生學習圓錐曲線的知識，第一步就是學習圓錐曲線的定義，很多學生認為定義很簡單，不值得推敲，卻不知最簡單的最容易被忽略，也容易成為出題人的常考內容，很多看似復雜的最值問題利用定義就可以巧妙地解決。因此，教師應該引導學生重視定義，夯實基礎知識。

【例1】 已知橢圓x2/16+y2/4=1上某一點Q到橢圓兩個焦點的距離之積為q，求q的最大值，并求此時Q點的坐標。

分析：此題求Q點到兩焦點的距離之積，根據橢圓的第一定義和不等式的基本性質，可以轉化為兩個距離之和，進而求解。

解：設橢圓x2/16+y2/4=1的左焦點為F1，右焦點為F2。

則|QF1|+|QF2|=2a=8，q=|QF1||QF2|≤（（|QF1|+|QF2|）/2）2=16

當且僅當|QF1|=|QF2|時，等號成立，此時點Q為短軸的端點。

所以此時Q的坐標為（0，2）或（0，-2），m能夠取到的最大值為16。

題目考查了圓錐曲線的最值問題，再加上出現了圓錐曲線的焦點，所以應該迅速想到應用圓錐曲線的定義。題目所求為動點到兩焦點的距離之積，就應該聯想到距離之和為定值，再利用不等式的性質進行轉化，就可以成功地解決這道問題。

（二）運用設而不求法，解決弦中點問題

在圓錐曲線的運算中，經常設出一些量卻并不解出這些量，只是發揮它們的過渡作用從而解決一些較為復雜的問題，這種方法就是“設而不求法”了。對于圓錐曲線與直線相交而產生的弦中點問題，采用設而不求法能起到出人意料的效果。

【例2】 已知雙曲線x2+y2/2=1，過點A（4，2）的直線與該雙曲線相交于兩點M1和M2，已知線段M1M2的中點為M，求M的軌跡方程。

分析：采用設而不求法，設出兩點坐標（x1，y1）和（x2，y2）并分別代入方程，然后相減，再應用中點關系和斜率公式，消參求解。

解：設M1（x1，y1），M2（x2，y2），分別代入得到x21+y21/2=1，x22+y22/2=1

兩個方程相減，得到（x1+x2）（x1-x2）-1/2（y1+y2）（y1-y2）=0

又設中點M（x，y），于是x1+x2=2x，y1+y2=2y，得到2x-y*（（y1-y2）/（x1-x2））=0，（x1≠x2）

又k=（y1-y2）/（x1-x2）=（y-2）/（x-4）

將其代入得到2x2-y2-8x+2y=0

當x1=x2，即弦M1M2的斜率不存在時，M（4，0）也滿足上述方程。

因此所求軌跡方程為2x2-y2-8x+2y=0

此題求M的軌跡方程，而M是弦M1M2的中點，于是迅速反應過來這是一道弦中點問題，只要按部就班地按照設而不求法的步驟，設出弦的兩個端點坐標，并將端點坐標代入雙曲線方程，作差后產生弦中點和弦斜率的關系，再結合實際問題，充分運用題目條件即可求解。本題值得注意的是斜率不存在的情況，考查了學生思維的嚴密性。

（三）引進參數方程知識，進行三角代換

教學大綱對圓錐曲線參數方程知識的要求是達到理解的程度即可，然而，眾所周知，圓錐曲線的題目解題過程復雜，計算困難，在實際的教學過程中，如果教師能適時引入參數方程的知識，恰當地引導學生利用參數方程解題，不僅可以開闊學生的視野，拓展學生的解題思路，還能起到簡化運算的效用。

【例3】 已知橢圓x2/36+y2/25=1，求該橢圓內接矩形的面積的最大值。

分析：看到最值兩個字，我們可以很容易地聯想到三角函數，因為三角函數是有界的，無形中給我們求最值帶來了便利，進而聯想到應用參數方程的知識，進行三角代換。

解：設橢圓x2/36+y2/25=1的內接矩形在第一、二、三、四象限內的頂點分別為A、B、C、D，線段AB與y軸的交點為E，線段AD與x軸的焦點為F。

根據橢圓的參數方程，設A的坐標為（6cosα，5sinα），其中α的取值范圍為0<α<π/2。

設內接矩形的面積為S，于是S=4|AE||AF|=4*6cosα*5sinα=2*6*5*sin2α≤60

當且僅當α=π/4，等式成立，此時α存在。

因此面積S的最大值為60。

看到這道題，很多學生知道要設出坐標求解，于是他們不假思索地把坐標設為（x，y），結果發現越向下計算就越困難，逐漸失去耐性。其實，只要換個角度，將坐標設為參數方程的形式，就可以直接利用三角函數的有界性，迅速得到最終答案。

綜上所述，作為身處一線的高中數學教師，我們應該毫不懈怠，采取靈活多樣的教學方法，充分調動學生學習圓錐曲線知識的積極性，同時在教學中適時滲透有效的解題思路和技巧，與學生共同攻克圓錐曲線難題，為提高學生的高考成績，促進學生的未來發展做出貢獻。

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作者簡介：

湯鳳，福建省福州市，福建省福州第七中學。