方程思想在初中幾何中的運用

馮東梅

【摘要】在初中數學的眾多知識點中都體現了方程思想，方程思想其實是一種代數問題，有一些初中幾何問題表面上看起來好像與方程思想毫無關系，但是解題時卻發現離不開方程思想的輔助.因此，在解決初中數學幾何問題時要善于挖掘問題中的潛在條件，利用條件解決數學疑難問題，最后在解決問題時要注意方程思想的運用.

【關鍵詞】方程思想;幾何;運用

一、方程思想的內涵

方程思想是指在解決數學問題的時候，通過尋找問題中的未知數，將未知數與已知條件相結合建立一種等量關系，然后通過求解出方程中的解，最后順利解決數學問題的一種思想.

二、初中幾何

幾何主要研究空間中的結構與性質，數學研究中主要研究數論、代數等等，它也是數學研究中最基本的研究內容之一，與代數和數論在數學研究中都擁有著重要的地位.初中的幾何知識點主要包括解三角形、四邊形與圓.

三、方程思想在初中幾何中的實際運用

（一）平面幾何建立方程求解——折疊問題

以折疊問題為例有線段的折疊、三角形的折疊、四邊形的折疊，還有結合平面直角坐標系的折疊等問題均廣泛運用方程思想求解.

以四邊形折疊為例.

例1 （1）把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖1所示的方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF.若AB=4 cm，BC=8 cm，則DF=cm，重疊部分△DEF的面積是cm2.

解 設DF=x cm，則CF=（8-x） cm，由勾股定理得：CD2+CF2=DF2，即42+（8-x）2=x2，解得x=5，進而即可求解重疊部分△DEF的面積;

此類題目常用勾股定理作為等量關系列方程求解某未知線段長，進而求解周長、面積等問題，可以說方程思想的運用是解決問題的關鍵.此題目還可以進行變式訓練，比如，與函數結合：（2）若以B點為原點，直線BC為x軸，直線AB為y軸建立平面直角坐標系，求直線DF的解析式，我們可以借助上題已經用方程求得的線段長轉化成求點坐標，進而利用待定系數法列二元一次方程組求得解析式;此題還可以再進一步進行知識延伸，又比如，（3）在x軸上找一點P，使得△PDF為等腰三角形.學生可以利用分類思想將問題歸為三種情況，a.PD=PF;b.DP=DF;c.FD=FP，設P（x，0），可利用上述的等量關系以及兩點間距離公式列方程，求解出所求點P的坐標.

（二）平面幾何建立方程求解——函數與幾何圖形中的相關問題

這類問題常見的類型有：函數與三角形、函數與四邊形、函數與圓等，均可運用到方程思想解決.以幾何圖形與二次函數相結合的題目為例.

例2 如圖2所示，平面直角坐標系中，四邊形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA=5，AB=10，OC=12，拋物線y=ax2+bx經過點B，C.

（1）求拋物線的解析式;

（2）一動點P從點A出發，沿AC以每秒2個單位長度的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發，沿CO以每秒1個單位長度的速度向點O運動，當點P運動到點C時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒，當t為何值時，△PQC是直角三角形？

解 （1）∵OA=5，AB=10，OC=12，

∴點B（10，5），C（12，0），

∴100a+10b=5，144a+12b=0， 解得a=-1 4，b=3，

∴拋物線的解析式為y=-1 4x2+3x.

（2）根據勾股定理，AC=OA2+OC2=52+122=13.

∵點P沿AC以每秒2個單位長度的速度向點C運動，點Q沿CO以每秒1個單位長度的速度向點O運動，∴點P運動的時間為：13÷2=6.5（秒）.

則CP=AC-AP=13-2t，CQ=t，

∵∠ACO≠90°，∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°兩種情況討論：

① 當∠PQC=90°時，cos∠ACO=CQ CP=OC AC，即t 13-2t=12 13，解得t=156 37;

② 當∠CPQ=90°時，cos∠ACO=CP CQ=OC AC，即13-2t t=12 13，解得t=169 38.

綜上所述，t=156 37或169 38時，△PQC是直角三角形.

此題就利用了二元一次方程組求二次函數解析式，利用相似三角形對應邊成比例列分式方程進而求解直角三角形存在性問題、動點問題等.這道數學題的設計將初中幾何相似問題與函數以及方程思想進行有機地結合，讓學生在學會方程思想的同時也鞏固了函數的知識點，有利于學生對知識的鞏固也有利于提高學生的邏輯思維能力和知識掌握能力.

四、結 語

方程思想貫穿于整個初中數學的始終，初中方程知識點主要由一元一次方程，二元一次方程（組）、分式方程以及一元二次方程等等，我們有必要去挖掘初中幾何中所蘊含的方程思想，靈活地運用方程思想去解決數學問題，掌握方程思想這種思想方法對我們分析與解決問題有很重要的實際意義.

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