從數(shù)學(xué)本質(zhì)談“兩角差的余弦公式”教學(xué)難點的突破

吳建洪

摘? ? 要：在“兩角差的余弦公式”教學(xué)中，教師可以運(yùn)用“幾何綜合法”，從通性通法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度，推導(dǎo)公式，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：兩角差的余弦公式;幾何綜合法;通性通法;數(shù)形結(jié)合;核心素養(yǎng)

浙江省現(xiàn)行人教A版普高數(shù)學(xué)必修4教材中“兩角差的余弦公式”一節(jié)，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的概念課.在本節(jié)課教材處理中，有幾處讓教師普遍感到為難的地方，其中最難的無疑是對教材中運(yùn)用單位圓中的三角函數(shù)線，結(jié)合幾何方法，探索特殊情況下兩角差余弦公式的結(jié)構(gòu).

教材運(yùn)用“幾何綜合法”處理如下：

設(shè)[α，β]都是銳角，且[α>β]，如圖1，令[α=∠xOP1]，[β=∠POP1]，則[∠xOP=α-β]，過點[P]作[PM]垂直于[x]軸，垂足為[M]，則[OM=cos（α-β）].

又過點[P]作[PA]垂直于[OP1]，垂足為[A]，過點[A]作[AB]垂直于[x]軸，垂足為[B]，過點[P]作[PC]垂直于[AB]，垂足為[C]，那么[cosβ=OA，sinβ=AP]，并且[∠PAC=∠xOP1=α]，于是[cos（α-β）=OM=OB+BM][=OB+CP][=OAcosα+APsinα][=cosβcosα+sinβsinα].

近期，聽了多位教師關(guān)于這一課的公開課，許多教師在教學(xué)中基本照搬上述教材中的探究過程，但最后都無奈地照搬教材中的原話，坦承：“上述結(jié)果是否在兩角為任意角時也成立，要做不少推廣工作，并且這項推廣工作的過程比較繁難.”隨后要求“有興趣的學(xué)生可以在課后自己動手試一試”這樣的處理，讓原本對用“幾何綜合法”推導(dǎo)公式充滿期待的學(xué)生大失所望.

困惑產(chǎn)生疑問.教科書采用“幾何綜合法”，以“夾敘夾議”的方式詳細(xì)展示探索過程，難道僅僅是為了能讓學(xué)生直觀感知特殊情況下的公式結(jié)構(gòu)？對此，筆者就如何突破這一教學(xué)難點，從學(xué)科知識本質(zhì)和通性通法的角度，談?wù)効捶?

一、對教材“幾何綜合法”的本質(zhì)解讀

為使推導(dǎo)過程直觀簡潔，教材在幾何構(gòu)圖過程中作了以下兩個方面的精心設(shè)計.

一是將角[α-β]的始邊與[x]軸的正半軸重合，使角[α-β]的正弦線[MP]、余弦線[OM]均與坐標(biāo)軸垂直，便于學(xué)生直觀觀察和表示，也便于學(xué)生在之后的推導(dǎo)中向已知角[α，β]的正弦線、余弦線直觀轉(zhuǎn)化.

二是巧妙構(gòu)造含有[α，β]角的直角三角形，在直角[△OAP]中直觀體現(xiàn)[β]角的正弦線、余弦線的同時，使直角[△OAB]、[△ACP]中的直角邊能用角[α]的正弦、余弦值間接表示.在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得出[cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ].

倘若在接下來的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生順勢探究得出兩角差的正弦公式，必然激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，并初步感受“幾何綜合法”作為通性通法在推導(dǎo)公式中的重要作用.

由圖1，容易得

[sin（α-β）=MP=BA-CA=sinα?OA-cosα?AP][=sinαcosβ-cosαsinβ].

二、“幾何綜合法”能推導(dǎo)[α+β]的正弦、余弦公式嗎？

顯然，學(xué)生產(chǎn)生上述想法是非常自然的.在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，與分析、解決問題的能力相比，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、提出問題等方面的能力相對薄弱.對于本節(jié)課，教師若能緊緊抓住教材中的素材，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生提出有價值的問題，必能成為本節(jié)課的一大亮點.

由之前構(gòu)圖的經(jīng)驗，組織學(xué)生探究如下：

設(shè)[α， β， α+β]都是銳角，如圖2，令[∠xOP1=α， ∠P1OP=β]，則[∠xOP=α+β].

由于[PA⊥OP1， AC⊥PM]，得

[∠PAC=90?-α]

所以

[cos（α+β）=OM=OB-MB=OB-CA]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[? ? =cosα?OA-cos（90°-α）?PA]

[=cosαcosβ-sinαsinβ]

同理可得

[sin（α+β）=MP=MC+CP=BA+CP=sinα?OA+sin（90?-α）?PA]

[? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=sinαcosβ+cosαsinβ]

數(shù)學(xué)教學(xué)歷來注重數(shù)學(xué)本質(zhì)和通性通法，淡化單一化的解題技巧.如果讓學(xué)生真實經(jīng)歷上述探究過程，我們一定能從學(xué)生的神情中感受到他們內(nèi)心的欣喜，也一定能使學(xué)生深切感受到通性通法在問題解決中的重要性.

我們一直致力于課堂教學(xué)改革，積極倡導(dǎo)啟發(fā)式、探究式等教學(xué)方式，以突現(xiàn)學(xué)生在教學(xué)中的主體地位.對于教材中沒有講到或講透的，且又能較好反映學(xué)科知識與思想方法本質(zhì)的教學(xué)內(nèi)容，教師一定要充分利用好這些難得的素材，適度挖掘，巧妙設(shè)計，精心組織學(xué)生開展真正意義上的探究活動，實現(xiàn)有思維深度的學(xué)習(xí).

三、對教材“幾何綜合法”能作進(jìn)一步改進(jìn)嗎？

在實際教學(xué)過程中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于教材中[β]角的構(gòu)建感覺不夠自然.基于認(rèn)知基礎(chǔ)，學(xué)生更習(xí)慣于讓角[α，β]的始邊都與[x]軸的正半軸重合.那么，這樣相對自然的處理，能否導(dǎo)出公式呢？

設(shè)[α，β]都是銳角，且[α>β]. 如圖3，令[∠xOA=α，∠xOB=β]，則[∠BOA=α-β]， 且[∠BCF=∠xOA=α]，

于是

[cos（α-β）=OC=ODcosα=OE-DEcosα=cosβ-FBcosα=cosβ-sinα?BCcosα=][cosβ-sinβ?sin（α-β）cosα]

得

[cosβ=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）]

同理可得

[sinβ=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）]

顯然，這一結(jié)果與之前的公式本質(zhì)上是完全一致的.對于公式推導(dǎo)，我們努力使過程簡明易懂，力求形式最簡，所以充分說明了教材處理方法的合理性.

當(dāng)然，由于受課堂教學(xué)時間的限制，上述所有的探究過程不可能在課堂上完整呈現(xiàn)，教師應(yīng)該告訴學(xué)生，教材中的“幾何綜合法”是一種通性通法，相關(guān)推導(dǎo)可以作為探究性作業(yè)讓學(xué)生課外完成，通過自主探究，可以加深學(xué)生對公式和通性通法的理解.

由于“幾何綜合法”對數(shù)學(xué)問題中的幾何元素有比較直觀、明確的要求，難以處理相關(guān)量的任意情形，所以不能較好地推導(dǎo)出任意兩角差的余弦公式.從教材編排意圖看，一定程度上也突現(xiàn)“向量法”的優(yōu)越性（當(dāng)然用兩點間距離公式推導(dǎo)也很方便）.即便如此，我們也不能貶低“幾何綜合法”這一蘊(yùn)含人類巨大智慧的數(shù)學(xué)方法以及運(yùn)用這一方法在解決問題中的重要作用.

四、從數(shù)學(xué)本質(zhì)看“幾何綜合法”

（一）體現(xiàn)幾何與代數(shù)的緊密聯(lián)系

幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的主要內(nèi)容之一，在教學(xué)過程中，我們應(yīng)突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)整體性的把握與理解.由于在三角函數(shù)的研究過程中有許多幾何元素，如單位圓、三角函數(shù)線等，看似代數(shù)形式的兩角差的余弦公式，對它的推導(dǎo)，無論是用向量法中的數(shù)量積公式，還是用坐標(biāo)法中的兩點間距離公式，其本質(zhì)都是充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題的.在數(shù)學(xué)研究中，從數(shù)形結(jié)合的角度研究中學(xué)數(shù)學(xué)是一種十分重要的數(shù)學(xué)思想方法.當(dāng)我們在遇到數(shù)量關(guān)系時，常常嘗試著用幾何圖形把它表示出來.

（二）“幾何綜合法”是解決幾何問題的重要方法之一

中學(xué)數(shù)學(xué)研究幾何問題一般有三種方法：幾何綜合法、坐標(biāo)法和向量法.幾何綜合法依據(jù)基本的邏輯原理，不使用其他工具，從公理或基本事實出發(fā)，通過演繹推理，對幾何元素及其關(guān)系直接進(jìn)行討論，給出幾何論證.坐標(biāo)法或向量法，是以數(shù)和數(shù)的運(yùn)算或向量和向量的運(yùn)算為工具，對幾何問題進(jìn)行分析討論.其中，幾何綜合法對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有著十分獨特的重要作用，教材中用這一方法探究兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特征，是培養(yǎng)、形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的極好素材.

（三）一以貫之體現(xiàn)單位圓在三角函數(shù)研究中的重要作用

單位圓是我們定義三角函數(shù)、推導(dǎo)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式、理解三角函數(shù)的性質(zhì)、作三角函數(shù)圖象等內(nèi)容的直觀載體和重要工具.在兩角差的余弦公式推導(dǎo)過程中，無論是幾何綜合法，還是向量法或坐標(biāo)法，都用到單位圓這一重要數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)不同數(shù)學(xué)方法之間的內(nèi)在聯(lián)系.

教材是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵性教學(xué)資源，教材提供的學(xué)習(xí)素材和具體內(nèi)容是開展“教”與“學(xué)”活動的基本依據(jù).在教學(xué)過程中，要善于把握教材的編寫意圖，更有效地利用蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展過程中的重要數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，使我們的數(shù)學(xué)活動更加絢爛多彩，富有創(chuàng)意.