初中數(shù)學(xué)中的構(gòu)造思想

徐敏明

摘? 要：從平時教學(xué)中能體會到學(xué)生有構(gòu)造法的意識，卻沒有構(gòu)造法系統(tǒng)的歸納與方法，因此學(xué)生經(jīng)常在解題過程中碰到阻礙。從而本文歸納了幾種常見的構(gòu)造法，并講解如何建立條件與構(gòu)造對象的聯(lián)系來獲得構(gòu)造的思路，以便學(xué)生更好地掌握構(gòu)造法，使構(gòu)造法在解題中發(fā)揮出創(chuàng)造性的作用，同時培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法;初中數(shù)學(xué);創(chuàng)造性;解題能力;思路分析

引言

我在進(jìn)行八年級上冊第四章 《平面直角坐標(biāo)系》教學(xué)時，發(fā)現(xiàn)很大部分同學(xué)對求兩點之間的距離問題感到迷茫與不解。例如：已知O為坐標(biāo)原點，點A坐標(biāo)為（1，2），點B坐標(biāo)為（-1，4），請求線段OA、AB的長？

部分同學(xué)可能會直接求OA的長，即一個點到坐標(biāo)原點的距離，卻不知道任意兩點之間的距離，只能說明這些同學(xué)是靠記公式求得OA的長，而并非正真理解求兩點之間距離的知識本源。其實，此題主要是要求學(xué)生掌握直角三角形的構(gòu)造，再利用勾股定理求出AB的長。但是，我們的學(xué)生往往缺乏利用構(gòu)造法解決問題的思想，因此對類似的題目感到毫無頭緒。所以，我就對初中階段的幾種構(gòu)造方法做了簡單的歸納，以幫助學(xué)生能初步形成構(gòu)造思想。

正文

首先，我主要通過有限的幾個例題，來分析各問題的特點和性質(zhì)，然后建立與構(gòu)造對象之間的聯(lián)系，進(jìn)而獲取構(gòu)造思路，達(dá)到靈活應(yīng)用構(gòu)造法解題的目的。

1? 構(gòu)造圖形

著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授說過：“數(shù)與形，本是相倚依。”一般來講，代數(shù)的問題比較抽象，若能通過構(gòu)造將之合理轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用“數(shù)形結(jié)合”這一重要思想方法溝通代數(shù)與幾何的關(guān)系，往往可增強問題的直觀性，使解答事半功倍，實現(xiàn)難題巧解。巧用構(gòu)造圖形不僅可以提升學(xué)生數(shù)形互用的能力，而且還對培養(yǎng)學(xué)生探究能力和建模能力有積極作用。

例1：已知 ， ，求證：

思路分析：剛看見此題，貌似很難找到突破口，但是我們觀察左式的形式 與兩點間的距離公式很像，不難聯(lián)想到將不等式的左邊看成點 分別到四個點 距離的和。

證明：把不等式左邊看成是點 到四個點 距離的和，描出各點，如圖所示：不等式左式=AE+BE+CE+DE，且由三角形三邊關(guān)系可得：AE+CE AC（當(dāng)E在AC上時，取到等號），BE+DE BD（當(dāng)E在BD上時，取到等號），所以不等式左式 AC+BD（當(dāng)E既在AC上又在BD上，取到等號）。

因為AC= ，BD= ，所以

例2：已知 ， ， 為正數(shù)， ，求 的最大值。

思路分析：本題很難從已知條件中的式子通過放縮變形得到目標(biāo)函數(shù)，也難以用線性規(guī)劃的知識構(gòu)造出已知的區(qū)域，那么我們需要思考該如何得到目標(biāo)函數(shù)，這是我們解決本題的關(guān)鍵所在。我們首先分析條件： ， ， 為正數(shù)，而且存在 ， ，根據(jù)對稱關(guān)系，那么顯然也存在 。根據(jù)切線長定理，我們可以將 ， ， 看成是一個有內(nèi)切圓的三角形的三條邊，從而構(gòu)造得一個三角形。那么目標(biāo)函數(shù)中的各元素可以借助三角形性質(zhì)得以轉(zhuǎn)化，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值。

解：以 ， ， 為三條邊構(gòu)造出一個三角形，然后根據(jù)切線長定理知道該三角形必有一個內(nèi)切圓，如圖所示：

為方便表示，我們令 ， ， ，根據(jù)海倫公式知

，其中

，即目標(biāo)函數(shù)=

又 ，

，

當(dāng)且僅當(dāng) 時，即 取到最大值。

當(dāng) ， ，

最大值是1。

2? 構(gòu)造方程

通過構(gòu)造方程，我們建立了已知量與未知量之間的聯(lián)系，從而溝通了問題的條件與結(jié)論，使問題轉(zhuǎn)化為求未知量，這就是我們所用的構(gòu)造方程法。該法避免了學(xué)生對于一些復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系的逆向思維，而是可以直接地、正面地構(gòu)造方程，從而轉(zhuǎn)化條件與結(jié)論的聯(lián)系，也使一些隱含條件明朗化，從而能更加快捷有效地解決問題，因此方程思想能為廣大的學(xué)生所接受。

例1：已知 ，求證：

思路分析：首先我們可以根據(jù)問題中未知量的對稱性可知，只要求出其中的一個未知量的范圍即可。接著我們可以由條件中的形式出發(fā)，得到用其中的一個量來表示 和 ，即 。而且據(jù)我們所知，要溝通 和 ，可借助完全平方公式得到 ，所以 。已知 ，通過韋達(dá)定理構(gòu)造出以 為兩根的二次方程 ，同時 是其兩根。由根的存在性的判定得到結(jié)論。

證明：我們由條件可得：

借助完全平方公式 ，

得 。

通過韋達(dá)定理構(gòu)造出一個關(guān)于 的二次方程 ，同時 是其兩根。

由根的存在性得到結(jié)論： ，解得 。

同理可得 范圍，所以 。

3? 構(gòu)造數(shù)學(xué)模型

構(gòu)造數(shù)學(xué)模型就是將問題的條件和結(jié)論放到一個具體的現(xiàn)實背景中，將其轉(zhuǎn)化為所構(gòu)造的模型的相關(guān)問題。構(gòu)造數(shù)學(xué)模型可以滲透數(shù)學(xué)思想，也使某些數(shù)學(xué)理論變得更加鮮活，更加明確，從而減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，使學(xué)生快樂地學(xué)習(xí)，這些都符合新課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)教學(xué)的要求。

例：求方程 有多少組正整數(shù)解？

思路分析：我們發(fā)現(xiàn)該方程的各解都是正整數(shù)，與我們現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)非常類似，因此我們轉(zhuǎn)換背景，構(gòu)造模型：12個形狀、大小、顏色完全相同的球，任意放入五個不同的盒子中，問共有多少種放法？由題可知，一種放法對應(yīng)著方程的一組解;反之，方程的任一組正整數(shù)解也對應(yīng)著球在盒中的一種放法，從而問題轉(zhuǎn)化為排列組合問題。

解：我們構(gòu)造出模型：12個形狀、大小、顏色完全相同的球，任意放入五個不同的盒子中，問共有多少種放法？

我們將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個間隙中任意插入4塊隔板，把球分成5堆，每一種分法所得5堆球的各堆球的數(shù)目，依次對應(yīng)為a、b、c、d、e的一組正整解。

故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有 。

總結(jié)語

以上是構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾種應(yīng)用，著重強調(diào)的是各種構(gòu)造法應(yīng)用的思路分析，在這里只是拋磚引玉，希望能以此引起足夠的反思和重視。

新課程為我們提出了新的課程目標(biāo)，在解題的過程中要善于觀察，善于發(fā)現(xiàn)，不墨守成規(guī)，大膽去探求解題的最佳途徑。創(chuàng)新思維是整個創(chuàng)新活動的關(guān)鍵，敏銳的觀察力，創(chuàng)造性的想象，獨特的知識結(jié)構(gòu)及活躍的靈感是其基本特征。這種創(chuàng)新思維能保證學(xué)生順利地解決問題，高水平地掌握知識，并能把知識廣泛地運用到解決問題上來。而構(gòu)造法正是從這方面來訓(xùn)練學(xué)生思維，使學(xué)生的思維由單一型轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘟嵌刃停@得積極靈活，從而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維。在運用構(gòu)造法時，一定要明確構(gòu)造的目的，也就是說為什么目的而構(gòu)造;二要弄清楚問題的特點，以便依據(jù)特點確定方案，實現(xiàn)構(gòu)造。

從以上各例不難看出，構(gòu)造法是一種極富技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、探索、特殊化等重要的數(shù)學(xué)方法。構(gòu)造法解題重在“構(gòu)造”，它可以構(gòu)造圖形、方程、函數(shù)以及其它對象，就會促使學(xué)生更加熟悉幾何、代數(shù)、三角等基本知識技能，并多方設(shè)法加以綜合利用，這對學(xué)生的多元思維培養(yǎng)、學(xué)習(xí)興趣的提高以及鉆研獨創(chuàng)精神的發(fā)揮十分有利。因此，在解題教學(xué)時，若能啟發(fā)學(xué)生從多角度、多渠道進(jìn)行廣泛的聯(lián)想，則能得到許多構(gòu)思巧妙，新穎獨特，簡捷有效的解題方法，而且還能加強學(xué)生對知識的理解，培養(yǎng)思維的靈活性，提高學(xué)生自主分析問題的能力。所以“構(gòu)造法”作為一種重要的化歸手段，在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的作用。運用構(gòu)造法解數(shù)學(xué)題，不僅可從中欣賞到數(shù)學(xué)之美，還能感受到解題之樂，更重要的是可開拓思維空間，啟迪智慧，并對培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)新精神大有裨益。

希望本文對構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用的研究，可以引導(dǎo)深受構(gòu)造困惑的廣大學(xué)子有所感悟，從而感受到構(gòu)造法解題的優(yōu)勢所在，體會到構(gòu)造法呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)之美，增強他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

參考文獻(xiàn)

[1]? 姚祥江，施建昌.重水復(fù)疑無路，巧用構(gòu)造辟蹊徑[J].教學(xué)金刊，2004，7（11）：30～31.

[2]? 王平，李明鴻.構(gòu)造圖形證明不等式[J].河北理科教學(xué)研究，2009，11（5）：49～50.