函數(shù)與方程思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用

摘 要：用函數(shù)與方程的思想方法解決數(shù)列問題，就是對所給出的數(shù)列問題，經(jīng)過從不同的審題角度去思考問題，看看此數(shù)列問題的解決與方程或函數(shù)是否有關(guān)聯(lián)，若有關(guān)聯(lián)，就可用函數(shù)與方程的思想來求解該數(shù)列問題;若給出的數(shù)列問題從表面上看是非方程或函數(shù)的問題，但經(jīng)過一番改造或轉(zhuǎn)化后仍屬于方程或函數(shù)的問題，此時就可用函數(shù)與方程的思想來求解該數(shù)列問題。有些求值或化簡問題，如果納入方程的思想方法來處理，往往有事半功倍之效。

關(guān)鍵詞：方程與函數(shù)思想;數(shù)列問題;轉(zhuǎn)化;回歸

數(shù)列問題函數(shù)（方程）化法形式結(jié)構(gòu)與函數(shù)（方程）類似，但要注意數(shù)列問題中n的取值范圍為正整數(shù)，涉及的函數(shù)具有離散性的特點。其一般解題步驟是：

第一步：分析數(shù)列式子的結(jié)構(gòu)特征。

第二步：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造特征函數(shù)（方程），轉(zhuǎn)化問題形式。

第三步：研究函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合解決問題的需要研究函數(shù)（方程）的相關(guān)性質(zhì)，主要涉及函數(shù)單調(diào)性與最值、值域問題的研究。

第四步：回歸問題，結(jié)合對函數(shù)（方程）相關(guān)性質(zhì)的研究，回歸問題。

【例2】 假設(shè)某市2014年新建住房400萬m2，其中有250萬m2是中低價房，預(yù)計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%。另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬m2。那么，到哪一年底：

（1）該市歷年所建中低價房的累計面積（以2014年為累計的第一年）將首次不少于4750萬m2？

（2）當(dāng)年所建造的中低價房的面積占該年所占住房面積的比例首次大于85%？

解析：（1）由已知可設(shè)中低價房的面積為數(shù)列{an}且易得{an}為等差數(shù)列，其中a1=250，d=50。則sn=250n+n（n-1）n×50=25n2+225n，令25n2+225n≥4750即n2+9n-190≥0，而n是正整數(shù)，所以n≥10，故到2023年底該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬m2。

（2）設(shè)新建住房面積為數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等比數(shù)列，其中b1=400，q=1.08則bn=400×1.08n-1又an>0.85bn，所以有250+（n-1）×50>400×1.08n-1×0.85，借助計算器可知滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6所以到2019年底，當(dāng)年所建造的中低價房的面積占該年所占住房面積的比例首次大于85%。

設(shè)計理由：利用函數(shù)與方程思想建立數(shù)學(xué)模型。

規(guī)律小結(jié)：

①數(shù)列的通項公式和前n項和公式都可以看成關(guān)于n的函數(shù)，也可看成方程或方程組，特別是等差數(shù)列的通項公式可以看成關(guān)于n的一次函數(shù)，而求其和公式可以看成是關(guān)于n的二次函數(shù)，因此，許多數(shù)列問題可以有函數(shù)與方程的思想進行分析，加以解決。

②數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，動態(tài)的函數(shù)觀點是解釋數(shù)列問題的有效方法，在這里必須會構(gòu)造函數(shù)，用函數(shù)的思想方法解題。在用動態(tài)的函數(shù)觀點研究數(shù)列時，必須注意其“特殊性”，即定義域為n∈N*，如“已知{an}是遞增數(shù)列，且對x∈N*都有an=n2+λn恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為 ? ?”。往往會出現(xiàn)如下錯解“因為an=n2+λn=n+λ22-λ24，對稱軸n=λ2，當(dāng)n≥1時為遞增數(shù)列，則-λ2≤1從而λ≥-2”。正確的答案是，由{an}是遞增數(shù)列，結(jié)合圖形，則只要-λ2≤32即可，所以λ≥-3。

在新課改的浪潮中，能力考查已成為高考命題的核心內(nèi)容。函數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念之一，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。只有深刻理解函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)涵，從函數(shù)與方程思想的高度指導(dǎo)解題，才能提升解決問題的能力。在這種背景下，本文對高中數(shù)學(xué)知識中蘊藏的函數(shù)與方程思想進行研究。本文采用研究法、行動分析法等方法結(jié)合自身的教學(xué)實踐，以教育心理學(xué)、現(xiàn)代教學(xué)論等為依據(jù)，從理論上研究高中數(shù)學(xué)函數(shù)與方程思想并加以例題進行闡述說明，旨在通過本文的研究促進高中數(shù)學(xué)的教學(xué)。通過對函數(shù)與方程思想的含義、教學(xué)、應(yīng)用等研究，提出以下高中數(shù)學(xué)教學(xué)建議：數(shù)學(xué)教學(xué)必須提高學(xué)生的主觀能動性，重視學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)上的理解，重視函數(shù)與方程思想的提煉與應(yīng)用，注重能力的培養(yǎng)。

作者簡介：

康金東，甘肅省定西市，甘肅省渭源縣第一中學(xué)。