桃芳李艷風景異 融合探究尋本源
——2019年北京高考文理科解析幾何解答題尋根之旅

江西省南昌三中 (330029) 張金生

神奇的圓錐曲線是連接代數與幾何之間的一座橋梁，雖然奧妙，但其實也是有較強的規律可循.隨著一線教師對解析幾何圓錐曲線內在性質的深入探究，解析幾何試題基因圖譜逐漸被破譯，不僅使教師清晰地理解命題人的思想、命題背景和考查目的，把握高考命題規律，還可以更好地培養學生思維品質，提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力,提高學生的數學核心素養.本文從2019年北京高考文理科解析幾何解答題入手，對這對姊妹題進行“融合”分析、探究溯源,進行試題基因揭秘探索之旅.

一、試題呈現與答案

例2 (2019年高考北京卷理科18題)已知拋物線C:x2=-2py經過點(2,-1).

(Ⅰ)求拋物線C及其準線方程;

(Ⅱ)設O為原點,過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N，直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點B．求證:以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.

答案：(Ⅰ)拋物線C的方程為x2=-4y，準線方程為y=1.(Ⅱ)以AB為直徑的圓經過y軸上的定點(0,1)和(0,-3).

二、文理兩題內在共性

對上述兩例進行“融合”探究，可發現它們有內在共性.例1的第二問可改為：(Ⅱ)設O為原點，直線l:y=kx+t(t≠±1)與橢圓C有兩個不同交點P,Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，求證：以MN為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.例2的第二問可改為：(Ⅱ)設O為原點，過拋物線C的焦點F作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N，直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點B．求證：|FA|·|FB|為定值.這一共性背景是圓內相交弦定理.

三、試題拓展

由例1得以下結論:

由例2可得以下結論:

|FA|·|FB|=|FG1|·|FG2|=p2.

四、題根基因探索

揭開試題神秘的“面紗”,抓住考題和題根之間的內在聯系.試題生長點是基于圓錐曲線的通性性質，是許多高考試題的題源題根.

水有源，故其流不窮；木有根，故其生不窮.很多考題本質是題根穿上華麗的“外衣”，帶上神秘的“面紗”，抓住考題和題根之間的內在聯系，解題時才能“莫為浮云遮望眼”，善于“撥開迷霧”見“真顏”，才能從茫茫題海中走出來，可謂茫茫題海，尋根是岸.教學中，我們應將具有探究價值的題根挖掘出來,也可進行問題情境的設置，讓學生在探究中內化新知并建構完善知識體系，充分體會題根的價值，并獲得思維能力和核心素養的長效發展.