注重幾何直觀 突出幾何變換體現幾何模型

黃江泉

[摘要]幾何試題注重幾何直觀，突出幾何變換，體現幾何模型.研究中考數學幾何試題對初中幾何教學有很好的啟發，特別是對學生幾何解題能力的培養有很好的導向作用.

[關鍵詞]中考試題;幾何直觀;幾何變換;幾何模型

[中圖分類號]

G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020）23-0005-02

2019年廣西貴港市的中考數學試卷中，共有兩道幾何綜合試題，分別是第24題和第26題，兩道題均具有較強的欣賞與研究價值，對幾何教學有著較好的教學啟示，

第24題：如圖1，在矩形ABCD中，以BC邊為直徑作半圓O，OE⊥OA交CD邊于點E，對角線AC與半圓O的另一個交點為P，連接AE.

（l）求證：AE是半圓O的切線;

（2）若PA=2，PC=4，求AE的長，

欣賞與分析：本題是圓的綜合題，從知識的層面看，直接考查了切線的判定和性質、矩形的性質、相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等幾何基本知識;從思想方法的層面看，考查了截長法與補短法、轉化等數學思想方法;從幾何變換的層面看，考查了翻折（軸對稱）變換;從幾何模型的層面看，考查了等腰三角形模型、角平分線型全等三角形模型、一線三等角型相似模型、雙垂直型相似三角形等幾何模型，因此本題是一道知識非常豐富、方法非常靈活的幾何綜合題，

對問題（1），從構造不同的幾何模型出發，可得到不同的解法.

第一步是作輔助線——過O作OF⊥AE于F.

OE⊥OA，O是BC中點，利用“等腰三角形模型（三線合一）”——延長AO、DC相交于M或延長EO、AB相交于N，問題也不難解決，

對于問題（2），已知和所求之間的關系比較隱蔽，不好人手，不妨從已知出發，考慮到BC是直徑，P是圓周上的點，故聯結BP，有△ABP ∽△ACB，由此可求出AB，進而求出BC、BO，再利用△ABO∽△AOE，問題即可解決.可見，問題的關鍵依然是挖掘隱含的相似三角形△ABP∽△ACB.

第26題：已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，將△ABC繞點C順時針方向旋轉得到△A'B'C，記旋轉角為a，當90°

（2）如圖3，在（1）的條件下，設P是直線A'D上的一個動點，連接PA，PF，若AB=√2，求線段PA+PF的最小值.（結果保留根號）

欣賞與分析：本題是直線型綜合題，考查了旋轉變換、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、三角形的三邊關系等知識;從思想方法層面看，考查了截長法與補短法、轉化等數學思想方法;從幾何變換的層面看，考查了旋轉變換、翻折（軸對稱）變換以及平移變換;從幾何模型的層面看，考查了等邊三角形模型、等腰三角形（角平分線+平行線）模型、旋轉型全等三角形模型等幾何模型.因而是一道綜合性強、難度大、方法靈活的幾何壓軸題，解題的關鍵是從基本的幾何模型出發，學會添加常用輔助線，學會用轉化的思想思考問題，具體分析如下：

（1）②的思路一：在EF上截取EG=EC，先證△CEG為等邊三角形，再證△CGF≌△CEA'即可.

（1）②的思路二：過C作CG//A 'D交EF于G，先證△CEG為等邊三角形，再證△CGF≌△CEA'即可.

（1）②的思路三：延長ED到G，使DC=DE，先證△CEG為等邊三角形，再證△CGA'≌△CEF即可.

（2）的思路一：聯結A'F，由△CGF≌△CEA'可知CA'=CF，從而可證△A'CF為等邊三角形，進而可證AtE同時平分∠FEB'和∠FA' B '，從而△A'EF≌△A'EB'，于是得B'與F關于A'D對稱，只要求出AB'即可.

（2）的思路二：過A'作A'M⊥B'E，得△A'ME和△A'M B'分別為含有45°角和30°角的特殊直角三角形，通過計算證明B'E=EF，進而可得到B'與F關于A'D對稱，只要求出AB'即可，

通過對上述兩道綜合題的欣賞與分析，不難發現，中考不僅十分注重考查幾何基本知識和基本技能，還十分注重考查幾何證明的基本方法和基本變換，包括圖形的平移、旋轉和軸對稱.對我們的幾何教學有著很好的啟示.

1.幾何直觀既是描述和分析問題的工具，也是解決數學問題的方法，更是數學學習的基本內容，切實加強幾何直觀的教學，對增強學生的學習興趣、提高學生的學習能力和學習水平有著十分重要的意義.

2.加強幾何基本圖形和基本結論的教學是幾何教學的基礎和重點，是培養學生幾何解題能力的基礎和前提.

3.幾何變換是研究圖形關系的基本手段，是初中數學學習的重要內容之一，初中數學涉及的幾何變換分為全等變換和位似變換，全等變換包括平移變換、旋轉變換和翻折變換，由于幾何變換能提供圖形關系的依據和方法，為認識圖形和構造圖形提供思想指導和方法幫助，因而利用幾何變換探究圖形變化中數量與位置的不變性與變化規律，構造全等三角形、相似三角形及特殊三角形來解決問題，是解決幾何綜合題的基本策略和方法.

4.幾何模型是平面幾何中帶有明顯特征的典型圖形，如平行線中的“M角模型”、角平分線中的對稱全等模型及等腰三角形模型、三角形中的中點模型、全等模型、相似模型等，這些模型是我們解決綜合問題中快速找到突破口、完成幾何構圖的重要依據，因此，切實加強數學模型意識的培養，強化數學模型的總結和訓練，是培養學生的幾何直觀、邏輯思維和推理能力的重要方法和途徑.

5.數形結合思想、轉化思想、整體思想、和差法、割補法等數學思想方法是解決綜合題的基本方法與策略，因此，加強數學思想方法的教學，是提高學生解題能力的重要方法和手段.

6.一題多解、一題多變、多題一解的訓練，是以不變應萬變、提高學生的應變能力、培養學生的創新意識的關鍵一招，因此，在解題教學中要切實加強，注重暴露思維過程，總結解題規律，

總之，初中數學中的幾何直觀、幾何變換與幾何模型是平面幾何的核心方法與知識，是培養學生的空間觀念、推理能力、模型思想、創新意識等數學核心素養的基本途徑。在大力提倡核心素養的今天，我們要加大對中考數學試題的研究，更好地理解中考數學試題對落實學生核心素養的導向作用，明確初中數學教學落實核心素養的內容和要求，真正把學生的核心素養落到實處，特別是要通過初三的總復習教學，在幫助學生系統掌握初中數學知識、形成完善的知識體系、熟練掌握數學基本方法和基本題型的同時，要切實將學生核心素養的養成落實到總復習教學和訓練之中，讓總復習教學成為學生核心素養形成的重要時期和關鍵環節.

（責任編輯 黃桂堅）