融合STEM與自主學習教育理念的調和級數教學研究

黃小杰 劉芝秀

【摘 要】大數據時代，不同學科的交叉綜合使得知識日新月異。因此教師在教學中應該打破學科壁壘，以知識之間的聯系為教學內容組織的原則與依據，注重培養學生的學習興趣，并幫助他們樹立終身學習觀，使其成長為具有創新精神與自主學習和實踐能力的復合型人才。筆者依據STEM與自主學習的教育理念，以高等數學調和級數的教學為例，將調和級數與計算機科學、建筑學、物理學等學科內容相聯系進行研究。經分析調研，本文所設計的調和級數課堂教學方式在提升學生綜合能力和自學能力等方面取得了良好效果。

【關鍵詞】STEM;自主學習;調和級數;學習興趣

【中圖分類號】G642.45 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2020）16-0011-02

隨著信息技術的發展，當今社會已進入大數據時代，各種數據的融合應用，不同學科的交叉綜合，對教學提出了更高的要求。從傳統的分科教學到如今強調學科之間的深度融合，STEM教育理念應運而生，解決了學科間深度融合的有效路徑問題，它強調將科學（Science）、技術（Technology）、工程（Engineer）和數學（Mathematics）四個學科相融合，打破學科壁壘，基于真實世界中的問題情境開展教學。無論是科學教育還是數學教育，都需要學生在真實情境中，調用各類知識解決復雜問題[1-2]。

教師在教學中應將知識之間的聯系作為教學內容組織的原則與依據，同時注重培養學生的學習興趣、學習能力，并幫助他們樹立終身學習觀。只有樹立終身學習觀、擁有自主學習能力，學生才會不斷學習，才能適應社會發展的要求，成為具有創新精神和實踐能力的復合型人才[3]。高等數學課程在高校人才培養中起著非常重要的作用，其教學內容的設計對教學效果和人才培養都會產生較大影響，因此，它的每一堂課都值得精心設計和安排[4]。下文以高等數學調和級數的教學為例，闡述將STEM與自主學習教育理念相融合而產生的教學效果。

1 ? 調和級數的教學實踐內容

調和級數是指自然數的倒數之和，即。證明調和級數發散方法有很多，教師可將其作為練習題，留給學生自行完成，并根據學生完成證明的情況給出平時成績。之后，教師再對調和級數發散的不同證明方法進行對比講解。

調和級數的前項和與的差所構成的數列收斂，該收斂值稱為歐拉常數。利用“單調下降有下界的數列必收斂”進行證明，并鼓勵學生課后探索新的證明方法以及調和級數的其他性質。在完成上述基本教學內容的同時，適當融入STEM與自主學習教育理念，在課堂上穿插兩個涉及計算機科學、建筑學、物理學等知識的實例。

1.1 ?蠕蟲橡皮筋悖論

假設一條蠕蟲沿著一條長1米的橡皮筋爬行，而橡皮筋每分鐘均勻伸長1米。如果相對其所在的橡皮筋，蠕蟲爬行的速度是每分鐘1厘米，那么蠕蟲最終會達到橡皮筋的另一頭嗎[5]？

看似蠕蟲不可能到達另一頭，而事實卻并非如此，這便是調和級數發散性質的一個應用。數學中稱這個問題為“蠕蟲橡皮筋悖論”。通過這一現象，不僅可以加深學生對調和級數發散的印象，而且可以幫助他們形成科學精神和正確的認知觀。

教師可以順著學生的好奇心進行解釋，當橡皮筋伸長時，蠕蟲已經爬過的橡皮筋路段也對應的伸長，所以蠕蟲爬過的橡皮筋路段長與整個橡皮筋長的比是不會改變的。如1分鐘后蠕蟲爬行了1厘米，占橡皮筋總長的，橡皮筋伸長后所爬過的路段也伸長，仍為總長的。那么分鐘后，蠕蟲爬行過的距離與橡皮筋伸長的總長度比為。因為調和級數是發散的，所以這個比值必定在某個時刻大于1，這就說明蠕蟲可以到達橡皮筋的另一端。

到底要多久才可以到達呢？教師可以讓學生在課后使用計算機編程進行計算，有的學生用Python編程進行計算，雖然程序正確，卻無法得出結果。實際上值非常大，約為，即使用現今最快的計算機也無法在有效的時間內循環完上述次數。因此，可以借此引導學生去了解計算機科學中可計算與實際可計算的概念和計算機算法時間復雜度的概念[6]。

讓學生估算，一來可以使學生借此熟悉調和級數的性質，二來可以幫助學生去了解計算機科學的一些重要概念和思想。

1.2 ?“比薩斜塔”會倒塌嗎

著名的比薩斜塔會倒塌嗎？這是一個復雜的問題，用單方面的知識是無法得出確切答案的。可以引導學生聯想阿聯酋首都阿布扎比的“首都門”、浙江錢江綠色建筑科技館、哥本哈根貝拉空中酒店等建筑，讓他們思考這些建筑的頂部都傾斜凸出到地基之外而不倒塌，其中的數學道理是什么。

探求這些建筑中的數學原理，要考慮將多塊質量均勻的磚塊疊在一起，并使得每塊磚較其下面的磚凸出一定的長度，是否可以使某塊磚完全在最下面一塊磚之外？換言之，是否可以找到一塊磚使其在水平面上的垂直投影與最下面的一塊磚無重疊[7]？

堆磚的方式很重要，一堆剛好平衡的磚是指對于任意一層磚，在其之上的磚堆的質心恰好落在其邊緣。新添加的磚不能置于其上方，否則會使得質心向右偏移而倒塌，應該堆在整堆磚之下，并使得原有磚堆的質心剛好落在新磚的最右端，這樣原來的磚就不會倒塌，見下圖。由此引導學生回顧物理中質量和質心的概念，以及杠桿原理和計算質心的辦法。

為簡單起見，不妨設每塊磚的長度為1，磚的指標數從上往下而定，最上面的磚記為第1塊，第1塊下面緊鄰的磚記為第2塊，依此類推。

如下圖，是第塊磚的質心到第塊磚的右邊緣的距離，是第塊磚右邊緣到第塊磚右邊緣的距離。顯然，由第塊磚杠桿平衡可知，解得。

按上面的擺法，若堆疊了塊磚，那么最頂層和最底層磚右端的水平距離是，因為調和級數是發散的，所以當磚塊數趨于無窮時，水平距離也可以到達無窮，即可以找到一塊磚，使其在水平面上的垂直投影與最下面的一塊磚無重疊，甚至可以間隔無窮大。

2 ? 結束語

在介紹調和級數時，穿插講解“蠕蟲橡皮筋悖論”和“比薩斜塔問題”等涉及計算機、物理、建筑等多方面知識的問題，能夠激發學生的學習興趣，引導學生自由探索和自主學習。這樣學生不僅可以學習和鞏固調和級數方面的數學知識，同時也能探索和學習到其他知識。經過課堂反饋、測試、課后調研發現，融合STEM與自主學習教育理念所設計的調和級數課堂教學內容在提升學生的綜合能力和自學能力等方面取得了良好效果。

【參考文獻】

[1]陳曉慧，徐彬，張哲等.STEM教育研究與實踐的理念與路徑——訪不列顛哥倫比亞大學科學教育專家Samson Nashon教授[J].中國電化教育，2019（387）.

[2]王志強.美國高校創客教育與STEM教育的融合：理念、路徑、啟示[J].復旦教育論壇，2016（4）.

[3]何思穎，何光全.終身教育百年：從終身教育到終身學習[J].現代遠程教育研究，2019（1）.

[4]徐利治.關于高等數學教育與教學改革的看法及建議[J].數學教育學報，2000（2）.

[5]甘志國.蠕蟲爬橡皮繩問題[J].數學通報，2002（11）.

[6]薩特吉·薩尼.數據結構、算法與應用：C++語言描述[M].機械工業出版社，2015.

[7]英子.意大利的比薩斜塔[J].世界文化，2012（6）.

【作者簡介】

黃小杰（1983～），男，漢，江西南昌人，博士，講師。研究方向：數學及其教育。

劉芝秀（1982～），女，漢，四川榮縣人，碩士研究生，講師。研究方向：數學及其教育。