論數學分析課程對中學數學的功能及應用

周露露

[摘要]文章在探討數學分析課程與中學數學的聯系、數學分析課程在中學數學中應用的重要性、數學分析對中學數學的指導作用及數學分析課程在中學數學中存在的問題的基礎上，提出了數學分析課程在中學數學中的具體應用，旨在為相關教育工作者提供參考和借鑒。

[關鍵詞]數學分析課程;中學數學;重要性;應用策略

隨著中學數學教育的不斷改革，中學數學開展了各種豐富多彩的課外活動。在課程活動中，學生會接觸到一些中學數學課本以外的知識，這就對教師的眼界、思維及教學方式提出更高的要求。數學分析課程在其中的作用逐漸凸顯出來，如數學分析課程中函數、不等式等數學問題的解法既包含有高等數學和現代數學的觀點，又有初等數學的巧妙。因此，本文探討數學分析課程對中學數學的功能及應用，具有非常重要的現實意義。

一、數學分析與中學數學的聯系

當初等數學發展到一定階段后必然會產生數學分析，初等數學是數學分析形成的基礎，數學分析課程里面的導數、積分等概念都來源于初等數學。其中，導數最初是用來求直線斜率的，后來發展成為用極限方法求曲線上某點的切線斜率。積分最初是用來求直線所圍成的平面圖形面積，后來發展成為用極限方法求曲線所圍成的面積，從這些概念的發展過程可以看出數學分析解決了初等代數、初等幾何解決不了的問題，其發展具有必然性。

從內容上來看，數學分析和中學數學存在緊密聯系，數學分析是在實數范圍內對函數性質進行的研究，它是建立在實數理論基礎上的。而在中學數學教學中，實數也是非常重要的內容之一，實數分為有理數和無理數，如丌、平方根等都是無理數的代表，但關于無理數的一些問題，如無理數是否大量存在，如何產生，以及實數與數軸上的點一—對應關系等，這些問題在中學數學中沒有做出具體的回答，但在數學分析中對其進行了解答。

函數是中學數學重要的教學內容，中學數學對其研究重點是性質、圖像、定義、值域、求解函數與坐標軸的交點、極值、函數的奇偶性及周期性等，研究的方法主要是根據函數的定義，然后根據函數解析式的運算性質討論式子的恒等變形，解方程或解不等式，這在一定程度上限制了函數的研究，也給研究解題技巧帶來了一定難度。但是，如果用數學分析中微分學的原理方法，這些問題就迎刃而解，以簡馭繁了。例如，中學數學中的函數圖像、方程與不等式等問題，它們的求解方法具有局限性，很多方程與不等式的求解有很強的技巧性，而從數學分析角度看解方程或方程組其實質是求函數的零點或求兩條曲線的交點，解不等式的實質是求函數值符號的問題。

另外，中學數學里的幾何問題與數學分析也是息息相關的，利用數學分析的原理和方法求解任意曲線的切線、漸近線也是很容易的，而利用中學數學來解答這些問題則具有一定的難度。

二、數學分析課程在中學數學中應用的重要性

數學分析課程是數學專業的一門必修課程和基礎課程，該課程并不是簡單地沿用傳統數學模板和知識，而其中包含了很多數學分析思維和數學思想，學生一旦掌握這種數學分析思維，很多問題都可迎刃而解。雖然目前不同省份所使用的教材版本各異，但數學分析課程的知識體系和思想傳輸都是一樣的，如對函數、微積分、級數、極限、函數等重要數學理論的研究。將數學分析課程應用到中學數學中，可以為學生厘清思路，感受到整體與局部、特殊與一般、近似和準確的關系，幫助學生提升數學思維邏輯和數學思維能力。另外，數學分析課程為物理、化學等課程的學習也奠定了專業學習理論基礎和提供了方法，以便學生在日后能夠學以致用，解決實際問題。

三、數學分析對中學數學的指導作用

作為一名中學數學教師，更應加強數學知識的學習，掌握多樣化的數學教學方法，這樣才能在教學過程中更胸有成竹，得心應手，把更多的數學知識傳授給學生。與此同時，還要多學習數學分析課程中的一些理論知識、原理和解題方法，用現代化的知識武裝自己，促進自身數學素養的提升。在中學數學教學過程中，運用全新的知識和理念去解釋相關的問題，充分發揮數學分析中的理論、原理等知識對中學數學的指導作用，將指導作用發揮到淋漓盡致。為了真正貫徹數學分析對中學數學的指導作用，教師首先需要做到的是提升自身的數學素養，熟練掌握和理解數學分析中的理論、原理等知識，并在日常教學過程中集思廣益，搜集大量的材料，把好的知識點記錄下來。此外，還需將數學分析和中學數學進行有效銜接，通過搜集典型的題型，比較二者的解法。長此以往，就會養成將數學分析理論及原理在中學數學中應用的習慣，真正發揮數學分析對中學數學指導的作用。

四、數學分析課程在中學數學應用中存在的問題

1.教學內容抽象，學生較難理解

由于數學分析課程的教學內容具有一定的抽象性，學生理解起來具有一定的難度，對于數學分析課程的教學方式和教學意義也不太了解。教師在數學分析教學中沒有從學生實際的接受能力和興趣出發，且教學方法缺乏創新性，導致學生對數學分析課程的內容一知半解。另外，數學分析課程中的一些定義和概念都是在中學數學基礎上發展而來的，但對學生的數學思維能力和分析能力要求更高，加上有些知識教師在短時間內理解都有一定難度，學生學習起來就更加困難了。

2.數學分析教與學缺乏同步性

數學分析課程在中學數學應用中最明顯的缺陷就是教與學沒有同步進行，有些教師為了趕教學進度，對學生的學習要求并不是太嚴格。而有些學生雖然對數學分析課程感興趣，也只能利用業余時間進行學習和鞏固，在課堂中學到的知識十分有限。此外，有些教師并未將中學數學分析課程與其他課程進行有效連接，致使該課程的價值沒有得到充分展現。

3.忽視對數學分析課程教學過程的重視

現階段，很多教師都比較注重數學分析課程的結果，而忽視對數學分析課程的教學過程。受應試教育的影響，教師更注重的還是學生的考試分數，用分數來衡量教學效果和學生的掌握程度。而數學分析課程在中學數學中的應用，除了能夠提升學生的數學思維能力和邏輯能力外，還能讓學生形成整體觀，加強知識間的有效銜接，這些能力的提升都是在教學過程中積累起來的，所以，教師應該重視教學過程，一步一個腳印，不能只注重教學結果。

五、數學分析課程在中學數學中的具體應用

1.級數理論在中學數學中的應用

在數學分析課程中，級數理論是非常重要的內容，通過對函數級數進行展開可以計算近似級數，從中學數學中的三角函數表及常用對數表可以看出，其制作的原理都運用到了級數理論的求近似值。因此，中學數學教師應熟練掌握這些知識，教會學生查閱表格的方法，并將制作表格的理論依據講給學生聽，以激發學生學習數學的積極性。還可開展一些數學課外活動，開闊學生的眼界。如在中學數學中常用求函數極值的方法有不等式、配方等，這些方法較容易，學生都能掌握，但這些方法只適用于解決特殊問題，技巧也較高，如若用導數來解決函數極值問題，會簡單很多。

2.積分法原理和方法在中學數學中的應用

定積分和不定積分是積分學包含的兩大重要內容，其中定積分的含義是基于極限的角度，不定積分的含義是基于逆運算的角度，它們從定義上來看是完全不同的，但從Newton-Leibniz的微積分基本定理來看，它們也存在一定的內在聯系，因為可以將定積分里面求和式極限這樣較難的問題轉化成求不定積分來解決，使問題變得簡單。

3.面積與體積計算方法在中學數學中的應用

在中學數學中，書本上給出的面積和體積公式都是用來計算規則平面圖形或空間立體圖形，但是很多公式不能給出具體的推導方法。因此，祖恒定理被當作研究體積計算問題的常用定理，以它作為理論依據，再結合長方體的體積公式推出柱、錐、球等體積公式。而在數學分析課程中，不僅可以用積分或重積分的方法來計算面積和體積，而且可用定積分的定義來證明祖恒定理、柱、錐、臺、球等體積公式。所以，中學數學教師需結合數學分析里的一些方式方法來計算有關面積、體積的問題，進而為選用其中—種教學方法指明方向。

4.證明不等式在中學數學中的應用

在中學數學課程中，不等式也是重要的學習內容，因為它涉及解方程和函數方面的問題，如解不定方程、極值、條件極值都包含在其中。證明不等式的方法有很多，題型不同，證明方法也不同。在中學數學中常用的方法有恒等變形、利用二次型等，而這些方法需要較高的技巧。如若利用數學分析里的函數的單調性、定積分的性質等知識解答不等式問題，求解過程會變得簡單。

六、結語

總而言之，數學分析課程在中學數學中的應用具有重要的指導意義，將其應用到中學數學教學中，不僅可以使問題簡單化，而且能拓展學生的解題思路。因此，教師在解答相關數學問題時，可以先利用數學分析的方法，然后再從中學數學知識和學生的實際情況出發，通過搜集典型例題，再從數學分析中的理論、原理與中學數學的相關知識聯系入手，優化解題方案，提升教學效果。