抽象函數的解題策略探究

摘?要：攻克抽象函數問題的關鍵是深刻理解并熟練應用函數的概念、性質等，做好這點，有助于理解和抓住抽象函數問題的本質。所以，抽象函數類型的試題也是考查學生對函數基本概念與性質的了解情況，以及考查學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模等數學核心素養。近幾年來抽象函數類型的問題受到了命題者的廣泛青睞，因此，文章根據近幾年的高考題的特點和教學實踐中的嘗試與探索，確定相應的幾種解題策略。

關鍵詞：抽象;解題;策略

抽象函數指的是在已知條件中沒有將函數的具體解析式或其圖像明確給出，但是只將該函數所滿足的條件或特征做了介紹。通常涉及抽象函數的數學問題一般都會與函數的性質有關，如函數的單調性、對稱性、周期性以及函數的定義域與值遇等等。在高考命題中，抽象函數問題出現的次數越來越頻繁，而且有關的問題難度系數也較高。而因為抽象函數在特點上具有隱蔽性，導致許多學生在解答問題的過程中常常感到十分茫然，無從下手。因此，下文將結合抽象函數的特性以及在高中數學中學習到的四種抽象函數基本模型，對抽象函數的解題策略及規律進行歸納與總結。

一、 數形結合使抽象函數具體（直觀想象）

在求解抽象函數問題的時候，數形結合思想是學生們經常用到的方法之一。這是由于數形結合思想能夠把抽象函數中所給的已知條件轉化為數學圖形。這是從抽象到直觀的過程，可以提高學生們對問題的理解力，而且在進行數與形的轉化后，原本復雜的問題也變得簡單了許多，甚至還會幫助學生減少問題求解過程的計算量。

應用數形結合思想于抽象函數中的重要條件就是抽象函數在函數圖像上所表現出來的性質有周期性、奇偶性以及對稱性等，這些特征可以促進學生對問題的分析。學生們可以通過繪制抽象函數圖像的示意圖，借助示意圖將抽象的函數關系式變形象化，這樣做的好處是可以減少推理，同時有利于學生觀察和對比。

【例1】?已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，在（-∞，0]上是減函數，且f（2）=0，則使得f（x）<0的x的取值范圍是（??）

A. （-∞，2）B. （2，-∞）

C. （-∞，-2）∪（2，+∞）D. （-2，2）

解析：畫出滿足題意的示意圖，可得答案D。

利用題目中所給函數的性質畫出函數的示意圖，以形助數，問題迅速獲解。

二、 利用單調性定義使問題具體（邏輯推理）

分析抽象函數問題可以從函數的符號f入手，“穿”上函數符號f與“脫”掉函數符號f可以有助于函數問題的分析，這主要是由于函數具備單調性，所以在“穿”與“脫”之間實現了函數的簡化，促進問題的解決。

【例2】?（2019全國3理11）設f（x）是定義域為R的偶函數，且在（0，+∞）上單調遞減，則（??）

A. f（log314）>f（2-32）>f（2-23）

B. f（log314）>f（2-23）>f（2-32）

C. f（2-32）>f（2-23）>f（log314）

D. f（2-23）>f（2-32）>f（log314）

解析：f（x）是定義域為R的偶函數，所以 f（log314）=f（log34），

因為log34>log33=1，0<2-32<2-23<20=1，所以0<2-32<2-23

又f（x）在（0，+∞）上單調遞減，所以f（2-32）>f（2-23）>f（log314）。故選C。

而函數具備的性質還有對稱性和奇偶性，其中，對稱性主要可以分成中心對稱與軸對稱兩種。在這兩種對稱中，分別有一個特殊對稱情況，即中心對稱的原點對稱與軸對稱中的y軸對稱。通常我們在遇到這兩種對稱的時候，都稱其函數為奇函數或者是偶函數。對稱性與奇偶性也是高考中常常出現的抽象函數問題，如果學生們在選擇或填空問題中，遇到該類型題時，可以結合具體問題做分析，并依照函數定義將已知條件轉化為函數單調性上，做解答。所以，在求解抽象函數問題的時候，學生們還可以利用這兩種性質可以將自變量轉化到求解函數的單調區間中，再通過分析函數的單調性對問題進行求解。另外，根據抽象函數的定義，函數的定義域以及值域也可以作為求解抽象函數問題的方法。而當學生使用定義域或值域進行求解問題的時候，一定要注意函數自變量的取值范圍，特別是在求解有關函數定義域與值域的問題中。

三、 類比模型使解題思路具體（特殊與一般）

在解決抽象函數問題中，還可以使用類比模型。何為模型？在數學中，依照題目中已知的數量關系進行大膽的猜想從而形成了抽象函數的原始模型，并將此作為目標猜想。通過分析模型函數具備的性質對求解問題的方法進行探索。特別是在求解抽象函數類的選擇或填空題時，就可以使用類比模型進行作答，這可以幫助學生在答題中啟發思路，同時還能起到一定的驗證作用。

【例3】?（2018全國卷Ⅱ）已知f（x）是定義域為（-∞，+∞）的奇函數，滿足f（1-x）=f（1+x）。若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（??）

A. -50B. 0C. 2D. 50

解析：由題意可設f（x）=2sinπ2x，作出f（x）的部分圖像如圖所示。由圖可知，f（x）的一個周期為4，所以，f（1）+f（2）+…+f（50）=12×0+f（1）+f（2）=2，故選C。

函數圖像雙對稱問題通常可借助正弦函數和余弦函數的圖像及性質為模型來解題，從而化抽象為具體。從特殊轉化到一般的數學思想，以及使用聯想類比思想都能夠幫助學生解決抽象函數問題。能夠應用類比思想的函數模型有f（x+y）=f（x）·f（y），由于該模型的結構特征滿足于指數函數，所以，如果學生遇到像這種函數的模型時，就可以類比指數函數的函數性質進行求解。再如函數模型f（xy）=f（x）+f（y），該模型結構特征滿足于對數函數，所以學生在解決該類函數模型的時候，可以類比對數函數的函數性質進行問題的求解。由此可見，應用類比思想解決抽象函數問題的前提，就是要了解各種函數的性質特征，只有這樣才會在解題過程中，挖掘出問題中所隱藏的已知條件。

【例4】?某函數f（x）是定義域為R的函數，它于任意實數x與y都可有f（x+y）=f（x）·f（y），并且在x1≠x2的時候，f（x1）≠f（x2）。求解f（0）的值是多少？并對函數f（x）的奇偶性進行判斷，同時說明理由。

解析：當實數x與實數y均為0的時候，有f（0）=[f（0）]2，

因此，f（0）的值為0或者為1。

當f（0）的值為0的時候，由于f（x+y）=f（x）·f（y），假設x為0，y為1。那么就有f（0）=0。

這并不滿足于已知條件在x1≠x2的時候，f（x1）≠f（x2），

所以，f（0）≠0。由此可知，f（0）=1（此函數正好滿足指數函數圖像中過點（0，1）的特點）。

又因為f（0）≠0，而函數的定義域又為R，

因此，f（x）并非奇函數。

且在x≠0的時候，-x≠x，f（-x）≠f（x），

所以，f（x）并非偶函數。

由此可知，f（x）不具備奇偶性。（指數函數恰巧也不具備奇偶性）

通過該問題可知，當學生在求解抽象函數問題的時候，如果已知條件中存在f（x+y）=f（x）·f（y），且函數的定義域為R的時候，就要考慮該函數可能為指數函數，這時候依照所學的指數函數性質及其特點就可以很輕松的解答出問題答案。

四、 賦值策略使問題具體（代換思想）

通常在求解抽象函數問題的時候，學生可以首先使用賦值這一策略作為解決問題的切入口。賦值就是依照著已知題目中給出的函數，對該函數的性質進行判斷，同時把其具備的性質轉化成問題的已知條件。再根據已知條件等式中把變量或者是特殊值代入到函數中，從而使問題得到解決。利用賦值策略的前提條件是因為通常抽象函數的表現形式是函數方程，所以，在求解這類函數問題時，學生可以給予變量一些特殊值或者是特殊式，這樣也會促使問題的有效解決，并有著一定的規律性。

【例5】?若函數f（x）對任意實數x，y滿足：f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=0，則下列結論正確的是????。

①f（x）是周期函數;②f（x）是奇函數;③f（x）關于點（1，0）對稱;④f（x）關于直線x=1對稱。

解析：∵f（x+2）=f（x）+f（2）=f（x），∴f（x）為周期函數。故①正確;

f（2）=2f（1）=0，∴f（1）=0，∴f（1）=f（1+0）=f（1）+f（0），∴f（0）=0。

令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（x）為奇函數。故②正確;

∵f（1+x）+f（1-x）=f（2）=0，∴f（1+x）=-f（1-x），∴f（x）關于點1，0對稱。故③正確;

若f（x）關于直線x=1對稱，則f（1+x）=f（1-x），∴f（1）+f（x）=f（1）+f（-x），

∴f（-x）=f（x）這與f（x）是奇函數矛盾，故④錯，故正確的是①②③。

根據題目中的已知信息判斷抽象函數所具備的性質，再將已知條件與結論進行有機結合，同時對其做適當的變形。這樣我們就能夠發現一個滿足題意的詳細函數，或者將變形后的函數進行變量賦值，使抽象的數學函數問題轉化成具體數學問題，最終使問題得到解決。

上面結合實例介紹了四種抽象函數的解題策略，在實際解題過程中相輔相成。高中數學教學中，抽象函數既是教學重點，也是學生的學習難點，同時抽象函數也是大學中高等數學學習的基礎，它充分地體現了數學學科的抽象性，同時體現了新課程、新高考對核心素養的考查，凸顯高考的命題導向由能力立意轉變為素養導向。因此，我們在實際的解題過程中要不斷優化學生的解題策略，快捷有效的解決抽象函數問題，進而提升學生的數學核心素養，為學生的發展奠定基礎。

作者簡介：

游含啟，福建省龍巖市，福建省長汀縣第一中學。