用函數思維發現正切概念 讓自主研究提升核心素養

許穆

摘?要：通過對蘇科版“正切”教學的思考，研究如何用函數思維幫助發現正切概念，如何在自主研究過程中提升學生的核心素養。

關鍵詞：正切函數;自主研究;核心素養

1?教學分析

1.1?教材分析

本節課是蘇科版《數學》九年級下冊第七章第一節內容，是初中數學重要內容之一，是學生學習了直角三角形、相似三角形等知識的延續，又是后面學習解直角三角形等內容的基礎。

1.2?教學目標

（1）參與研究直角三角形中邊與角之間關系的過程，參與定義“正切”的過程，能結合圖形陳述“正切”的概念。

（2）會用符號表示“正切”，能知道在直角三角形中，“正切”與直角邊之比的關系。

（3）能感悟“正切”概念形成過程中蘊含的歸納思想、運動變化觀點、符號表示思想、類比思想等。

（4）通過主動研究，合作交流，感受研究的樂趣與成功的體驗，同時培養學生的團隊合作精神。

2?教學反思

2.1在正切概念生成過程中培養學生的研究能力

涂榮豹先生在《談提高對數學教學的認識》一文中指出，數學教學的主要目的是教學生研究數學問題的一般方法，即建構數學概念或數學關系的一般方法，主要包括三個核心過程：形成研究對象、尋找研究方法、表征研究結果。因此把這三個核心過程分解到正切的教學過程中去就很必要了。

2.1.1?形成研究對象

研究對象的形成主要從知識基礎或問題情境中產生，因此本節課可以向學生提出如下問題“在直角三角形中，我們已經學過邊與邊的關系，角與角的關系，接下來我們還可以研究什么問題？”聰明的學生可以回答出“可以研究邊與角的關系”，當然考慮到學生的基礎不同與學習的趣味性，實例中是給出問題情境，而后再引導學生發現需要研究邊與角的關系的。

2.1.2?尋找研究方法

當確定研究對象是直角三角形中邊與角的關系后，還需要進行具體化，如本節主要研究直角邊與銳角的關系，又可以進一步細分為銳角的對邊與銳角的關系、銳角的鄰邊與銳角的關系、銳角的對邊和鄰邊與銳角的關系等。教師要引導學生初步判斷哪些目前可以研究，哪些目前不可以研究，哪些先研究，哪些后研究等，在這個過程中也可以培養學生的發散思維和集中思維能力。

教師要啟發學生自主尋找研究方法，如本節尋找直角三角形中直角邊與銳角之間的關系時，可以這樣啟發學生：研究規律是數學學科的重要研究對象，如變中的不變，本節中啟發學生研究當∠A確定某一種度數時，無論Rt△ABC中直角邊a、b長度變長變短，a、b長度的什么代數式都有不變的規律。

用正確的研究方法研究之后，一般可以先提出猜想，而后再驗證猜想，過程不再贅述。

2.1.3?表征研究結果

驗證猜想后得出研究結果，就要用數學語言對其進行表征，如下定義。這個過程要引導學生用自己的語言進行定義，從而很好地培養學生的數學語言轉換能力和數學思維能力。

2.2?在正切概念生成過程中訓練學生的函數思維

函數是描述實際生活中變化規律的重要的數學模型，是中學數學從常量到變量的一個飛躍，學習函數可以滲透模型思想、特殊與一般思想、數形結合思想等。

2.2.1?引導學生用函數思維自主發現正切概念

在發現正切概念之前，學生已學習了一次函數、反比例函數、二次函數，這就為下面學習正切函數提供了一般思路和方法。蘇科版教材對函數是這樣定義的：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。本節關鍵是用函數思想中的任意性、唯一性的要求來驗證，Rt△ABC中，邊a或b的長度或a、b長度的比值是否是關于銳角∠A的函數，驗證之后，正切的概念也就水到渠成了。

2.2.2?在正切概念生成過程中強化學生的函數思維

在正切概念教學過程中要體現正切概念的生成過程，讓學生經歷從具體情境到正切概念形成的抽象過程、概括過程，滲透模型思想，強化函數思想，尤其是函數思想中的任意性、唯一性，即對一個變量（自變量）的“任意一個”取值，另一個變量（函數）都有“唯一的”取值與之對應。

2.3?在正切概念生成過程中提升學生的核心素養

2016年9月，《中國學生發展核心素養》正式發布，其中數學學科提出了6大核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析。章建躍博士在《樹立課程意識，落實核心素養》一文中則認為，課堂教學應該為發展學生的核心素養提供個性、全面、可持續的助力。

2.3.1?在發現研究對象過程中提升數學抽象的核心素養

本節引導學生由竹竿問題抽象出數學問題，進而得出研究對象是直角三角形中直角邊與銳角之間的關系，從而提升學生數學抽象的核心素養。

2.3.2?在研究過程中提升數學運算、數據分析的核心素養

本節引導學生分析Rt△ABC中，∠C=90o，∠A的對邊記為a，∠B的對邊記為b，當∠A=30o時，不同Rt△ABC中直角邊a、b長度可以有哪些情況？改為∠A= 45o或∠A=40o時，直角邊a、b長度有無類似規律呢？在對直角邊a、b長度數據的分析過程中提升學生的數學運算、數據分析的核心素養。

2.3.3?在研究過程中提升邏輯推理與數學建模的核心素養

本節在引導學生猜想出結論，即“∠A確定某一種度數時，無論Rt△ABC中直角邊a、b長度變長變短，都是確定的常數”后，引導學生用相似三角形的知識驗證猜想的成立，達到提升學生邏輯推理核心素養的目的。

在引導學生得出結論，即“∠A確定某一種度數時，無論Rt△ABC中直角邊a、b長度變長變短，都是確定的常數”后，用函數思維引導學生建模，進而得到正切這一新的函數模型，又提升了學生數學建模的核心素養。