淺析換元法在初中數學中的應用

許濤

摘要：解題訓練是筆紙化應試教育背景下的最為常見的一種訓練形式，也是評價學生學習效果、應用能力最直接、最便捷、最公平的形式之一。為此，在常態的教學過程中，如何提高學生的解題能力、啟發學生的解題思維、促進學生的能力生長是初中數學教學實踐需要重點研究的一項課題。筆者結合換元法在初中數學中的實踐與研究，談談方法與思想滲透的達成策略。

關鍵詞：初中數學;換元法;應用

中圖分類號：G4? 文獻標識碼：A? 文章編號：（2020）-24-134

隨著教育改革的不斷推進，數學思想越來越受重視，有關換元法的研究和運用也取得突破性發展。在初中數學解題教學中，解答一些復雜的因式分解問題常用到換元法，即對結構比較復雜的多項式，如果將其中某些部分看成一個整體，用新字母代替，可以將復雜問題變得明朗化和簡單化，在減少多項式的項數，降低多項式結構復雜程度等方面有積極作用。

一、換元法在因式分解中的應用

因式分解是初中數學中最重要的恒等變形之一，是學生解決數學問題的一項有力工具。在解因式分解時，需要用新元來替換式中的某個部分，從而減少因式項數，最終讓復雜的因式分解變得簡單。

例1：分解因式：（b+c-2a）3+（c+a-2b）3+（a+b-2c）3。

解析：如果先去掉括號，然后再進行分解，過程會相當煩瑣且運算量巨大。如果我們注意到（b+c-2a）+（c+a-2b）+（a+b-2c）=0，則可通過換元法將復雜的情況轉化為簡單問題。

解答：設（b+c-2a）=x，（c+a-2b）=y，（a+b-2c）=z，則有：x+y+z=0，

又 x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz- xz）， 則 有：x3+y3+z3-3xyz=0，

因此，原式= x3+y3+z3-3xyz+3xyz=3xyz=3（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c）。

如果能夠掌握換元法求解參數試題，那么數字試題就能夠輕松解答。

二、換元法求解分數方程和無理方程

分數方程和無理方程的難度要大于普通方程，因此需要換元法來降低方程的求解難度。

例2：解方程：2x2+1x2-7x+7x+2=0。

解析：首先，我們要將原方程進行簡化，即原方程=2[（x-1x）2+2]-7（x-1x）+2=0，

設x-1x=y，則上述方程可化為：2y2-7y+6=0，解方程得y1=2，y2=32當y=2時，x-1x=2，即x=1±2，當y=32時，x-1x=32，得x=-12或x=2，再檢驗這些根，得這些根都是原方程的解。

例3：解方程：2x2-6x-1+3x2-3x+2=0。

解析：本題需要從題目中的根號入手，讓根號內外通過增減項變得一致，然后利用換元法將二次根式進行替換，最終將無理方程轉換為有理方程進行求解。

解答：原方程=2（x2-3x+2）+3x2+3x+2-5=0，

設x2+3x+2=y，則原方程化為：2y2+3y-5=0，

最終得到：y1，y2=-52，

當y=1時，x2+3x+2=1，即x2-3x+2=1， 解得x1=3+52通過檢驗，y=-52要舍去，因此，原方程的根為x2=3-52。x1=3+52，x2=3-52。

三、換元法求解高次方程

整式方程未知數最高項次數高于2次的方程，稱為高次方程。

例4：（1）已知方程（2x2+1）2-2x2-3=0，設y=2x2+1，則原方程可化為??? ;

（2）仿照上述解法解方程：（x2+2x）2-3x2-6x=0。

解析：（1）設y=2x2+1，則原式左邊=（2x2+1）2-（2x2+1）-2=y2-y-2，

∴原方程可化為y2-y-2=0。

（2）設x2+2x =y，則原式左邊=（x2+2x）2-3（x2+2x）=y2-3y;

∴y2-3y=0，即y（y-3）=0，即y=0或3。

當y=0時，則x2+2x=0，∴x（x+2）=0，解得x=-2或0;

當y=3時，則x2+2x=3，∴x2+2x-3=0，解得x=-1或3。

故方程的解為-1，-2，0，3。

通過解題過程我們可以看到，換元法能夠有效降低方程的冪次，降低試題的難度，提升學生計算的速度和效率，因此，教師在教學中應當注重傳授這種數學思維，使學生能夠靈活運用。

四、換元法巧解方程組

學生運用換元法求解方程組能夠有效消元，簡化求解過程和步驟，從而提升解題的速度和效率。

例5：解方程組：

（1）2x+y-1x-y=33x+y+4x-y=10;（2）x+y2+x-y3=7x+y3+x-y4=-1。

解析：如果正常求解這個方程組，會比較麻煩。我們可以把x+y，x-y分別看為一個整體，進行“換元”，然后再進行方程的求解，這樣較為簡單。

解答：（1）設1x+y=m，1x-y=n，化簡上述方程組得：2m-n=33m+4n=10，

解得m=2n=1，即x+y=12x-y=1，解得x=34y=-14。

（2）設x+y=m，x-y=n，則原方程組可化為m2+n3=7m3+n4=-1，

解得m=6n=12，∴x+y=6x-y=12，

最終解得x=9，y=-3。

通過解題過程我們可以得到，利用換元法能夠有效降低方程的運算難度，提升解題速度，因此教師應當指導學生總結相關技巧，提升數學思維和水平。

總之，數學教師在授課過程中應當加大訓練的強度和力度，總結經典習題的解題方法，提升學生的學習興趣和成就感，幫助他們取得理想的分數，從而進入心目中的高中進行深造學習。

參考文獻

[1]高占芬.例析換元法在初中數學教學中的應用[J].基礎教育課程，2016（05）.

[2]盧春松.淺析換元法在初中數學解題中的應用[J].數理化學習（初中版），2014（10）.