由特殊到一般的方法在數(shù)學學習中的體現(xiàn)

魏選平

摘 要：本文詳細介紹了由特殊到一般的教學方法，在小學、中學及大學學習中的體現(xiàn)，反映出辯證的哲學思想，此方法對現(xiàn)實的數(shù)學教學具有很強的指導性。

關(guān)鍵詞：特殊;一般;哲學;數(shù)學教學

世界上任何事物都處于相互聯(lián)系之中，矛盾的普遍性寓于特殊性之中，并通過特殊性表現(xiàn)出來，該規(guī)律在高等數(shù)學學習上也有指導意義。基于同類問題的最簡單特殊問題與同類復雜問題間的平行的相似性，由最簡單特殊問題研究、概括總結(jié)推廣出同類復雜問題的解決方法。縱觀各年級的數(shù)學學習，都先由特殊的實例概況歸納出本質(zhì)規(guī)律，從而熟能生巧地總結(jié)概括推廣出概念、定理，公式。這些定理、公式可解決同類事物中的所有復雜問題，由小學、初中、高中、大學數(shù)學的學習過程，無不體現(xiàn)出由特殊到一般，再由一般到特殊的規(guī)律。這種規(guī)律和方法具體體現(xiàn)在小學、初中、高中、大學數(shù)學學習的知識點和知識體系上。

一、方程移項原理體現(xiàn)了由特殊到一般，由簡單到復雜的規(guī)律

小學四年級學習了含有未知數(shù)的等式是方程。方程的移項原理是移項時，加變減，乘變除。那么，這樣簡單地推理出移項的本質(zhì)是移項時正運算變反運算。實際上，移項原理也來自于實際生活。物理上，用天平秤物體質(zhì)量時，左物右碼，左邊放物體后，右邊如放1克和2克的砝碼天平平衡時，說明左邊物體的質(zhì)量時3克，可用1+2=3表示。如左邊去掉1克重物，要使天平達到新的平衡，需去掉右邊1克的砝碼。這就相當對上邊1加2等于3的等式兩邊同時減去1，就變成了2=3-1。這也相當于1由等號左邊移到右邊變成減1了。初步說明了移項原理是加變減。同樣，4×2=8的等式兩邊同時除以2，就變成了4=8÷2。這也相當于2由等式的左邊移到右邊乘變除的道理。這都說明等式移項的原理是一種運算變成了它的反運算。

初中的乘方與開方是一對反運算，在等式移項中也能體現(xiàn)。如式1所示，如2的立方等于8，將立方運算由左移到右邊就變成了開立方，即2等于8的開立方。

高中的指數(shù)與對數(shù)是一對反運算，在等式移項中也能體現(xiàn)。如式（2）所示，如2的立方等于8，將底數(shù)2由左移到右邊就變成了開立方，即2等于8的開立方。

大學的微積分也是正反結(jié)合的體現(xiàn)，如式（3）所示，x立方的導數(shù)等于x 的平方的三倍，將導數(shù)運算由等式的左邊移到左邊時，就得到x立方等于x平方的3倍的不定積分。

二、小學、初中、高中、大學數(shù)學學習中的體現(xiàn)

1.小學學習中的體現(xiàn)

圓的周長公式也可由生活中的特殊到一般規(guī)律歸納出來。例如，車輪滾動一周的長度就是周長，如何測車輪周長用圓片試試看，圓片向右滾動一周，用線繞圓片一周可測量出圓的周長與直徑有關(guān)，找3個大小不同的圓片分別測量出園的周長和直徑，做一做，填一填。如下表所示。

測量會有誤差，可多測幾次求平均值，會發(fā)現(xiàn)圓的周長總是與直徑的3倍多一點，從而得出圓的周長除以直徑的商是一固定的數(shù)，稱其為圓周率，用字母表示，計算時常數(shù)取3.14，從而可用圓的周長公式求出所有圓的周長。該例從生活中的簡單的特例概況出圓的周長公式。利用所求不同的圓的周長，這是由特殊到一般公式，再由一般公式到特殊問題的問題。

2.初中數(shù)學學習中的體現(xiàn)

勾股定理的學習可聯(lián)系生活實際，對于任意三角形，只要是直角三角形，它的三邊的長度就為一對勾股數(shù)，反過來，只要一三角形的三邊長互為勾股數(shù)，則該三角形一定是直角三角形。從而總結(jié)出勾股定理。即任意直角三角形中，兩直角邊的平方和一定等于斜邊的平方。由勾股定理可解決不同直角三角形的邊角問題，尤其是從直角三角形的形狀特性可總結(jié)出其性質(zhì)規(guī)律，由勾股定理和直角三角形的性質(zhì)可解決所有直角三角形問題。這是由特殊到一般公式，再由一般公式到特殊問題的問題。

3.大學高等數(shù)學學習中的體現(xiàn)

一曲線通過點（1，2），且在該曲線上任一點（x，y）處的切線的斜率為2x，求這曲線的方程.

上述兩個例子中的關(guān)系式（5）和（6）都含有未知函數(shù)的導數(shù)，它們都是微分方程. 一般地，含有未知函數(shù)及未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程稱為微分方程。微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)。

如果微分方程中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解.不含任意常數(shù)的解，稱為微分方程的特解.如函數(shù)（6）是微分方程（5）的通解，函數(shù)（6）是微分方程（5）的特解。為了從通解中能確定出該問題的特解，需要未知函數(shù)滿足一些附加條件，這類附加條件稱為初始條件。

三、結(jié)論

綜上所述，小學、初中、高中、大學數(shù)學學習中的知識點和知識體系都體現(xiàn)出了由特殊到一般，再由一般到特殊的規(guī)律，這就啟示我們在數(shù)學學習中只有抓住同類簡單特殊問題與一般復雜問題間的相似性，才能由小學、初中、高中的簡單特殊問題的學習和研究，熟能生巧地推廣和概括出大學的一般復雜問題的學習。小學、中學、大學數(shù)學學習中的每一個重要公式、概念、定理都是從生活中簡單特殊的實例總結(jié)概括歸納出來的，由這些基本定理公式又可解決形形色色的同類所有問題。也體現(xiàn)出了由特殊到一般，再由一般到特殊的規(guī)律。只要掌握了從特殊到一般的方法，就能提高學生的自學能力，就能增強教師的教學能力。一般來說，特殊的實例都很簡單，一般問題都很復雜，這種方法也是從最簡單的問題中學會復雜問題的解決辦法，這不能不說是一種智慧。有了這種智慧，不但能學好數(shù)學，也能學會分析和解決新問題的能力。