側(cè)重計(jì)算機(jī)仿真的數(shù)學(xué)物理方程教學(xué)探索

李永利 孫志濱

摘 要：數(shù)學(xué)物理方程主要研究以物理學(xué)和工程技術(shù)中提出的偏微分方程，作為我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的本科專(zhuān)業(yè)選修課。以公式推導(dǎo)為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式，使學(xué)生理解較困難。本文對(duì)數(shù)學(xué)物理方程教學(xué)方式進(jìn)行探索，對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行分離變量得到方程解析解，并利用Matlab數(shù)學(xué)軟件作為輔助教學(xué)手段動(dòng)態(tài)地顯示數(shù)值解的情況，增強(qiáng)學(xué)生的理論與應(yīng)用能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高課程的教學(xué)效率。在本科教學(xué)實(shí)踐中切實(shí)加強(qiáng)計(jì)算機(jī)仿真的地位。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)物理方程;Matlab;分離變量;教學(xué)案例;偏微分方程工具箱

一、課程性質(zhì)及地位

數(shù)學(xué)發(fā)展的兩條清晰軌跡;純理論性發(fā)展，以及與物理等實(shí)體科學(xué)和工程問(wèn)題相結(jié)合的發(fā)展[1]。本課程既數(shù)學(xué)的純理論，又是研究物理等學(xué)科的工具。數(shù)學(xué)物理方程主要研究以物理學(xué)和工程技術(shù)中提出的偏微分方程[2]。其任務(wù)是建立數(shù)學(xué)偏微分方程模型，尋找偏微分方程模型的解，并進(jìn)行理論分析，進(jìn)而達(dá)到解釋與描述物理現(xiàn)象的目的[3]。

數(shù)學(xué)物理方程是為我校理學(xué)院為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科生開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)選修課，也是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)人才培養(yǎng)目標(biāo)的核心課程。其先修課程是數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，常微分方程、復(fù)變函數(shù)與積分變換。該課程也是高校教學(xué)中難度較大、學(xué)生學(xué)習(xí)興趣較低的課程之一。本課程旨在讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)物理方程的概念、求解方法、基本理論，學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，利用Matlab軟件對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行模擬仿真。

本文結(jié)合專(zhuān)業(yè)的教學(xué)特點(diǎn)，遴選重點(diǎn)內(nèi)容，突出課程的應(yīng)用性。數(shù)學(xué)物理方程的解析解求解過(guò)程較為煩瑣，甚至在實(shí)際應(yīng)用中很難得到，且很難直觀地理解解的物理意義。本文嘗試將計(jì)算機(jī)仿真引入到課程教學(xué)中。應(yīng)用Matlab軟件，編程或者利用PED工具箱，對(duì)解進(jìn)行模擬仿真。教學(xué)過(guò)程加入計(jì)算機(jī)仿真的內(nèi)容，能夠切實(shí)加強(qiáng)培養(yǎng)同學(xué)們的數(shù)學(xué)建模能力、編程實(shí)踐能力和創(chuàng)新思維能力。豐富教學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)生的積極性。

二、教學(xué)內(nèi)容

分離變量法是求解數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的基本方法。其基本思想是將多變量的偏微分方程轉(zhuǎn)變成幾個(gè)單變量的常微分方程，逐一求解。利用線性偏微分方程的疊加原理，得到解析解的級(jí)數(shù)形式。主要討論有界區(qū)域上的波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程、泊松方程。涉及簡(jiǎn)單的常微分方程理論的預(yù)備知識(shí)。本文以波動(dòng)方程為例設(shè)計(jì)教學(xué)。

三、教學(xué)過(guò)程

數(shù)學(xué)物理方程的三類(lèi)典型的方程：波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程、泊松方程可以總結(jié)成如下的表示形式：

波動(dòng)方程屬于雙曲型偏微分方程，熱傳導(dǎo)方程屬于拋物型偏微分方程，泊松方程屬于橢圓型偏微分方程。

二維波動(dòng)方程：

考慮膜振動(dòng)問(wèn)題：一個(gè)邊長(zhǎng)為a和b的矩形膜置于x-y平面的第一象限，其中四周被固定，膜的初始位移與初始速度為任意函數(shù)，確定任意點(diǎn)（x，y）在任意時(shí)刻t的位移u（t，x，y），即求解下面的定解問(wèn)題：

MATLAB模擬仿真：

研究矩形膜中心點(diǎn)的振動(dòng)情況，取（x，y）=（12，12），取解析解的部分和，因?yàn)殡S著k，l增大級(jí)數(shù)中的通項(xiàng)遞減，所以起主要作用的是解析解中的前若干項(xiàng)，根據(jù)精確度的需要，選擇合理的項(xiàng)數(shù)。k和l均的求和均選取前30項(xiàng)，MATLAB的模擬過(guò)程，如圖1：

又通過(guò)MATLAB的PDE工具箱，得到本定解問(wèn)題的動(dòng)態(tài)顯示，如圖2為一瞬間的波動(dòng)分布情況。限于篇幅，未列出仿真程序。

四、結(jié)語(yǔ)

在數(shù)學(xué)理論上能夠得到數(shù)學(xué)物理方程的解析解，當(dāng)解析解是初等函數(shù)時(shí)，是可以直接求解，并用計(jì)算機(jī)呈現(xiàn)出精確解。當(dāng)解析解為非初等函數(shù)時(shí)，分離變量法得到的解析解是級(jí)數(shù)形式，通過(guò)選取有限項(xiàng)近似，讓學(xué)生體會(huì)解析解的內(nèi)涵與應(yīng)用。另一方面，實(shí)際計(jì)算模擬中，可能用不到解析解的形式，只用到數(shù)值解的形式，涉及數(shù)值計(jì)算方法，例如有限差分法，有限元法等，需要學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)與探索。數(shù)學(xué)物理方程的求解和數(shù)學(xué)建模以及對(duì)其進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真具有重要意義。

本文主要講授對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行分離變量法求解方程解析解，給出仿真的結(jié)果并能動(dòng)態(tài)地顯示數(shù)值解的情況。仿真模擬結(jié)果能更直觀地顯示解的意義，增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)。學(xué)生可以就本文學(xué)習(xí)波動(dòng)方程的方式，學(xué)習(xí)雙曲型、拋物型、橢圓型方程。

在今后的教學(xué)中還需繼續(xù)進(jìn)行新的探索，使計(jì)算機(jī)仿真在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)揮更大的作用。還應(yīng)意識(shí)到計(jì)算機(jī)仿真不僅存在《數(shù)學(xué)物理方程》教學(xué)中具有重要意義，而且在其他許多學(xué)科教學(xué)中也應(yīng)該加強(qiáng)計(jì)算機(jī)仿真的重要作用和地位。

參考文獻(xiàn)：

[1]顧樵.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：科學(xué)出版社，2018.

[2]姜禮尚，陳亞浙，等.數(shù)學(xué)物理方程講義（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]季孝達(dá)，薛興恒，等.數(shù)學(xué)物理方程（第2版）[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

作者簡(jiǎn)介：李永利（1990—），女，漢族，河北邯鄲人，碩士，助教，研究方向：偏微分方程數(shù)值解。