聚焦知識新內核 提高復習有效性

蘇建強

摘? ? 要：復習課應基于學生學習實際，聚焦所復習知識的“新內核”，以點帶面地促進學生有序思考，并在“何由以知其所以然”的探究中，不斷“反芻”并形成問題解決的一般思路，以提高復習的有效性.

關鍵詞：復習課;新內核;轉化

復習課不同于新課，教師應努力將學生大腦中點狀的知識網絡化，并聚焦知識的核心，在問題解決中幫助學生形成“四通八達”的思維通道和解決問題的一般套路.在實際操作中，教師常疏于對所復習內容的深入分析，把復習課變成“炒冷飯”式的新課.為此筆者有意做了一些探索，現以“圓的基本性質復習”為例說說自己的思考和實踐.

一、基于學生學習實際? ?確定知識新內核

要使復習課更有效，首先要明確的是“學生會些什么”“復習重點是什么”.在“圓的基本性質復習”之前，學生經歷了三角形、特殊三角形、四邊形、特殊四邊形、圓等概念的形成及其性質的探究與應用過程，學生的空間想象、幾何直觀、邏輯思維能力得到較大的發展.同時學生還積淀了從“一般到特殊”對一個基本圖形進行研究的思路;明確了對一個新圖形的性質進行研究時，重點在于它區別之前所認識的圖形特殊之處.例如等腰三角形區別于一般三角形的特點在于它的對稱性，直角三角形在于它三邊間的數量關系即勾股定理，特殊四邊形在于它的中心對稱性.像這些基本圖形所具有的新的特殊性質，我們稱為該圖形的“新內核”.圓的基本性質主要體現于軸對稱性及圓繞著它的圓心旋轉任意角度后都和原圖形重合的特性（簡稱“旋轉重合性”）.顯然，圓的“新內核”就是“旋轉重合性”，因為圓的軸對稱性多可轉化為等腰三角形問題解決.

二、聚焦知識新內核? ?有效組織課堂教學

（一）復習回顧，鎖定新內核

復習課伊始，教師要求學生在準備好的圓中分別畫出符合條件的圖形，并結合所畫圖形說出能得到的信息：在⊙O中，直徑EF垂直弦BC于點D.在⊙O中，A為優弧BC的一點，連接OB，OC，AB，AC.

教師：若把大家剛畫的兩個圖結合在一起（如圖1），請找出圖中相等的角.

眾生：∠A=∠BOD=∠COD，∠OBD=∠OCD …

教師組織學生動手畫圖并看圖說話，一方面努力激活學生已有的學習經驗，另一方面通過對各種感官刺激提高學生學習的有效性.學生容易解決單一知識點問題，但對多知識點的綜合型問題卻常無從下手.由此教師在設計中把圓的軸對稱性和旋轉重合性應用問題結合起來，在對基本性質復習的過程中，促使學生感知圓心角不僅是圓周角與弧之間聯系的紐帶，還是圓的軸對稱性與旋轉重合性間的橋梁，從而鎖定圓中角的關系即旋轉重合性才是研究的重點，也為學生進一步解決實際問題提供了先行組織者.

（二）由表及里，再認新內核

由對單一知識點的復習轉入對多知識點綜合問題的探究后，教師水到渠成地提出：

如圖2，已知銳角三角形ABC內接于⊙O，OD⊥BC于點D，連接OA.點E在線段OA上，OE=OD，連接DE，設∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m，n是正數）.若∠ABC<∠ACB，求證：m-n+2=0.

教師：要研究m，n間的關系，m，n與條件中的什么量有關呢？

學生1：m，n和∠B，∠C，∠OED有關.

為了說明方便，教師引導學生設∠OED=α，則∠ABC=mα，∠ACB=nα.

教師：若把m，n轉化成角來研究，就是要證明什么？

學生2：在m-n+2=0兩邊都乘以α，問題就轉化成探究圓周角∠B，∠C的關系了.

教師板書“mα-nα+2α=0”，即“∠B-∠C+2α=0”.

經過嘗試分析與問題解決，教師引導學生開啟探索“何由以知其所以然”模式.

學生3：由前面的分析，作OF⊥AC于點F（如圖2），那么∠B就可以換成∠AOF，都等于mα（學生指著黑板上的圖形，一邊標注一邊解釋）.

教師（自言自語）：利用垂徑定理，圓周角和圓心角的關系，轉移了∠B的位置.

學生4：在△OED中，因為兩底角為α，所以∠EOD=180°-2α，∠DOF=180°-2α-mα.在四邊形ODCF中，由四邊形內角和性質知結論成立.

教師（自言自語）：把分散的條件集中到四邊形中.

學生5：因為在△OAF中，∠OAF=90°-mα，所以在四邊形ODCA中同樣可證結論成立.

教師（自言自語）：把分散的條件集中到四邊形中使問題得以解決，那么集中到三角形中可以嗎？

深度有效的學習不僅僅在于“知其所以然”，而應刨根問底直至明確“何由以知其所以然”.教師在課堂中引導學生對“m，n和∠B，∠C，∠OED有關”的分析，意在突出研究問題的一般思路，建立“未知”與“已知”的聯系，并將抽象的“數”的問題轉化成具體的“形”的問題研究.又因為∠B，∠C與∠OED在物理位置上相距“甚遠”，所以有必要借助圓的旋轉重合性將其距離“拉近”，集中到四邊形中使問題得以解決，并順其自然地提出能否將問題轉化到三角形中解決.學會學習，學會思考，往往就啟航于教師這樣的“自言自語”.新的解法也許就此誕生：延長AO交BC于G，∠GOD=2α，則∠AGC=90°-2α，在△AGC中利用三角形內角和定理可證結論成立.同樣在△ABG，△EDG中也可以完成問題的解決，于是3種、5種、10種方法自然產生.

教師：在m-n+2=0兩邊都乘以α ……（正當此時，有學生舉起了手）

教師中斷了自己的講述，并引導學生共同分析.

學生6：還可以在m-n+2=0兩邊都乘以2α，這里的2mα， 2nα可表示∠B，∠C所對[AC]，[AB]的度數.

教師：還是將數量關系轉化成圖形間的關系.

學生7：由圓的軸對稱性知，[BF]=[CF]（如圖3），則有[BF]=[AB]-[AF]，[CF]=[AC]+[AF].又因為∠AOF=∠OED+∠ODE=2α，即[AF]=2α.于是2nα-2α=2mα+2α，所以結論成立.

眾生：這么簡單！

教師：厲害！將相關條件集中到圓弧上，再把圖形關系轉化成數量關系.

學生8：老師，我明白了！為什么這里會出現4α？因為原本相等的兩段弧[BF]，[CF]，當點F沿著圓弧移到點A，相當于[BF]增加了2α，同時[CF]減少了2α.

見眉頭緊鎖的學生不在少數，教師示意學生8再次解釋自己的發現.轉瞬間，教室里又開始鬧騰起來，甚至有學生拍著桌子感嘆道“原來是這樣！”

學生9：其實，這個題也可以把條件集中到等腰三角形FBC中，利用∠ACB-∠ACF=∠ABC+∠FBA，得nα-α=mα+α.

教師：直接利用圓周角間的關系，就事論事.

圍繞圓的旋轉重合性，學生將圓周角轉換位置或轉化成圓心角、弧后，把條件集中到三角形、四邊形中，也可以將條件集中到弧或周角上使問題得以解決.期間，圓的旋轉重合性所體現的變換圓周角呈現形式的功能也就凸顯出來了.精彩的課堂教學，往往源于學生的奇思妙想和教師對課堂的精準把控.學生8的出現讓原本不平靜的課堂再次掀起波瀾，真是一波未平又起一浪，所求等式中“2”的來由也就一眼望穿.圖形中F點的移動打破原本的平衡，因為“2”的出現又促使平衡重新建立.

（三）從經驗到方法，拓展新內核

課堂教學終有曲盡人散之時，留下的一定是那些值得細細品味的思考.最后教師引導學生從問題解決的經驗出發，歸納梳理得此類“新內核”問題解決的一般思路：

1.結合所求結論與已知條件找聯結點，變數為形;

2.借助圓周角定理變換角的呈現形式，化分散為集中;

3.利用數量關系刻畫圖形間位置關系，變形為數.

三、反思教學實踐? ?提高教學設計有效性

復習課與新授課區別在于：點上的突破與面上的思考.如何讓無序的思考變得有序，找到連接已知條件到所求結論之間的橋，將授之以“魚”變成授之以“漁”.

（一）激活已有知識，凸顯知識新內核

學習最近發展區理論表明，復習課的展開應基于學生已有知識和能力.因而，教師在課前須對學生已有的知識儲備、能力積淀了如指掌，并對所復習內容做出深入細致的分析，確定所復習內容的新內核.在課堂中，主要表現在教師通過復習回顧激活學生的已有知識，并通過簡單的練習、綜合應用明確研究對象.在課例中，教師以學生的兩次畫圖并“看圖說話”引入新課，意在通過學生的動手操作與觀點“眾籌”激活學生已有知識，調動學生多感官參與課堂學習.而在圓的軸對稱性中引入角的探討，意在引出并強化本節課復習的重點，即“圓的旋轉重合”的特性，為接下來的復習指明方向.

（二）聚焦核中核，舉一反三突出重點

考慮問題面面俱到是一種良好的思維品質，而聚焦核心是提高效率的主要策略.圓的旋轉的重合特性是區別于之前所學圖形的本質特征，這一特性集中體現于圓周角定理.在圓心角的學習中，通過圓心角與弧間對應的位置關系，將1°的圓心角所對的弧稱為1°的弧，從而建立起圓心角與弧間的數量關系，突破了不同類圖形間的“楚河漢界”.再者，通過三角形內外角的關系探索得到同一條弧所對的圓周角和圓心角間的數量關系，由此可得圓心角在圓周角與弧之間的橋梁作用.因而抓住了圓心角這一“核中核”，問題解決的思路也就明朗了：可將圓周角轉化成圓心角或圓心角的一半，也可將圓周角轉化成弧使問題得以解決.在問題解決中，教師引導學生在不斷地“反芻”中形成有序思考的習慣.

（三）數形結合巧轉化，以退為進破難點

直面問題是一種為人處世的態度，以退為進是問題解決的一種策略.問題呈現的背景往往是錯綜復雜的，厘清脈絡并化繁為簡的過程就是問題解決的過程.很多時候，一味地追求勢如破竹式的解題速度往往適得其反，這時更需要教師帶著學生靜下心來分析問題中隱含的信息，甚至以退為進提高復習的有效性.要證明數量間的關系m-n+2=0，先退一步將其轉化為“∠B-∠C+2α=0”研究具體的角度問題，最后利用圓的基本性質將相關條件集中到基本圖形中，利用三角形、四邊形內角或弧度間的數量關系使問題得以解決.