關(guān)于留數(shù)定理的教學設(shè)計與實踐

徐彬

摘要：留數(shù)定理是留數(shù)理論的基礎(chǔ)，它為某些類型積分的計算提供了極為有效的方法，是教學中的重點也是難點。本文從定理的引入、定理的理解、定理的應(yīng)用三個方面對留數(shù)定理的教學設(shè)計進行探討，并在教學中付諸實踐，旨在充分調(diào)動學生學習的積極性，引導(dǎo)學生理解定理內(nèi)涵，達到學以致用的目的。

關(guān)鍵詞：留數(shù)定理;教學設(shè)計;教學實踐

留數(shù)定理是《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程中非常重要的一個定理，是教學中的重點也是難點。留數(shù)定理是留數(shù)理論的基礎(chǔ)，柯西-古薩定理、柯西積分公式都是留數(shù)定理的特殊情況。應(yīng)用留數(shù)定理可以把計算沿閉曲線的積分轉(zhuǎn)化為計算在孤立奇點處的留數(shù)，應(yīng)用留數(shù)定理還可以計算一些定積分和廣義積分，其中有些積分，在高等數(shù)學中已經(jīng)計算過，但計算時比較復(fù)雜，用留數(shù)理論可以在分類后作統(tǒng)一處理，所以留數(shù)定理在作理論探討與實際應(yīng)用中都具有重要意義。

本文結(jié)合筆者自身的教學實踐，不斷總結(jié)多次教學中的優(yōu)缺點，從定理的引入、定理的理解、定理的應(yīng)用三個方面探索留數(shù)定理的教學方法，幫助學生更好地理解這部分內(nèi)容，達到靈活應(yīng)用的目的。

1關(guān)于留數(shù)定理的引入

學生在之前的學習過程中已經(jīng)掌握了一些求復(fù)積分的方法，如：參數(shù)方程法、牛頓-萊布尼茲公式、柯西-古薩定理、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、復(fù)合閉路定理等，這些方法可以解決一些復(fù)積分的求解問題，但是遇到下面的問題，以上方法就沒辦法解決了。

例1：計算

在教學的過程中，可以先給出例1，采用啟發(fā)式教學，請同學們先思考這個積分如何去求解，用之前學習過的求解復(fù)積分的方法是否可以解決，學生通過積極思考發(fā)現(xiàn)這個問題用學過的方法沒辦法解決，這個時候可以告訴同學們將學習一種新的方法解決以上問題。接下來的教學環(huán)節(jié)，逐步引入留數(shù)的定義、留數(shù)定理以及用留數(shù)定理具體計算積分，學生帶著問題去學習新內(nèi)容有助于激發(fā)學生的學習興趣，更好的理解定理的內(nèi)容和應(yīng)用。

2留數(shù)及留數(shù)定理

定義1 如果z₀是f（z）的孤立奇點，函數(shù)f（z）在區(qū)域0<|z-z₀|0