類比引領 對比推進 整體構筑

【摘?要】統整課程資源，立足單元起始，規劃課程設計，整體構筑整個單元的內核體系，細化課時分配。在以上的統攝中，借力類比與對比，先行組織、開山引路，在整體化教學設計中，開啟不等式的教學歷程，通過“現實生活蘊不等”“等與不等共相生”“遷移之中遇尷尬”“不等求解亦從容”“師生共話等不等”五個環節構建章起始課的版圖，為深度學習開辟場域。

【關鍵詞】類比;對比;不等式;章起始課

【作者簡介】邢成云，正高級教師，全國“萬人計劃”教學名師，全國“雙名工程”領航人選，山東省特級教師。

【基金項目】山東省濱州市名師工作室專項課題“全息教學論下初中數學章起始課的教學研究”（BZMZZX18-31）;山東省社科聯人文社會科學課題（基礎教育專項）“‘快慢相宜的整體化教學模式之延伸研究”（16-ZX-JC-37）

目前，課程改革已步入深水區，人們的觀念不斷更新，但無可諱言，碎片化、割裂式的教學現象仍然存在，即使有了觀念性認識，具體教學仍難以落地。前后貫通不暢、整體規劃缺失，從一定程度上影響了學生的深度學習。為此，筆者帶領工作室成員對章起始課做了探討，并以人教版初中數學七年級下冊的“不等式與不等式組”章起始課為例進行教學嘗試，以期引起同行的關注，共同“尋真問道”。

一、統觀資源，整體規劃

（一）對章前語與章頭圖的解讀

章前語，是對本章內容的統領，是本章學習的序幕，從整體的角度揭示了本章的內涵。本章前語雖短（大約260個字符），章頭圖也只是一個商場版圖附一個不等式，但意義深遠，內涵豐富。通過研讀、品味，筆者獲得以下認識。

1.內容清晰，目標明確

章前語簡短的幾句話，明確了本章將要研究的幾個方面：認識不等式，討論其性質，學習一元一次不等式（組）的解法，在實際應用中感受不等式（組）的重要作用和意義。

2.等與不等，對立統一

對立統一的辯證關系在現實世界中普遍存在，它們相克相生的辯證思想為后繼研究“變量與函數”做了孕伏。

3.數學建模，抽象思維

數學問題源于生活實踐，其解決的方法又服務于生活實踐。這彰顯出數學學習的現實意義，其目的是引導學生在“學以致用”中領會“以用致學”，激發和驅動學生的探究欲望。而不等式（組）是解決實際問題常用的數學模型，需要抽象思維的支持，其基本思路類似于方程模型的構建。

4.類比引路，一脈相承

用不等式（組）處理不等關系問題的思路類似于用方程（組）研究相等關系問題的思路，二者一脈相承，但需要注意分析二者的異同。

（二）對教材正文及附件的解讀

“不等式與不等式組”是初中學段唯一的一章關于不等式的內容，在人教版初中數學教材中，它作為第九章被安排在“二元一次方程組”之后，這是基于關聯性的設置。當然本章教材內容的呈現遵循了《義務教育數學課程標準（2011年版）》的設定原則，將其分成三節。第一節是“不等式”，主要是不等式內容的通識，需結合具體問題，落實對不等式意義（包含不等式模型的建立，不等式的概念、作用、價值、模型思想等）的了解和對不等式基本性質的探索。第二節是“一元一次不等式”，主要學習其解法與應用，能用之解決簡單的實際問題，以及能在數軸上表示出不等式的解集，反扣并深化了第一節的內容，同時為第三節用數軸確定一元一次不等式組的解集做鋪墊。第三節是“一元一次不等式組”，核心內容是其解法，在化歸思想主導的求解過程中，進一步鞏固一元一次不等式的解法[1]。

另外，第一節后附有“閱讀與思考?用求差法比較大小”，通過閱讀的形式介紹了“作差比較”這一重要方法。其實它等價于不等式的性質1，但是用了顯性化的方式，用起來會更方便。還有，章末有一個“數學活動”，包括兩個活動。活動1為借助資料，用一元一次不等式解決實際問題，可提高學生捕捉信息、利用信息的數學建模能力以及“四能”的綜合，在這一過程中獲得數學活動的基本經驗。活動2以游戲的形式，通過嘗試，滲透窮舉法以拓寬學生的視野，或者從不等式的角度構建不等式組模型并借助正整數解進行綜合分析，以此加深對不等式意義的理解。以上這些素材凸顯了數學核心素養的培養要求，對學生來說是一種挑戰。

通觀整個單元，從字里行間挖掘出隱匿于教材中的思想方法：類比思想、化歸思想、建模思想、數形結合思想、作差比較法等。這些思想方法都需要教師的提煉與滲透。

（三）對本章起始課的叩問與全章的規劃

整合以上認識，綜合章建躍先生給出的課程意識[2]闡釋，用以下四個問題叩問本章的起始課教學。

1.不等式的章起始課該教什么？

首先確定內容，包含章前語、章頭圖和第一節的內容，并搭建單元框架。

其次考慮學生已有的知識和經驗，既要關注不等式相關概念及性質的教學，也要關注不等式與方程之間類比、遷移的教學。在類比與對比中統攝全章，不僅要讓學生學習新知，掌握有關的概念，而且要引導學生掌握類比的方法，發展遷移的能力。

2.本節課能發揮怎么樣的育人功能？

記憶會忘記，技能會生疏，唯有沉淀下來的數學思想、理性精神、意志品質等才能在以后的學習生活中發揮作用。這就是我們常說的“能剩下來的東西、可帶走的東西、能再生的東西”，這才是育人的根本。方程（組）和不等式（組）分別是研究相等關系和不等關系的數學工具，二者既有聯系又有差異，尤其在知識結構上十分類似，這些都給我們育人以導向。類比和對比的遷移路徑，數學建模的思路，化歸的思想意識等是本節課應該發揮的育人功能。

3.如何教好這節課？應采取怎樣的教學策略？

本章起始課的學習應通過回顧學習方程的歷程，激活學生已有的經驗或研究方法，類比方程的研究思路，用類比猜想、歸納概括等手段展開教與學的活動。在這個過程中初步體會研究數學問題的一般方法，形成策略性知識，進一步強化學生研究問題的遷移意識。這就相當于重組本章的教學內容，整體構建知識體系。

4.這樣教在多大程度上實現了育人功能？

教師這樣教使零散碎片式的教學變為單元整體化的構建式教學，是“見木更見林”的教學，是指向深度學習的教學。它具有連貫性、結構性和系統性的理性之美，既可以實現數學文化知識的代際傳承，也可以實現培養人、發展人的育人宗旨。

綜上所述，對全章的規劃是在宏觀策略的引領下，立足整體，基于教材統整，解構并重構教材單元，采用類比的方式，充分發揮正向遷移的作用，引導學生利用舊知獲得新知。以下是對本章單元教學的具體規劃。

第1課時：不等式及其解集的概念、不等式的性質及用之解簡單的一元一次不等式，并搭建起整章的結構體系（類比、對比等式或方程系統）。

第2課時：一元一次不等式的解法及應用（類比一元一次方程系統）。

第3課時：一元一次不等式組的解法（類比二元一次方程組系統）。

第4課時：小結與復習（彰顯類比、對比方法，鞏固已學知識）。

第5課時：評價課（從A、B、C三組層級式評價）。

第6課時：分析課（對應A、B、C三組的相應分析）。

在這樣的具體規劃下，筆者進行了教學嘗試，并取得了較好的教學效果。以下是第1課時的教學設計。

二、立足起始，整體統攝

（一）教學目標

（1）理解不等式及其解集的概念，會辨識不等式，能區分不等式解集、不等式的解與方程解的異同;

（2）經歷探索不等式性質的過程，能說會用，并深入領會不等式的性質3;

（3）厘清不等式學習的“基本路徑”，構建統攝整個單元的結構，形成整體版圖，為后續不等式具體內容的學習做好鋪墊。

（二）教學重難點

（1）教學重點是不等式解集與不等式性質的學習;

（2）教學難點是類比之下不等式的性質3的順應與調整。

（三）教學過程設計

1.現實生活蘊不等

師：在現實生活中，遍布著數量關系，既有大有小，也有多有少，同類量之間或相等或不等，大家請看以下幾個問題。

問題1：若用a表示姚明的身高，用b表示你的身高，則a、b的關系可表示為。

（a>b）

問題2：天氣預報說，今天最高氣溫28℃，設今天的氣溫是x℃，則可以得到什么樣的數學式子？若最低氣溫是21℃呢？

（x≤28，x≥21）

問題3：如圖1，這塊標志牌上的40表示什么意思呢？

圖1

生：表示汽車行駛的速度不能超過40?km/h。

師：對，這是公路上對汽車的限速標志，表示汽車在該路段行駛的速度不得超過40?km/h。

師：如果你是司機，在遵守交通法規的前提下，你會開到多少速度？

（學生說出一些數值，如39、38、37等。）

師：若用v?km/h表示汽車的速度，那么可用怎樣的式子表示？

（有些學生寫出的是等式，教師通過追問“只有這些速度才算是遵守交通法規嗎？”引發學生思考。實際上有無數個數值均符合題意，并得出這些數值的共同特征：v≤40。）

可見，現實生活中涉及不等式模型的問題比比皆是。用不等號“<”“≤”“>”“≥”“≠”連接而成的數學式子，叫作不等式。

三個問題源于學生熟悉的現實生活，使他們親身經歷了將實際問題抽象成數學問題的過程，具身感知身邊處處有數學，提高學生的參與度，真正使學生成為學習的主體。

2.等與不等共相生

師：我們已經認識了等式，現在到不等式現身了，二者共生，相互為用。請同學們設想一下，下一步我們要學習不等式的哪些內容？

生：不等式的概念、解（解集）、性質、應用等。

師：你為什么做出這樣的設想呢？是基于什么而想到的？

生：我由等式（方程）的系列知識想到的。

師：這位同學說得很好，其實這就是類比，等與不等共相生。那我們就借助等式（方程）這一跳板，一起學習不等式的相關知識，同學們在大膽猜測的同時也要細心論證。

類比之下依次獲得如下概念。

（1）類比方程的解，得出不等式的解。把使不等式成立的未知數的值叫作不等式的解。

（2）通過追問不等式的解的不唯一性，對比方程的解，調適機械類比生成的不等式的解集。一個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。

（3）解不等式。求不等式的解集的過程，叫作解不等式。

師：我們知道數學語言有三種形態：符號語言、文字語言、圖形語言。關于不等式“x≤3”，這是什么形態？用其他形態如何表達？

生：這是符號語言，用文字語言可表達為：x小于或等于3，但是用圖形語言不懂怎么表達。

師：其實我們可以用類比方程的方法。x=3在數軸上可表示為如圖2所示，x≤3指比3小的數，也就是在3的左邊，在數軸上可表示為如圖3所示。

圖2

圖3

師生總結：由于方程的解可以用數軸上的點表示出來，通過類比，得出不等式的解集也可以在數軸上表示出來，它所對應的圖形可能是射線等，具體如何在數軸上表達就用以上約定俗成的方式。

繼續類比等式的性質（內容略），獲得如下猜想。

不等式的性質猜想1：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變;

不等式的性質猜想2：不等式兩邊乘（或除以）同一個數，不等號的方向不變。

用類比的方式喚醒學生，引發學生回顧舊知，激活新知儲備。類比是數學的引路人，用好類比就等于用好了經驗，在宏觀上展現了“教結構—用結構”的基本思想，使我們的探索有了方向和停靠點，有路可循、有規可依。

3.遷移之中遇尷尬

師：有了前面獲得的直接寫出不等式解集的經驗，你能寫出以下不等式的解集嗎？

（1）x+2>3;（2）2x<6;（3）-3x<12;（4）5-2x>1。

學生活動：（1）借助不等式的性質猜想1，得x>1，答案正確;（2）借助不等式的性質猜想2，得x<3，答案也正確;（3）和第（2）題方法相同，得到x<-4，答案不正確，至此矛盾就出來了，若學生發現不出矛盾，可通過列舉特殊值給出反例，用對比的方式引起學生的自醒，引出對不等式的性質猜想2的質疑。

由此，不等式的性質猜想2分化成兩條：

（1）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變;

（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

驗證1：工具——數軸

我們已經知道任何一個實數都可以在數軸上用點表示出來，其大小一定，在數軸上的位置就固定。若兩個實數分別加（減）同一個數，就相當于均向右（左）平移同樣的單位長度，故它們的大小順序不變，以此對等式的性質1做出證明。若兩個實數分別乘以同一個正數，根據乘法的意義即特殊的加法，可推知兩個實數都連續地按同樣規律移動，大小順序也不變，至于同除以同一個正數可統一成乘法，不等式的性質2得到證明。對于同乘同一個負數，可化為同乘同一個正數的狀態，然后借助數軸上相反數的表示即可解釋。不論原來的兩數性質如何，同乘同一個負數后順序恰好與原來相反，如此就驗證了不等式的性質3。（說明：若學生對這一工具認識不足，可避開這一方法的使用）

驗證2：選有代表性的數通過驗證做出說明（略）。

至此，不等式的性質得以驗證，歸納如下。

不等式的性質1：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變;

不等式的性質2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變;

不等式的性質3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

用符號表達如下（數學語言形態的轉化）。

不等式的性質1：如果a>b，那么a±c?>b±c;

不等式的性質2：如果a>b，c>0，那么ac>bc（或ac>bc）;

不等式的性質3：如果a>b，c<0，那么ac

在遷移過程中通過求解發現，在不等式兩邊同乘（或除以）同一個負數時，出現意外，從而發現端倪。不等式的性質猜想2出了問題，打破了學生原有的認知平衡，需要建立新的認識理順這種不和諧的關系，在順應中落實分化出不等式的性質3的教學，最后同化到學生的認知結構中去。可見，通過類比，學生可以學習相似或相通的知識，但是相似或相通的知識之間往往有差異，所以類比之后一定要通過對比凸顯差異，并進行合理的調適、順應。這其中滲透了批判性思維。

4.不等求解亦從容

師：我們通過類比獲得猜想，通過驗證調整了先前經驗，得到規范的不等式性質，這樣再求不等式的解集就有了可靠的依據，試求解下面的題目。

解不等式：（1）2x<3x+1;（2）2（x-1）>3;（3）x-12≤1。

（學生嘗試解決，完成后，教師提出問題。）

師：這些不等式有什么共同特點？你能給它們起一個名字嗎？

（學生活動，達成共識。）

師生總結：類比一元一次方程，給出一元一次不等式的概念。只含一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫作一元一次不等式。

通過求解進一步鞏固不等式的性質，在求解完成后，教師通過追問的方式讓一元一次不等式的概念在類比中自然落地。

5.師生共話等不等

（1）等式與不等式的區別與聯系有哪些？

（2）等式性質與不等式性質的區別點在哪？

（3）整個學習過程中用了哪些數學思想和方法？

通過問題清單的形式，教師引導學生回顧課堂所學，形成結構圖（如圖4）。

圖4

此環節的設計是用問題清單的形式突出核心知識，用結構圖展示知識體系，形成呼應之勢，便于學生理解與記憶。

三、反思評價

（一）基于整體，跨步構筑

整體的構筑依賴于對教材的統整。關于解讀教材，筆者從解構走向重構，整合相關資源，形成新的單元結構。關于統整，從知識角度來說，就是聯系，從而形成知識組塊。它不是將教材中的知識分解成一個個孤立的知識點讓學生去學、記、用，而是認真研究教材、通透教材，弄清知識的背景、內涵及其延展性。從而掌握教材的內容體系以及編寫意圖，不拘泥于教材的順序或習慣設定的課時，敢于打破常規、另辟蹊徑，大跨度推進教學進程。這期間可暫不苛求知識的深與透，淡化夯實雙基，但要關注思想方法的滲透與植入，重在思維，重在發展，重在先行組織，重在形成結構。

（二）類比是引路人，對比是調節器

等式與不等式相輔相成，和諧共生。等式（方程）是研究等量關系的工具，而不等式是討論不等量關系的工具，二者相互照應，互補共生。基于它們的內在聯系，可使用類比的方式，借力“同化與順應”，實施本章起始課教學，并力圖用6個課時完成本章的學習任務。這就是全息論下整體化教學策略的具體實施。

整節課，以類比為主線展開探究活動。類比是筆者研究的全息論下整體化教學強有力的推手，通過類比，提出猜想，再驗證猜想，它是發現問題的源泉。但類比作為合情推理其結果未必正確，還需要通過對比把問題、困惑擺出來，在認知沖突中凸顯偏差認知，強化異中有同、同中存異的辯證之識，調適類比朝著正確的航向前進。因此，類比之下常常需要“同化與順應”聯手進行遷移。如本文基于等式性質聯想到不等式性質的教學，其中不等式的性質1較順利地同化到原有認知圖式中去，但不等式的性質2打破了原有的認識平衡，通過調適，順應到學生的認知結構，達成新的認識平衡。在與方程的求解對照中，進一步體悟類比的思想，使之能積淀到后繼學習的經驗，為遷移蓄能，進而獲得學習智慧，提升元認知能力。

參考文獻：

[1]?中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]?章建躍.樹立課程意識?落實核心素養[J].數學通報，2016（5）：1-4.