高中數學課堂中培養學生直觀想象素養的研究

梁楨楨

【摘要】直觀想象素養是教育部提出的核心素養內容之一，在數學的學習中有著非常重要的作用，落實核心素養培養的主陣地是我們的課堂，教師在課堂中創設合適的教學情境、學習活動等，將直觀想象素養的養成滲透到課堂教學中，文章以“拋物線及其標準方程”的教學設計為例，闡述如何在高中數學課堂中培養學生直觀想象的核心素養。

【關鍵詞】直觀想象素養? ?數學課堂? ?拋物線? ?培養

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）31-065-03

在六大核心素養中，直觀想象素養是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。直觀想象建立起了數與形的橋梁，隨著時代的發展，在教學中，對提升學生直觀想象素養也提出了更高的要求。現在高中生利用直觀想象能力解決實際問題的能力非常有限，所以我們要重視學生直觀想象素養的培養，落實核心素養培養的主陣地是我們的課堂，在數學課堂上如何將培養直觀想象素養落在實處？這是一線教師都非常關心的問題，本文以人教A版《數學》（選修2-1）“拋物線及其標準方程”（第一課時）教學設計為例，闡述如何將培養直觀想象素養落實在高中數學課堂。

一、創設合適的教學情境，提升數學素養

活動1：直觀感知生活中的拋物線。（1）圖片展示：上海盧浦大橋、彩虹、噴泉、衛星接收天線。（2）動畫演示投籃時籃球的運行軌跡是拋物線。

設計意圖：通過生活實例，吸引學生注意力，讓學生直觀感知生活中的拋物線，并認識到學習拋物線的重要性，激發學習熱情。

活動2：理性思考數學中的拋物線。老師先讓學生回憶二次函數圖象，如y=x2，y=ax2+bx+c（a≠0）等圖象是怎樣的，接著提出問題，為什么一元二次函數的圖像是一條拋物線？

活動3：利用幾何畫板演示不同開口朝向、大小的拋物線，讓學生觀察，并提問：這些都是拋物線嗎？為什么？

設計意圖：活動2和活動3通過問題的引入激發學生的學習欲望，明確我們需要用拋物線的定義來判斷，理性思考數學中的拋物線。幾何畫板的演示讓拋物線“活”了起來，避免學生對拋物線開口死板的感性認識。

剖析：彩虹、噴泉體現了自然之美，上海浦東大橋、衛星接收天線又體現了人類的智慧，籃球更是本班男生的至愛，現實情境的引入，讓學生感受數學與生活的聯系，熟悉的情境能迅速吸引學生的注意，進而調整好狀態進入課堂的學習。因此教師在數學課堂中要重視創設合適的教學情境，學生的內心被觸動了，會更積極動腦進行類比歸納總結，挖掘數學本質，為進一步上升到理論認識做準備，這一過程也同時提升了學生的直觀想象素養。

二、合理運用現代信息技術，培養直觀想象素養

活動1：幾何畫板動態演示拋物線的形成過程。教師一邊利用幾何畫板演示拋物線的作圖過程，一邊介紹作圖規則。用《幾何畫板》作圖，如圖1，點F是定點，l是不過點F的定直線，H是l上任意一點，過點H作l的垂線MH，作線段FH的垂直平分線m，MH與直線m交于點M。拖動點H，觀察點M的軌跡，思考點M滿足的幾何條件。

設計意圖：拋物線的畫法較為復雜，可以通過幾何畫板動態演示，讓學生直觀觀察拋物線的形成過程，使他們真正看到了“軌跡”，這樣易于理解，記憶深刻，這種直觀、生動的教學是化靜為動的變化過程。能將復雜問題簡單化，有助于學生提升直觀想象素養。

活動2：歸納總結拋物線的定義與對定義的解讀。

師：能結合剛才的演示給拋物線下個定義嗎？

生：到一個定點F與到一條定直線l距離相等的點的軌跡.

師：那定點F和一條定直線l的位置關系如何？點F能在直線l上嗎？

生：（有點遲疑）有學生回答不能。

師：為什么？若點F在直線l上，平面內滿足條件的點的軌跡是什么呢？

生：若點F在直線l上，則軌跡為過定點F垂直于直線l的直線l'.

師生共同歸納定義：平面內與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）距離相等的點的軌跡叫作拋物線。點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。

設計意圖：以學生為主體，讓學生觀察拋物線的形成過程，并找到其幾何特征，進而歸納定義，著重培養學生分析、歸納等能力，并加深學生對拋物線定義中的條件“不過”的理解，培養學生的嚴謹。

剖析：教師利用幾何畫板演示拋物線的作圖過程，直觀生動，也利用學生自己歸納拋物線的定義。北京師范大學教育學部課程與教學論研究院張瑜教授提到：“直觀想象是實現數學抽象的思維基礎，是人在思維的過程中逐漸形成的思想方法和思考能力”。在教學中教師合理運用現代信息技術，讓學生直觀的感知，有助于將復雜問題簡單化，同時讓學生體會圖形動靜變化過程，從而找到解決問題的本質和思路，促進直觀想象素養的發展，同時這一過程也是直觀想象到數學抽象的升華。

三、引導學生增強數形結合意識，推導數學問題

活動1：拋物線方程的推導。

師：根據拋物線的定義，怎樣探究出拋物線的方程？現在我們已知一定點F和一條定直線l。

生：根據求曲線方程的步驟：建系—設點—列式—化簡。

師：很好，那怎樣建系？如何建系更合理？

生1：過點F且垂直于直線l的直線為x軸，準線所在直線為y軸建系（如圖2）

生2：過點F且垂直于直線l的直線為x軸，過F點作垂直于x軸的直線為y軸建系（如圖3）

生3：過點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，以KF的中垂線為y軸建系更為簡單（如圖4）.

師：同學們積極思考，充分討論，我們找到的建系方法共有三種，我們現在的任務就是分別求出不同建系方法下的拋物線方程，接下來我們分小組完成。

匯總這三種建系方式下的拋物線方程依次為：y2=2px-p2，y2=2px+p2，y2=2px，不難得出第三種建系方式下的拋物線方程最簡潔，因此第三種建系方式最好。所以我們得出了開口向右的拋物線的標準方程為y2=2px，其中把定點F（? ?，0）叫作拋物線的焦點，定直線l：x=-? ? 叫作拋物線的準線。

設計意圖：教師通過引導，鼓勵學生自主探索，小組合作交流，充分體現了學生的主體地位，學生分工求出三種建系下的方程，充分展現了知識形成的過程，學生動手實踐，并進一步體會建立恰當的坐標系對方程形式的積極意義，為標準方程的理解打下了基礎，從拋物線定義到拋物線標準方程的求法，強化了數形結合，這是從“形”到“數”的轉變，是解析幾何基本思想的體現。

活動2：類比得到四種標準方程。

思考問題：（1）大家能否根據開口向右的拋物線的標準方程y2=2px，寫出開口向左、向上、向下，頂點在原點，焦點在坐標軸上的拋物線的標準方程？（2）是不是每一種開口方向都要通過建系去推導？

教師要求學生先獨立思考，再討論交流。

生：通過旋轉，旋轉可以從圖形上得到不同開口的拋物線

（其實在前面已經利用幾何畫板演示過不同開口不同大小的拋物線，這里提出要找另外三種開口的拋物線方程就相當的自然了）。

師：的確把拋物線對折、旋轉后生成開口不同的拋物線，但沒有旋轉公式，所以無法直接通過旋轉得到方程。

生：可以用坐標代換來解決這個問題。

師：很好，接著請同學們完成書上的表格內容，把另外三種開口的拋物線的方程，焦點坐標和準線方程寫出來。

設計意圖：前面幾何畫板的演示，合理地解釋了拋物線開口的任意性，學生易于接受消化，也為這里的問題的提出作了很好的鋪墊，通過焦點在x軸正半軸上的標準方程，坐標代換得到其余三種情況，以加深學生對拋物線標準方程的理解。通過四種情況的觀察、對比，引導學生發現拋物線的標準方程與圖形之間的內在聯系，從而得到一般的規律。

活動3：實例分析，深化理解拋物線

例1. 根據下面拋物線的方程說出它的開口方向，并寫出焦點坐標和準線方程。

（1）y2=16x? ? ? ? ? （2）x2=-? ? y? ? ? ?（3）y=? ? x2

例2.根據焦點坐標和準線方程，寫出拋物線的標準方程.

（1）焦點：F（-2，0）? ?（2）準線：y=1

變式1：已知拋物線過點A（-3，2），求其標準方程。

變式2：已知拋物線的焦點到準線的距離為6，求其標準方程。

設計意圖：例1根據方程判斷開口，確定焦點位置和準線，體現了由數到形，例2是由形到數。讓學生在數形之間不斷轉化，增強理解，鞏固提高。變式1中點的坐標在第二象限，根據拋物線的圖象，開口向左或者向上，會經該點，通過數形結合，把方程設出來，代入點A即可寫出方程，所以這個題根據條件應該寫出兩個標準方程。變式2，開口可以向上，向下，向左，向右，應該寫出四個標準方程。題目思維量不大，但要注意圖形在解題過程中的作用，滲透數形結合的思想。

剖析：華羅庚先生說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”活動1、活動2和活動3充分體現了這個數學理念。數形結合是直觀想象主要表現之一，通過圖形解決問題或者通過數字符號畫出圖形，通過數形結合的思想方法建立形與數的聯系，這是學習數學必須具備的素養。建構主義認為，學習是一個過程，在這個過程中學生根據自己本身已經具有的知識來主動建構新的知識。在課堂教學中，要引導學生將自己已有的知識和新獲得的知識進行重組，建構出新的知識體系。將直觀想象素養提升的目標落實在具體的題目中，通過問題分析等途徑，引導學生增強數形結合、數形轉化的能力，發展理性思維，同時這個過程也為學生提升直觀想象素養提供了場所。所以我們讓學生根據他們的基礎去發展構建屬于他們自身的直觀想象素養，在這樣的教學過程中培養學生的直觀想象素養。

直觀想象素養在數學新知識的學習中有著非常重要的作用，重視學生直觀想象素養的培養，有助于學生理解和掌握數學結論，有助于提升學生數形結合等能力，但直觀素養是不能強加給學生的，是老師在課堂上根據學生的具體實際情況，通過創設合適的教學情境、學習活動等逐步培養的，所以我們老師備課時要鉆研教材，根據學情設計好每一節課，提升學生的直觀想象素養。

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