“負數的初步認識”的深度解讀與教學重構

魏光明

摘要：“負數的初步認識”是義務教育數學課程有理數版塊的重要內容，但在第二學段和第三學段的教學定位不同。教學中，要準確把握“課標”定位，預見可能存在的教學困難，明晰學段之間的教學邊界;要整體審視課程內容，把握負數概念的內涵和外延，知曉數系擴張的相應變化;要辯證看待“負數”的教學策略，分析負數引入的兩種方式，解構負數認識的教學路徑;要嘗試突破“負數”的教學難點，區分負數表征的性質符號，突出負數教學的幾何直觀。教師要處理好學生認知水平和知識本質內涵之間的關系，在兒童與數學之間科學地架橋，促進負數概念的建構與理解，讓學習真實地發生。

關鍵詞：負數的初步認識;教學重構;小學數學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2020）10A-0059-05

關于小學階段“負數的初步認識”的內容，人教版、北師大版、蘇教版三個版本的小學數學教材都設置了獨立的教學單元，不同的是被編排在不同年級（北師大版教材編排在四年級上學期，蘇教版教材編排在五年級上學期，人教版教材編排在六年級下學期），單元名稱和具體內容也略有不同。同時，關于負數的教學，學界還存在一些爭議。教材的不同編排和學界的不同聲音，推動了一線教師進行教學探索，開展教學研究，但也帶來了一些困惑。基于此，本文對小學“負數的初步認識”的內容做出了解讀，并提出相應的教學建議。

一、準確把握“負數”的教學定位

與其他知識教學一樣，教師需要借助學情調查和文獻分析，提前了解學生在負數學習時可能面臨的困難。同時，要認真研讀《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》），弄清當前教學的具體要求，明晰其在不同學段教學的側重點以及前后學段之間的邊界，以根據學生的認知起點和知識的邏輯起點來實施精準教學。

1.預見可能存在的學習困難

負數從“創生”到被認可經歷了漫長、曲折的過程，連數學家也是花了1000年才建立負數的概念，又花了1000年才接受負數概念。美國數學家M.克萊因認為，“歷史順序通常是正確的順序，數學家所經歷的困難，正是我們的學生要經歷的困難。”王傳兵開展的“七年級學生對負數概念的理解”研究結論也證明了這一點：七年級學生在初期學習負數概念時存在理解困難，他們對負數概念的表征以“正數前面添加負號”的描述居多;沒有理解“+”“-”號的三種意義，特別是當兩種或三種意義的符號同時出現時容易出錯;對于負數與生活情境的聯系比較薄弱;對于負帶分數，常把分數部分看成正數[1]。造成困難的一個重要的原因是，學生很難通過活動親身體驗負數而積累經驗，沒有在負數與實際生活情境之間建立聯系，不能抽象出負數特有的性質。可以預見，對小學生而言，以靜態、抽象、規定性呈現的負數概念，正確理解和應用是存在困難的。

2.研究標準規定的教學要求

在現行義務教育階段的數學課程中，有關負數認識的內容在第二學段和第三學段均有編排，但兩個學段的教學定位不同，教學要求也不同。《標準》對第二學段負數的教學目標定位是“在熟悉的生活情境中，了解負數的意義，會用負數表示日常生活中的一些量”。可以看出，《標準》對負數意義的要求是“了解”而不是“理解”。所謂“了解”是指“從具體實例中知道或舉例說明對象的有關特征;根據對象的特征，從具體情境中辨認或者舉例說明對象”;理解則是指“描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系。”[2]顯而易見，《標準》只要求第二學段的學生在具體情境中感受到負數“作為一種新的數”出現是必然的，知道正數和負數是表示相反意義的量，初步認識負數及其符號表示，知道0是正數和負數的分界線，0既不是正數，也不是負數，會正確讀、寫正數和負數，會用負數表示日常生活中的一些量并能夠進行簡單的解釋。

3.明晰學段之間的教學邊界

仔細研讀《標準》第二學段和第三學段的“課程內容”，比較小學和初中的數學教材，我們會發現，并未要求第二學段的學生認識作為運算出現的負數，以及“+”“-”號作為性質符號與作為運算符號之間的區別，并未要求學生比較負數的大小，并未要求學生理解和掌握有理數的加減運算，體會負數對于有理數系減法運算的封閉性。這些內容是第三學段的教學任務。強調這一點，是因為我們需要對學科知識和兒童充滿敬畏，不要因為個別學生或者少數學生通過各種途徑提前了解了有關負數的內容，或者學生已經接觸了有關負數的現實生活場景，或者教師認為負數的內容不難，可以教給學生更多，而人為地拔高教學要求。這樣做，會給后知后覺的學生當下的數學學習造成困難，加劇兩極分化現象。同時，還會因為學生的抽象思維水平不足，導致學得不透徹、理解有偏差，給第三學段有理數的學習帶來更多的困惑。

二、整體審視“負數”的教學內容

我們需要將負數的初步認識置于有理數這一知識序列乃至更大的知識體系之中，清晰地了解有關負數知識的全貌，梳理有關負數知識的生長線索和主次脈絡，理清負數與其他知識之間的聯系，準確把握負數概念的內涵和外延，弄清因為數系擴張引起的相應變化，以提供有助于整體思考的學習素材和整體互動的學習場景，幫助學生形成對負數的深刻理解。

1.梳理負數版塊的知識脈絡

負數是有理數教學的重要內容，也是難點內容，在第二學段和第三學段的數學課程中均有編排，涉及正數和負數的概念、有理數的概念、絕對值、相反數、有理數的運算等。其中，小學階段關于負數的初步認識主要涉及正數和負數的概念。這里就以蘇教版小學數學教材為例，梳理一下負數版塊包括的具體知識點：正數和負數的意義;正數、負數的讀法與寫法;0既不是正數，也不是負數;正數、負數和0的大小關系;用正數、負數表示日常生活中具有相反意義的量，解釋正數、負數的實際意義;用數直線（數軸）上的點表示正數和負數，了解正數和負數的排列規律。當然，有些版本還涉及正、負數的大小比較，整數的結構等。與此同時，隨著負數引入，數的范圍就從正數和0擴大到了有理數，以前學過的一些知識在內涵、外延、規則等方面隨之發生了一些變化。這就需要我們站在整體的角度來審視負數版塊的內容，準確把握負數概念的內涵和外延，理順負數知識的發展脈絡，弄清負數與其他知識之間的關聯。只有這樣，才能避免在教學中出現知識漏洞和知識斷層，給學生的學習特別是在第三學段負數的學習造成困惑。

2.把握負數概念的內涵外延

現行的小學數學教材一般是通過描述給負數下定義的。蘇教版教材中這樣描述：“像+20、+8844.4這樣的數都是正數（正數前面的“+”可以省略不寫），像-20、-155這樣的數都是負數。”[3]北師大版教材中這樣描述：“像10，200，8844.43……都是正數，可以在正數前面添上“+”號，如+10，200，+8844.43。像-1000，-500，-127，-100……都是負數。”[4]人教版教材中這樣描述：“為了表示兩種相反意義的量，如零上溫度和零下溫度、收入與支出等，需要用兩種數。一種是我們以前學過的數，如3、500、4.7、3/8，這些數是正數;另一種是在這些數的前面添上負號“-”的數，-3、-500、-4.7、-3/8等，這些數是負數。”“正數前面的“+”可以省略不寫。如果為了與負數對比，也可以加上正號，如+3，讀作正三。”[5]從上面可以看出，人教版教材直接揭示了負數的主要內涵，即正數和負數表示兩種相反意義的量，其他版本教材則隱含在編排的內容之中，需要在教學中引導學生充分感悟。此外，現行小學數學教材都是在初步認識分數、小數之后引入負數的，教學中應該讓學生了解負數的外延包括負整數、負分數和負小數，以便在后續學習中更好地建立“有理數”概念和相關知識結構。

3.知曉數系擴張的相應變化

負數引入之后，有些學過的知識隨之發展或產生變化。第一，0的意義變得更加豐富。除了表示沒有之外，0還是正數與負數的分界線，0既不是正數，也不是負數，它是唯一的一個中性數;在有理數范圍內，所有負數都比0小;可以根據需要，人為設定一個標準為0。第二，“+”號、“-”號的意義變得更加豐富。除了可以表示加、減運算符號之外，“+”號、“-”號還可以看作“正數”“負數”的性質符號。此外，“-”號可以用來表示相反數，把“-”寫在一個任何有理數（包括0）的前面，可以表示這個有理數的相反數。第三，整數、分數和小數的外延擴容。認識負數之后，整數包括正整數、0和負整數三部分。北師大版教材中就這樣描述：“像-10，0，200……都是整數。”[6]相應地，分數包括正分數和負分數，小數也包括正小數和負小數。第四，加法和減法運算的“規定”出現變化。在有理數范圍內，被減數可以小于減數，減法運算實現了封閉;和可能比加數小;根據“減去一個數等于加上這個數的相反數”，可以將減法轉化為加法，使兩種運算統一成一種運算。雖然上述許多內容安排在第三年學段教學，但教師應該立足整體進行長線設計，并基于《標準》做好階段落實。

三、辯證看待“負數”的教學策略

我們需要從整體走向細節，抓住影響負數教學的關鍵，了解有關負數知識的數學文化，特別是負數產生的不同背景，科學分析負數引入的常見方式，解讀并重構負數初步認識的教學路徑，以根據學生的實際情況和負數的豐富內涵，合理地設計教學流程，選擇教學方法和策略，使學習真實地發生。

1.了解負數產生的兩個背景

從數學發展的歷史看，負數的產生主要有兩個源頭或背景。一個是源于生產生活實踐的需要。在日常生活或生產中，人們經常會遇到具有相反意義的量，比如公司的盈利與虧損，家庭的收入與支出，庫存的增加與減少。當運用原有的數無法簡約、準確地表示這兩種相反意義的量時，比如，超市購進50袋大米與賣出50袋大米，只用一個50來記錄很簡潔，但無法區分屬于哪一種行為，人們就會想要創造一種新的數來表示，以解決這一類現實問題。從這個角度看，正數和負數可以看成是從現實世界中大量客觀存在的、具有相反意義的量中抽象出來的數學模型。另一個是源于完善數學內部邏輯結構的需要。人們在進行減法運算或者解方程時，有時會遇到“不夠減”的情形，于是就會產生引入一種新的數來表示運算結果的需要，以解除減法運算中的某些限制，保證減法運算的封閉性，同時又保持原有的運算規律。負數的產生，促進了數學自身的發展，實現了從非負有理數擴展到有理數，進入了一個新的領域。

2.分析負數引入的兩種方式

對背景的認識不同，引入負數就會選擇不同的方式。第一種是選擇生產生活中的數學原型引入。前面提及的三種版本教材都是利用學生熟悉的生活素材引入負數的，比較多的是溫度計、銀行存折等。大多數教師一般也采用這種方式。事實上，第二學段的學生已經接觸過許多用“負數”形式表示的場景，也知道許多表示相反意義的量。比如，天氣預報中的零下溫度、電子支付中的支出費用數額、小區或購物中心地下停車場的位置等。第二種是從數系擴張的需要引入。有少數教師和研究者借助解決問題時“不夠減”或“標準”發生變化的情境引入負數。上海市實驗學校在小學一年級引入負數就采用了這種方式[7]。客觀地說，兩種引入方式各有利弊。第一種方式，有利于喚醒學生已有的經驗，經歷負數“創生”的過程，但可能會淡化0的再認識，再創造過程可能會占用較多的時間，可能會缺少必要的抽象。第二種方式，有利于借助強烈的認知沖突讓學生體會負數產生的必要性，但可能會超越小學生的認知水平和理解能力，給他們的學習帶來困難，尤其是理解負數含義的困難。

3.解構負數認識的教學路徑

教學有法，但教無定法。在負數的教學過程中，我們可以依據“問題情境—建立概念—揭示聯系—解釋應用”的流程漸次展開。第一步，呈現學生熟悉、會產生認知沖突、具有一定挑戰性的問題情境。比如，呈現小微企業的收入與支出，讓學生計算幾個月的盈余或虧損，以勾連數學與生活的聯系，激發學生的學習興趣。第二步，要求學生用“一個數”簡約地表示盈余和虧損的數據，使得學生在矛盾沖突中逐步聚焦符號表示，突出“創生”的性質符號，初步體會可以用兩種數表示相反意義的量。再讓學生用正、負數去表示一些相反意義的量，比如，上車和下車的人數，零上和零下的溫度等，使學生理解負數的含義。通過比較和分類，給負數下一個描述性定義，揭示知識的數學實質。第三步，突出“標準”，在情境中豐富0的含義，認識到“0既不是正數，也不是負數”，從不同角度感悟有理數、負數、整數的整體結構，在數學知識之間建立廣泛的關聯。第四步，回到生活中去，尋找相反意義的量并用合適的數表示，以及解釋正、負數在具體情境中的意義，或運用所學知識做出判斷，在應用中鞏固和深化對負數的認識。當然，也可以設計其他的流程和路徑。只要記住一點，選擇什么方法，設計什么路徑，組織什么活動，最重要的是基于兒童的接受能力，激活他們的思維，讓學習真實發生。

四、突破“負數”的教學難點的策略

我們需要全面分析學生在認識負數時經常會面臨的學習困難，在此基礎上，通過比較優選最有利于負數概念引入的數學原型，學會區分負數表征的性質符號與常見的運算符號，并充分發揮幾何直觀在理解抽象概念、解決疑難問題中的重要作用，以幫助學生及時澄清可能產生的數學迷思，化解可能出現的理解錯誤，突破學習的困境，獲得成功的體驗。

1.優選負數引入的數學原型

對于認識負數選擇溫度模型是存在爭議的。三種教材的編排和一線教師的教學通常是從觀察溫度計開始，借助零上溫度和零下溫度引出正、負數的。張奠宙等學者則認為“溫度”不是正、負數的好模型[8][9]，因為溫度只是人為規定了一個零點和單位長度，然后據此進行刻畫;溫度不是可比的數量，2℃并不是1℃的兩倍;溫度不可加，2℃和1℃相加沒有任何意義。事實上，數除了用來表示之外，還用來運算。現在，擺在我們面前的就是這樣的情形：從數學結構的邏輯看，可從“不夠減”模型引入負數;從生產生活實踐的角度看，可從收支、盈虧模型引入負數[10]。需要提醒的是，我們面對的是小學生，他們更容易接受和理解自然狀態下意義相反的量。綜合以上分析，小學階段可以嘗試選擇兼具“可以進行運算”和學生熟悉的生活經驗兩個特征，表示自然狀態下意義相反的量的模型，比如盈虧模型。筆者之所以不完全反對從溫度計引入正、負數，是因為它有很明顯的優點，比如，作為“標準”和分界線的0天然存在，可以變式為“數軸”。

2.區分負數表征的性質符號

前文提及有些七年級學生也不能理解“+”“-”號的三種意義，原因之一就是作為性質符號的“+”“-”號是非常抽象的。可見，區分它們是作為運算符號還是性質符號，是小學和初中關于負數教學的難點。要解決這個問題，可以分三步走。第一步，在第二學段初步認識負數，用正數和負數表示相反意義的量時，要重視引導學生結合具體情境，理解在這里賦予“+”號和“-”號的意義，知道“+”號、“-”號和后面的正數連在一起形成的是一個整體，是一個數[11]，要在用數表示、解釋意義、讀數和寫數等環節強化整體認知。事實上，負數應該是在正數前面添加“-”號的過程和以一個整體看作一個數的結果的統一體。所不同的是，正數的性質符號在書寫時可以保留，也可以省略。到了第三學段，就可以把任何一個非0有理數看成由性質符號和絕對值兩部分組成的。第二步，在后續學習中要有意識地引導學生與先前加、減運算中的運算符號比較，從賦予符號具體意義的角度，初步弄清作為性質符號和運算符號的區別。第三步，在第三學段教學中，結合解決實際問題，引導學生在同一道算式中區分“+”“-”號是看作運算符號還是性質符號。

3.突出負數教學的幾何直觀

借助幾何直觀，可以幫助學生更好地認識和理解負數。這里以數直線（有些教材中稱為數軸）為例做些討論。數直線是一種形象、可視的腳手架，借助數形結合的手段，比如，用數直線上的點表示數，將有理數與數直線上的點建立一一對應的關系。在此基礎上，可以引導學生通過觀察、推理，感悟數的排列順序，知道“負數都小于0，也小于正數”（教材中即有這一要求），了解距離0越遠的負數就越小。通過想象數直線向兩端無限延伸，感悟正數和負數的個數是無限的，沒有最大的正數，也沒有最小的負數;通過比較與0點的距離，感悟、理解負數和相應的正數具有對稱性，它們是一對數量（絕對值）相等、方向（意義）相反的數;通過描點運動，并借助情境中的事理，滲透正、負數加法和減法的直觀運算。需要說明的是，上面提到的任務并非全部要在小學完成，也并非要求學生達到理解和掌握的程度。

眾所周知，無論是日常教學，還是教學研究，能聽到不同的聲音，無疑是一個好的現象，說明實踐探索和理論研究都沒有停步，都在努力尋求更多的突破。我們只要把握一個原則即可，那就是作為教育的數學和作為科學的數學是有很大區別的。前者在保證學科本質內涵的前提下，首先考慮的是“人”，即必須易于被學生學習和理解，順應學生的認知方式和思維規律，能促進學生積極、主動地思考，掌握基本的思考方式，感受到思考方式背后的價值訴求。

參考文獻：

[1]王傳兵.七年級學生對負數概念的理解[D].上海：華東師范大學， 2007：57.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011版）[M].北京：北京師范大學出版社， 2012：21，72.

[3]孫麗谷，王林.義務教育教科書·數學（五年級上冊）[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社， 2015：2.

[4][6]劉堅，孔企平，張丹.義務教育教科書·數學（四年級上冊）[M].北京：北京師范大學出版社， 2014：86.

[5]盧江，楊剛.義務教育教科書·數學（六年級下冊）[M].北京：人民教育出版社， 2014：3.

[7]張琦.早期負數教學的實踐與思考[J].小學數學教師，2018（9）：47-50.

[8]張奠宙.構建學生容易理解的數學教育形態——數學和人文意境相融合的10個案例[J].教育科學研究， 2008（7）：48-50.

[9]張奠宙，鞏子坤，任敏龍，張園，殷文娣.剖析“用溫度計引入負數”的優缺點[J].小學數學教師，2017（2）：4-6.

[10]章飛，凌曉牧，陳蓓，等.小學數學研究與教學指引[M].南京：南京大學出版社， 2016：149.

[11]史寧中.核心問題——小學數學教學中的基本概念與運算法則[M].北京：高等教育出版社， 2013：103.

責任編輯：趙赟