高中數學不等式易錯題型解題技巧分析

祝永華

[摘要]高中數學不等式知識的應用較為廣泛，不管是在選擇題中，還是在填空題和計算題中都常出現不等式的題型.如果學生不能清楚地了解不等式的相關知識，不能完全掌握解題的技巧，就不可能更好地解題.文章針對不等式的幾種易錯題型進行探討，并總結幾點解題的技巧.

[關鍵詞]高中數學;不等式;解題技巧

[中圖分類號]G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020）35-0029-02

不等式是高中數學的主要內容，其題型極具多變性，很多學生都會出現誤解的情況，無法解出正確的答案，這就需要教師引導學生掌握不等式易錯題型的解題技巧，讓學生的解題能力得到不斷提高，

一、與線性規劃相關的易錯題型及解題技巧

不等式和線性規劃相結合問題是不等式中比較常見的一種題型，其主要是對目標的最大值和最小值進行求解，在解答此種題型時，需要對面積進行求解以及定義域的相關知識進行掌握，需要了解不等式的性質和線性規劃兩者之間存在的聯系.

[例1]a>0，參數x，y，會滿足下列三個條件，x+y≤3;x≥1;y≥a（x -3），如果z=2x+y的最小值是1，那么a的值是多少？

題目分析：這個題目是較為典型的一類不等式和線性規劃相結合的題目，與普通的線性規劃問題不同的是，此題優先給出了最值，然后根據最值來對某條直線的參數進行推理，這需要學生在實際解題的過程中，學會變換思維，進行逆向推理，在解題的過程中，可以繪制出如圖1所示的坐標軸示意區，

解：當所求的目標函數經過A區域時，A點的坐標值為（1，-2a），那么將函數的目標值代入其中可知a=12.

總結：在解題時，要密切注意函數的最值問題，要明確其中所存在的不等式關系，并將相對應的可行范圍畫出來，上述題目中給出的參數a的取值范圍是a>0，據此條件我們可以看出y=a（x -3）必然會經過第一象限和第三象限，這樣我們就確定了三角形的可行域，再對可行域進行選擇時也就不會出現方向錯誤的情況了，此種類型的題目中，一般會將目標參數設置成未知，以此促使題目的動態性和開放性得到增強，與一般的最值求解的區別在于，需要從結論人手對動態的圖形進行分析，這也就要求解題者在解題的過程中找到關鍵點，再加上在目標函數的可行域中，我們已經知曉了求解的基本方向，進而達到了解題的目的，

二、與參數問題相關的易錯題型及解題技巧

在所有的不等式類型題目中，與參數問題有關的不等式題目是難度較大的，在解題時要對題目中的未知參數進行考慮，在講解這類題目時，教師可引導學生對未知的參數進行討論，避免解題時出現疏漏.

[例2]求解不等式（x- 1）（x -a）<0.

題目分析：這是一個含有未知參數的不等式方程，解決這種題目重點是對未知參數進行討論，也就是對a進行分類討論，如果不能全面地進行分析，會使學生在解題中出現疏漏，導致解題的結果出現偏差，

解：當a>1時，x的范圍是1

[例3]求解不等式ax2-2x+1<0，已知a是參數，a∈R.

題目分析：此題與例2是相同的，也需要對未知參數a進行求解，首先需要做的就是要對a進行分類討論，以確保解題的準確性和全面性，分析的過程與上題相同，也需要從a=0、a<0，a>0三個層面來進行分析，同時，當a>0時，需要對△的值進行區分，然后分別進行求解，

總結：當不等式中含有未知的參數時，最關鍵的步驟就是對未知參數進行分類討論，這樣才能使解題更加準確和全面，

三、與高次問題相關的易錯題型及解題技巧

與高次問題相關的不等式問題是高中數學需要重點學習的內容，在解題的過程中最容易出錯的地方就是區域劃分容易混亂，不能準確地對特殊的區域或者是特殊的點進行判斷，在遇到與高次問題相關的不等式題型時，可通過因式分解的方式解決，這樣不僅可將復雜的問題進行簡化，還可促使問題更加清晰明了，容易找到解題突破口，進而掌握解題的技巧，快速解決問題，

[例4]求解不等式（x- 1）（x - 2）（x -3）>0.

題目分析：這個不等式的結構是三次的，要比常見的二次結構要高，所以很多學生在解題時還是會利用公式進行求解，這樣顯然是難以達到解題目的的，必須要找到一種方便、簡潔、高效的解決方式，

解：根據上述三次不等式方程，可畫出圖像（如圖2），具體步驟：首先畫出一個坐標軸，在坐標軸上標記出三個零點，即1、2、3，然后將坐標軸劃分成4個區間;其次將靠近右邊的區間看作是正，其他的看作是正負相間，在區間標明正負號;最后不等式大于0用“+”來表示，不等式小于0用“一”來表示，這樣就可以更加形象地對不等式的區域進行觀察，學生可明顯地看到13，這就是題目最終的結果，

總結：這種解題方法我們稱之為“穿根法”，采用此法需要在解題時畫出坐標軸，然后在坐標軸上進行不等式情況的繪制，根據所畫數軸的情況和穿線的順序來對不等式的大小情況進行判斷，此種解題方法更加直觀和簡單，降低了知識的難度，

四、與恒成立問題相關的易錯題型及解題技巧

恒成立問題是數學常出現的一類題型，不僅與不等式有關系，還與其他的數據知識有著密切的聯系，實際上，在對歷屆高考題目分析的過程中，我們通過總結恒成立的相關知識可知，不等式中的恒成立問題，是將抽象的函數知識以及數列知識進行結合所命制的題目，這種類型的題目有較強的邏輯性，解答這種類型的題目也較難，由于這種題型具有抽象性，如果學生的邏輯思維較差，就容易在求解的過程中出錯，為了更準確、更快速地解答出與恒成立問題相關的不等式題目，需要對函數、導數、不等式、單調性等多種類型的知識點進行考慮，這樣才能更好地解題.

[例5]假設函數f（x）= In（1+x），g（x）=xf'（x），x≥0，其中f'（x）是廠（x）的導函數.

1.當g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n是正數時，求出g（nx）的表達式.

2.當f（x）≥ag（x）是恒成立的，那么a的取值范圍是多少？

3.假設n是正數時，試著比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n-f（n）的大小，并進行證明，

題目分析：該題是一道典型的復合型數學題，主要結合函數、導數和不等式來求解閉區間上函數的最值，求解函數的單調性情況，具有很強的綜合性，解題的關鍵在于進行適當變形或者采用分離變量、構造函數、變換主元等方式，借助基本不等式或者函數單調性等性質來達到求解的目的，而其中的最值問題主要是將其轉化成基本不等式后進行求解;在轉化不等式的過程中，要注意合理確定不等號的方向，避免因不等號方向不正確而導致解題錯誤，具體可記憶為“一正，二定，三相等”，

本文簡單分析了四種不等式易錯題型的解題方法技巧，總體來說在解答不等式題型的過程中，主要的方法技巧有以下幾種：換元法、反證法、性質法和數形結合法，換元法是指利用某一個變量，將數學問題中的某個式子進行整體的替換，這樣可有效地對題目進行簡化，讓學生更順利地進行解答，反證法是在不等式不能正常推理的情況下常使用的一種方法，是通過反向推理的方式來對問題進行分析，以達到解題的目的，這種方法不僅可以解決不等式問題，還可以解決很多幾何問題，性質法是指從不等式的基本性質出發，對題目進行分析，求出不等式的解，數形結合法是指利用坐標軸等圖形將不等式題目中的信息表示出來，這樣可使題目更加直觀，學生也可以更直接地了解到題目信息，然后快速解題，在選用具體的不等式解題方法時，必須要結合題于信息和具體情況來合理選擇，確保所選解題方法可以滿足實際的解題需求，從而幫助我們更好地解決問題，避免在求解過程中出錯，

總而言之，不等式題型具有一定的復雜性，出錯率較高，因此，解題時學生必須要掌握各種類型不等式問題的解題技巧，找到題目中易錯的點，然后應用合適的方法來解決問題，學生還需具有舉一反三的思維，不斷提高自身的解題經驗，讓自身的解題能力得到提高.

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（責任編輯陳 昕）