研究“草圖”，探究“內理”

趙靜 張建國

【摘要】借助“草圖”可以幫助學生把復雜的數學問題變得簡明、直觀，有助于學生尋求解決問題的思路，估計出結果。借助“草圖”不僅有利于學生實現思維從形象到抽象的跨越，而且能為以后提高空間想象能力積累豐富的經驗。

【關鍵詞】草圖? ?抽象? 直觀? ?理解

數學家阿蒂亞曾提出，視覺思維占主導地位。在小學階段，學生以形象思維為主，用形象思維觀察問題、分析問題、解決問題。引導學生學會借助草圖來理解數學問題，是數學教學中落實幾何直觀的具體體現。借助草圖可以培養學生的一種思維方式，有利于學生直觀、巧妙地找到解決問題的突破口，深入理解數學問題，使學生的思維轉向更抽象、更高級的空間形式，有助于學生形成良好的思維品質。

一、借助“草圖”理解數學概念

【片段1】1公頃的[3] [4]和3公頃的[1] [4]

師：你們知道1公頃的[3] [4]和3公頃的[1] [4]分別是多少公頃嗎？

生：都是[3] [4]公頃。

師：你是怎么來理解的？

生1：我是畫圖來理解的。

生2：我是計算得來的。求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算。結果都是[3] [4]公頃。

阿提雅說過：“幾何直觀是領悟數學最有效的渠道。”借助草圖可以把抽象的數學問題直觀地呈現在學生面前，有助于學生對數學知識的理解，培養學生的數學直覺;借助草圖可以來驗證計算結果，促進學生對計算結果的理解，培養學生對數學結果的判斷力。根據題意畫草圖，是學生學習過程中最常用的一種方法，一種解題技能，也是學生對數形結合思想的一種體驗。我們要讓學生體會到畫草圖的價值，體會畫草圖是理解問題、解決問題的一種策略。

二、借助“草圖”理解計算算理

【片段2】分數與分數相乘

要求：請涂色表示出長方形的[3] [4]。（出示兩個同樣大小的長方形圖）

學生確認后，畫出陰影。

師：陰影部分占長方形的幾分之幾？

生：[3] [4]。

師：那陰影部分的二分之一該怎么表示呢？它又是長方形的幾分之幾呢？

（生畫一畫）

師：[3] [4]的[1] [2]是多少？

師：能看圖列算式填寫結果嗎？

……

在圖中表示出：[4] [5]的[2] [3]是多少？[4] [5]的[1] [2]是多少？

計算對于學生來說最難理解的是算理，尤其是分數乘分數的計算，學生理解起來更是難上加難，用草圖直觀地展示在學生面前整個計算過程，并直觀地在圖中顯現出結果，讓學生清晰地溝通了算理和算法之間的聯系。在片段2中，借助長方形圖幫助學生理解分數乘法的意義，同時也借助了長方形草圖驗證了分數乘分數的結果，并能讓學生理解歸納出算法。劉加霞博士指出：經驗的獲得需要“領悟”與“轉化”。學生通過視覺觀察或參與具體活動，可以直接獲得具體經驗;再通過回顧、反思所經歷的活動，進行內在的思考，不斷內化為能夠理解的、抽象的、合理的經驗;最終在解決新問題的過程中證實和運用獲得的經驗，從而不斷創生出新的經驗。

三、借助“草圖”解決實際問題

【片段3】有關電線長度計算的實際問題

出示例題：一根電線截去[1] [4]后再接上12米，結果比原來長[1] [3]。這根電線原長多少米？

像此類解決問題，如果學生不畫草圖，恐怕很難理解，也很難解決。如果把草圖畫出來，學生看了草圖后就很容易迎刃而解。

畫出線段圖后，學生結合圖形就能看出一根電線的[1] [4]和這根電線的[1] [3]加起來的長度就是12米。根據線段圖找到這樣的等量關系，就很容易列算式

解答了。

在解決問題的過程中，理清數量關系是核心，任何一個數學問題都是由情境和數量關系兩部分組成的。尋求問題的結果，取決于對情境的理解，理清數量關系，從而建立求解模型。大多數學生喜歡形象思維，抽象思維的能力還有待發展，因此極少有學生會主動借助草圖來尋找問題的突破口。如果學生能養成畫草圖的習慣，這樣的草圖可以是線段圖，可以是方塊圖，等等，只要能化抽象為直觀，幫助理解和思考的草圖都可以嘗試。運用草圖不僅能比較容易找到解題思路，還能進一步提升思維的深度。上面有關電線長度的計算題，數量關系混亂，很難找到等量關系入手，讓學生畫線段圖，結合草圖，就很容易看出分數和對應數量之間的關系。“直觀與推理是圖形與幾何學習中的兩個重要方面”。在小學數學教學中，借助草圖有利于學生理解抽象的概念、法則等，有利于學生解決一些稍復雜的實際問題，從而培養學生的空間想象能力，提升學生的數學思維水平，進一步激發學生數學學習的興趣。

四、借助“草圖”理解數學結果

【片段4】最多可以剪多少個直角三角形

出示例題：在長12分米、寬6分米的長方形布上剪直角邊長分別為3分米和4分米的直角三角形，最多可以剪多少個？

師：請同學們在長方形圖里動手畫一畫。

師：通過畫一畫，你發現了什么？

生：我們可以先剪長4分米、寬3分米的長方形，最后把長方形分成兩個直角三角形。

師：那這樣的長方形最多可以剪多少個呢？

生：我們可以看大長方形的長里面可以剪多少個這樣的小長方形，寬里面可以剪幾排這樣的小長方形。（生借助圖向大家介紹）

師：能用算式表示出來嗎？

生：12÷4=3（個），6÷3=2（排），3×2=6（個）可以剪6個長方形。而每個長方形可以剪成兩個完全相等的直角三角形，所以一共可以剪12個這樣的三角形。

師：從圖上看，正好剪完，沒有剩余。非常好。我們可以看長里面可以剪多少個，寬里面可以剪多少排？那如果不能正巧剪完，又該怎么辦呢？

出示例題：在長12分米、寬7分米的長方形紙上剪直角邊長分別為3分米和4分米的直角三角形，最多可以剪多少個這樣的直角三角形？

師：也請同學們在長方形圖里動手畫一畫。

（生展示了兩種不同的圖）

師：請同學們觀察這兩種剪法，你們覺得最多可以剪多少個這樣的直角三角形？

生：14個。

小學生的思維通常以直觀、形象為主，他們的空間想象能力容易受到阻礙，因此往往有些學生會有思維定式，停留在同種類型的解題模式上，而不能理解問題的內理，掌握問題的本質。動手畫一畫草圖，借助直觀的圖形，可以幫助學生理清問題的本質，得出問題的結果。在以上教學片段中，教師讓學生動手畫一畫，思考剪長4分米、寬3分米的長方形，最多可以剪多少個？這時長和寬都能正好剪完，通過圖來驗證結果，一目了然。然而，教師又出了一道不能正好剪完的題，此時最多又能剪多少個呢？有的學生還是用了原來的方法，有些學生則通過畫圖剪出了更多三角形。學生借助草圖，有效地將抽象的數學結果形象化、簡單化，進一步理解在遇到此類問題時應如何分析和解決。

【參考文獻】

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