高等數(shù)學(xué)課中德育淺談

陳仁蓮

[摘 要]思政不單單是指思想政治課，而是在校園里所有一切與師生學(xué)習(xí)生活密切相關(guān)的方方面面都蘊(yùn)含著思政問(wèn)題。當(dāng)然，作為數(shù)學(xué)課程，也不例外。該文從高等數(shù)學(xué)中常數(shù)項(xiàng)級(jí)的斂散性出發(fā)，淺談個(gè)人在高等數(shù)學(xué)課中對(duì)思政方面的認(rèn)識(shí)。

[關(guān)鍵詞]課程思政;正項(xiàng)級(jí)數(shù);交錯(cuò)級(jí)數(shù);斂散性

[中圖分類(lèi)號(hào)] G641;O13-4[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1674-9324（2020）48-00-03[收稿日期] 2020-09-21

一、前言

古人曰：“敬教勸學(xué)，建國(guó)之大本;興賢育才，為政之先務(wù)。”課程思政已經(jīng)開(kāi)始從隱性舞臺(tái)走向了顯性舞臺(tái)。更加需要強(qiáng)調(diào)把“立德樹(shù)人、教書(shū)育人”這一本質(zhì)貫穿到學(xué)校的方方面面。馬克思說(shuō)：“一門(mén)科學(xué)只有當(dāng)它達(dá)到了能夠成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算真正發(fā)展了。”恩格斯也說(shuō)：“在一切理論成就中，未必有什么像十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣看作人類(lèi)精神的最高勝利了。如果在某個(gè)地方我們看到人類(lèi)精神的純粹的和唯一的功績(jī)，那就正在這里。”“要確立辯證的，同時(shí)又是唯物主義的自然觀，需要具備數(shù)學(xué)和自然的知識(shí)。”可見(jiàn)數(shù)學(xué)與哲學(xué)地位一樣，同等重要。而高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)一門(mén)必修的公共基礎(chǔ)課，義不容辭地將要承擔(dān)著思政、立德、育人的重任。本文將從常數(shù)項(xiàng)級(jí)的斂散性方面出發(fā)，談?wù)劯叩葦?shù)學(xué)課中處處蘊(yùn)含著唯物主義的世界觀和為人處事的方法等，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生們的愛(ài)國(guó)主義與民族凝聚力，激勵(lì)學(xué)生們積極努力、發(fā)憤圖強(qiáng)、立志成才。

二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性蘊(yùn)含著的育人思想

在講授常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法時(shí)，首先給出正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定法—比較審斂法，如下：

設(shè)和為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且滿(mǎn)足un≤vn，（n=1，2，…），則有

（1）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂;

（2）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散。

雖然這個(gè)結(jié)論表面上展示給我們的是數(shù)學(xué)知識(shí)，但卻富含著豐富的人生哲理。

第一，如果判斷級(jí)數(shù)的斂散性有困難，但是我們知道正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性，且滿(mǎn)足un≤vn，（n=1，2，…），那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性就迎刃而解了。這讓我們聯(lián)想到現(xiàn)實(shí)生活中，當(dāng)遇到困難與問(wèn)題時(shí)，直接面對(duì)可能解決起來(lái)很困難，但是我們可以借助“它山之石可以攻玉”的道理，曲徑通幽，找到與之關(guān)聯(lián)的，相對(duì)容易解決的方面進(jìn)行考量，進(jìn)而解決我們的困難與問(wèn)題，有一種“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的感覺(jué)。這正是一種靈活轉(zhuǎn)化、變通的思維！比如，你如果有車(chē)的話(huà)，一般地都有一個(gè)備用胎，它是做什么用的呢，當(dāng)然是當(dāng)你的車(chē)發(fā)生了漏氣、爆胎等問(wèn)題的時(shí)候，而你的車(chē)又不在維修站附近，怎么辦？自然地，我們的備用胎就上場(chǎng)了，你的車(chē)子又可以行駛起來(lái)。最能體現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化思維的，當(dāng)屬今年的年初特殊期間，“在線辦公”“停課不停學(xué)”，感謝強(qiáng)大的網(wǎng)絡(luò)，讓我們的一切又都變得正常，開(kāi)始了線上辦公、教學(xué)，釘釘、騰訊課堂、騰訊會(huì)議等各種平臺(tái)改變了我們生活。同時(shí)強(qiáng)大的物流網(wǎng)絡(luò)給我們的日常生活帶來(lái)了便利，減少了安全隱患。

第二，在這正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法中，我們從另一個(gè)角度理解斂散性，即如果大項(xiàng)的收斂，那么小項(xiàng)的一定收斂，反之，小項(xiàng)的發(fā)散，大項(xiàng)的必發(fā)散。這又與我們生活中做人做事如出一轍。比如說(shuō)，我們經(jīng)常聽(tīng)說(shuō)，會(huì)有人問(wèn)你來(lái)自哪里？你的家庭情況如何？你的父母工作如何？如果他說(shuō)他來(lái)自山東，人們立刻想到你肯定成績(jī)好。因?yàn)樯綎|是一個(gè)愛(ài)學(xué)習(xí)的地方，山東孩子考大學(xué)最厲害。相反，如果說(shuō)這個(gè)人特別會(huì)做生意，人們立刻想到他一定是來(lái)自廣東，尤其是潮汕地區(qū)。因?yàn)椋谌藗兊难壑袕V東人人都會(huì)做生意。人們的潛意識(shí)里不會(huì)想到山東人做生意強(qiáng)，廣東的孩子考大學(xué)棒。同樣，如果你的父母都是北大清華畢業(yè)的，人們對(duì)你的映象必然是你一定學(xué)習(xí)很好，因?yàn)槟愕陌职謰寢尪际悄敲磧?yōu)秀的，你肯定遺傳了他們超強(qiáng)的基因;如果你的成績(jī)不好，一般情況下，人們就會(huì)聯(lián)想到他的父母有沒(méi)有上過(guò)學(xué)，有沒(méi)有上過(guò)大學(xué)，如果沒(méi)有，自然地，他的學(xué)習(xí)不好是正常的。古人云“書(shū)香門(mén)第”“大戶(hù)人家”“蓬門(mén)蓽戶(hù)”等，你的祖輩留給你的可能在生活中開(kāi)設(shè)了一條通道或屏障，人們潛意識(shí)中就給了一個(gè)標(biāo)簽。同樣地，上升到國(guó)家層面，如果一個(gè)國(guó)家在各領(lǐng)域，諸如政治、軍事、經(jīng)濟(jì)、科技等方面都很強(qiáng)，那么他在國(guó)際上的地位不言而喻，其他國(guó)家對(duì)之重視和尊重也將不一樣，其國(guó)人民在世界的各個(gè)角落也同樣會(huì)受到歡迎;相反，如果該國(guó)人民對(duì)自己的國(guó)家首先都不夠熱愛(ài)、尊重，一味地崇洋媚外，這說(shuō)明該國(guó)的發(fā)展還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有滿(mǎn)足不了民眾，自然地，該國(guó)在世界上的地位就可想而知了。

在討論p?級(jí)數(shù)（p>）的斂散性時(shí)，自然地想到上一節(jié)所講到的調(diào)和級(jí)數(shù)以及任意一個(gè)實(shí)數(shù)介于兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間，即k-1≤x≤k，從而進(jìn)而利用比較審斂法和級(jí)數(shù)收斂的充要條件其部分和數(shù)列有界這兩結(jié)論，得當(dāng)p≤1時(shí)發(fā)散，p>1時(shí)收斂。

由p?級(jí)數(shù)的斂散性可以看到在我們的生活中也是有很多時(shí)候都與此類(lèi)似。比如，有些學(xué)生說(shuō)考研，然后開(kāi)始準(zhǔn)備，前期都非常積極努力，越是臨近考研日期時(shí)，突然感覺(jué)壓力好大，不自信，思想上開(kāi)始有了松懈，有點(diǎn)不想堅(jiān)持了，更甚至考研時(shí)間到了，卻放棄了。當(dāng)然，放棄了，只有零希望，不放棄，說(shuō)不定有了一個(gè)質(zhì)的飛躍，你的人生又將是另一片天地。中華人民共和國(guó)成立后，為了保衛(wèi)國(guó)家安全、維護(hù)世界和平，我們要造原子彈，那時(shí)的狀況是一窮二白，但是我們卻擁有眾多愿報(bào)效祖國(guó)的優(yōu)秀科技工作者，其中好多是享譽(yù)國(guó)際的科學(xué)家，他們響應(yīng)黨和國(guó)家的召喚，將一顆愛(ài)國(guó)之心奉獻(xiàn)國(guó)家，克服了許許多多的艱難險(xiǎn)阻，最終取得了舉世矚目的輝煌成就。試想，如果我們國(guó)家僅僅因?yàn)楫?dāng)時(shí)貧窮，不去攻克這些世界上認(rèn)為我們一定搞不出來(lái)的尖端科技，今天我們的國(guó)家能夠令世界刮目相看嗎？“堅(jiān)持就是勝利”“鍥而不舍，金石可鏤”，成功一定在不遠(yuǎn)處等著你！

對(duì)于有的正項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，用比較審斂法可能不好判斷其斂散性，可以從自身考慮，選用比值審斂法（或達(dá)朗貝爾判別法），即：為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)（或）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

達(dá)朗貝爾判別法讓我們又想到現(xiàn)在流行病。當(dāng)流行病在全世界大流行時(shí)，各國(guó)基本上都為了避免境外輸入病例，采取了封國(guó)的政策，限制疾病較為嚴(yán)重國(guó)家的進(jìn)入。然而，當(dāng)今世界各國(guó)的發(fā)展都需要彼此依存，現(xiàn)在切斷了外來(lái)經(jīng)濟(jì)的往來(lái)，怎么辦，各個(gè)國(guó)家必須想辦法解決老百姓的衣食住行等民生問(wèn)題。我們國(guó)家提出了經(jīng)濟(jì)內(nèi)循環(huán)，并予以實(shí)施，現(xiàn)在我們國(guó)家人們生活基本上恢復(fù)了原來(lái)的現(xiàn)狀，經(jīng)濟(jì)正在逐漸好轉(zhuǎn)。事實(shí)說(shuō)明這是正確、合理和與時(shí)俱進(jìn)的。

三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的唯物思想

當(dāng)我們?cè)趯W(xué)習(xí)交錯(cuò)級(jí)數(shù)（un>0）時(shí)，知道任意前后兩項(xiàng)之間的符號(hào)必須相反。同學(xué)們立刻會(huì)想到之前學(xué)過(guò)的級(jí)數(shù)1-1+1-1+…+（-1）n-1+…，可以寫(xiě)成，滿(mǎn)足交錯(cuò)級(jí)數(shù)的條件，從而是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，隨即再給出級(jí)數(shù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)它雖然滿(mǎn)足的外形，但是當(dāng)我們仔細(xì)寫(xiě)成它的每一項(xiàng)時(shí)，去發(fā)現(xiàn)它并不符合交錯(cuò)級(jí)數(shù)的任意前后兩項(xiàng)符號(hào)的要求，所以它并不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)。

從這里可以想到我們的生活中，經(jīng)常會(huì)遇到類(lèi)似的現(xiàn)象或問(wèn)題。禮記大學(xué)曰“物有本末，事有終始，知所先后，則近道矣”。對(duì)待任何事物，我們都要抓住其本質(zhì)，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)。最終才能解決問(wèn)題。

四、絕對(duì)收斂與條件收斂的人生啟迪

在講絕對(duì)收斂與條件收斂時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)給出這樣幾個(gè)級(jí)數(shù)：，，，，以及之前的調(diào)和級(jí)數(shù)和p?級(jí)數(shù)（p>0）。通過(guò)學(xué)習(xí)，我們知道調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的;p?級(jí)數(shù)（p>0）在p≤1時(shí)發(fā)散，p>1時(shí)收斂;級(jí)數(shù)與是收斂的，但是其一般項(xiàng)取絕對(duì)值符號(hào)以后卻發(fā)散了，所以它倆是條件收斂。而對(duì)于級(jí)數(shù)與，其一般項(xiàng)取絕對(duì)值符號(hào)以后仍然是收斂的，所以它倆是絕對(duì)收斂。因此，在探究絕對(duì)值級(jí)數(shù)的收斂性時(shí)，我們先要清楚掌握到原級(jí)數(shù)的收斂性，其次利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)，最后建立一個(gè)與二者有關(guān)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，從而判斷此級(jí)數(shù)的是絕對(duì)收斂還是條件收斂。

從以上幾個(gè)級(jí)數(shù)的討論，事實(shí)上都可以說(shuō)是調(diào)和級(jí)數(shù)的形式上的改造。但是我們卻發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)改造以后，有的斂散性發(fā)生了改變，有的斂散性沒(méi)變，但是判斷斂散性的方法改變了。這讓我們又可以在生活中相似之處。比如隨著互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，我們的理財(cái)方式從單一的銀行的定期、活期存款，發(fā)展到購(gòu)買(mǎi)一些理財(cái)產(chǎn)品、股票、基金、理財(cái)保險(xiǎn)，再到現(xiàn)在琳瑯滿(mǎn)目的理財(cái)平臺(tái)，如支付寶都可以實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)的增值。當(dāng)然這個(gè)過(guò)程中，我們要擦亮眼睛，識(shí)別真?zhèn)危罱K實(shí)現(xiàn)收益。這告訴我們，事物都是發(fā)展的，當(dāng)遇到問(wèn)題時(shí)，我們一定要善于變通，靈活應(yīng)對(duì)，對(duì)癥下藥。俗話(huà)說(shuō)：變則通，通則活。

五、相關(guān)數(shù)學(xué)家們的百折不撓精神

在討論常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)，我們還可以介紹一些相關(guān)的理論背景和一些相關(guān)的數(shù)學(xué)家們，注意到所學(xué)到的級(jí)數(shù)理論都是一位位數(shù)學(xué)家懷著滿(mǎn)腔對(duì)數(shù)學(xué)熱愛(ài)之情，經(jīng)過(guò)一個(gè)漫長(zhǎng)而艱辛的歲月逐步發(fā)展、完善的。因此，一個(gè)人若想成功，做出一番事業(yè)，首先，你要先去熱愛(ài)它，因?yàn)橹挥心銦釔?ài)它，才會(huì)愿意付出行動(dòng)，因?yàn)闊釔?ài)，才會(huì)付出投入，因?yàn)闊釔?ài)，才會(huì)愿意堅(jiān)持。其次，你必須要有堅(jiān)強(qiáng)的毅力。忍耐和堅(jiān)持雖然是痛苦的事情，但是卻能漸漸地為你帶來(lái)滿(mǎn)滿(mǎn)的收獲。最后，借用魯迅先生的一句話(huà)，一起共勉：“不恥最后”，即使慢，馳而不息，縱令落后，縱令失敗，但一定可以達(dá)到他所向往的目標(biāo)！

六、結(jié)語(yǔ)

總之，身為講授數(shù)學(xué)課的老師，首先要熱愛(ài)我們的數(shù)學(xué)，然后以身作則，言傳身教，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)教師的人文素養(yǎng)，通過(guò)講述一些生活中最真實(shí)的事例，來(lái)闡釋數(shù)學(xué)課堂中一些被學(xué)生們認(rèn)為枯燥、難懂的內(nèi)容，這樣不但讓學(xué)生們感受到數(shù)學(xué)原來(lái)可以這么貼近生活，又可以讓學(xué)生們感受到思政無(wú)處不在。學(xué)生們?cè)跀?shù)學(xué)殿堂遨游的時(shí)候，不僅收獲到數(shù)學(xué)之美，而且還可以?xún)艋撵`，把握了正確的人生航向，讓其人生觀、價(jià)值觀、道德觀不斷提升。教師們也實(shí)現(xiàn)了教學(xué)的終極目標(biāo)—教書(shū)育人。

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