將等量關系符號化以突破初中數(shù)學方程應用題之案例分析

柯嘉嘉

【摘要】北師大版初中數(shù)學教材，從七年級上冊《一元一次方程》到八年級上冊《二元一次方程組》、下冊《分式與分式方程》再到九年級上冊《一元二次方程》，連續(xù)三年學習多種方程模型，可見方程問題在初中數(shù)學中起著重要的作用。特別是利用方程解決實際應用問題，更是初中數(shù)學的重點和難點。對此，筆者以歷年各省中考題為案例講述如何利用“將等量關系符號化”為突破口解決方程應用題。

【關鍵詞】初中;等量關系;數(shù)學符號;方程;應用題

數(shù)學來源于生活，又服務于生活。數(shù)學是一門基礎學科，初中數(shù)學主要由代數(shù)、幾何、統(tǒng)計學三部分組成，其中代數(shù)部分占據(jù)了半壁江山，在歷屆中考中分值占55-60分。其中，方程問題又是代數(shù)的重要組成部分，解方程問題、方程應用題都是每年中考的必考知識。根據(jù)多年的初中數(shù)學教學經(jīng)驗，筆者發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在的初中生由于生活經(jīng)歷缺乏、心智發(fā)育尚不成熟，導致利用方程解應用題成為學生學習中的主要難點。困難主要表現(xiàn)在：1.審題不清，思路不明;2.不會將文字數(shù)學化;3.方程種類多，不會正確選擇;4.懼怕方程應用題等。

一、突破方程應用題的方法和思路

筆者從“如何找準等量關系”及“如何將等量關系符號化”這兩個方面入手，以幾個不同類型的中考方程題為案例，簡要講述如何突破方程應用題的方法和思路。

眾所周知，解決方程應用題的基本思路是：1.審題;2.設元;3.列方程;4.解方程;5.檢驗;6.作答。其中，審題最為關鍵。審題，顧名思義，就是仔細讀題和分析，找出題中的已知量、未知量、隱含公式、等量關系等。但許多學生覺得應用題難，難在哪里呢？難就難在審題不清就草草下筆。

二、以歷年各省中考題為例，分析解決方程應用題的思路

初中階段的方程應用題有：一元一次方程、二元一次方程組、分式方程和一元二次方程。常見的題型有：1.工作（工程）問題：工作總量=工作效率×工作時間;2.利息問題：利息=本金×利率×期數(shù);本息和=本金×利息;3.行程問題：路程=速度×時間;其中包括：相遇問題、追及問題;4.利潤問題：利潤=售價-進價;，5.增長率問題：，n為增長次數(shù);6.方程在幾何題中的應用等。下面通過幾個典型例題以解釋如何引導學生進行分析，以及審題分析的思路：

類型一：一元一次方程應用問題

例1：（北師大版七年級上冊一元一次方程復習題3）兒子今年13歲，父親今年40歲，是否有哪一年父親的年齡恰好是兒子年齡的4倍？

分析：本題求一個未知量，而且只有一個等量關系，由此可判斷和選擇一元一次方程來解決問題。

已知量：兒子和父親現(xiàn)在的年齡;隱含條件：年齡的增減是同時增加或減少的，所以幾年前/后這個未知量是用于父親跟兒子同時的;

等量關系是：幾年前/后，父親的年齡是兒子年齡的4倍;

將等量關系寫為“文字加算式的形式”：父親現(xiàn)在的年齡+幾年前/后=4× （兒子現(xiàn)在的年齡+幾年前/后）

未知量：幾年前/后？將未知量設為未知數(shù)x;

將等量關系的算式形式改為方程：

父親現(xiàn)在的年齡+幾年前/后= 4 ×（兒子現(xiàn)在的年齡+幾年前/后）

即：40 + x = 4 ×（13+x），從而得到一元一次方程：40+x= 4×（13+x）

最后規(guī)范解題步驟，正確運算后作答即可完成此題。

類型二：二元一次方程組應用問題

例2：（2015年廣東省中考題）某電器商場銷售A、B兩種型號計算器，兩種計算器的進貨價格分別為每臺30元、40元。商場銷售5臺A型號和1臺B型號計算器，可獲利潤76元;銷售6臺A型號和3臺B型號計算器，可獲利潤120元。求商場銷售A、B兩種型號計算器的銷售價格分別是多少元？

分析：此題求兩個未知量，而且有兩個等量關系，故可判斷并選擇二元一次方程組來解決問題。

已知量：A種計算器進價30元/臺、B種計算器進價40元/臺;

隱含公式：單個利潤=售價-進價、總利潤=銷售量×單個利潤;

未知量：A、B兩種型號計算器的銷售價格？

將未知量設為：A種型號售價x元/個，B種型號售價y元/個;

等量關系：①銷售5臺A型號和1臺B型號計算器，可獲利潤76元。②銷售6臺A型號和3臺B型號計算器，可獲利潤120元。

將等量關系寫為“文字加算式的形式”：

5臺A型號計算器的利潤+1臺B型號計算器的利潤=總利潤;①

6臺A型號計算器的利潤+3臺B型號計算器的利潤=總利潤;②

將等量關系的算式形式改為方程：

5臺A型號計算器的利潤+1臺B型號計算器的利潤=總利潤;

即：5×（x-30） +1×（y-40） = 76 ①

6臺A型號計算器的利潤+3臺B型號計算器的利潤=總利潤;

即：6×（x-30）+3×（y-40） = 120 ②

從而得到二元一次方程組：

最后規(guī)范解題步驟，正確運算后作答即可完成此題。

類型三：分式方程應用問題

例3（2016廣東省中考題）某工程隊修建一條長1200m道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，結(jié)果提前4天完全任務。

（1）求這個工程隊原計劃每天修建道路多少米？

（2）在這項工程中，如果要求工程隊提前2天完成任務，那么實際平均每天修建道路的工效比原計劃增加百分之幾？

分析：本題也是求一個未知量，而且也只有一個等量關系，但所求未知量是工作效率，知道工作總量，要表示工作時間，則要用到分式：工作總量/x;所以可判斷和選擇分式方程來解答問題。

已知量：工作總量1200m、工效提升50%、工作時間減少4天;

隱含公式：現(xiàn)工效=原工效×（1+50%）、;

未知量：原工作效率、現(xiàn)工作效率、原工作時間、現(xiàn)工作時間;

根據(jù)題目第一問：求原工效，則可直接設原工效為x （m/天）;

由現(xiàn)工效=原工效×（1+50%）可得：現(xiàn)工效=1.5x （m/天）;

等量關系：提升工效后總工作量提前4天完成;

將等量關系寫為“文字加算式的形式”：原工作時間-現(xiàn)工作時間=4天將等量關系的算式形式改為方程：

最后規(guī)范解題步驟，運算后作答即可完成此題。需要提醒學生注意的是：在分式方程中，因為未知量在分母，運算過程將分式化為了整式人為擴大了未知量的取值范圍，所以求出方程的解后要有檢驗步驟，以判斷方程的根是否為增根。第二問在第一問求得原工效的基礎上利用：原工作時間-現(xiàn)工作時間=2天來列方程，思路與第一問類似因此不作重復分析。此題亦可利用設工作時間為未知量，用工作效率為等量關系列方程，在此不作詳細解釋。

類型四：一元二次方程應用問題

例4：（2017年深圳市中考題）一個矩形周長為56厘米，①當矩形面積為180平方厘米時，長和寬分別多少？②能圍成面積為200平方厘米的矩形嗎？請說明理由。

分析：此題需求兩個未知量，有兩個等量關系，但其中一個等量關系是“和”，另一個等量關系是“積”，因而，可判斷和選擇一元二次方程來解答問題。

已知量：矩形周長56厘米、矩形面積180平方厘米、矩形面積200平方厘米;

隱含公式：矩形周長的=2（長+寬）、矩形面積=長×寬;

未知量：矩形的長與寬？由第一問求矩形的長和寬，可設長為x厘米，根據(jù)周長公式，可得到表示矩形寬的代數(shù)式為（28-x）厘米;

等量關系：長×寬=矩形面積

將等量關系的算式形式改為方程：x·（28-x）=180

最后規(guī)范解題步驟，正確運算后作答即可完成此問，第二問與第一問所用的等量關系類似，區(qū)別在于列出方程以后需要利用根的判別式判斷此方程是否有根。

三、結(jié)束語

根據(jù)上面對幾類中考例題的分析，可以反思和總結(jié)得出“將等量關系符號化”的分析思路：首先是審題，通過仔細審題將題中的已知量、隱含公式、等量關系找到，并將等量關系用文字加算式的方式寫出來;其次是設元，設元分為兩種，直接設元與間接設元（在有些應用問題中，因為未知量較隱含，不宜直接設元，則用間接設元法），因此，設適當?shù)奈粗獢?shù)是將文字形式的等量關系轉(zhuǎn)化為方程的關鍵;最后就是根據(jù)列方程解應用題的規(guī)范，按要求作答。

總之，用“等量關系符號化”解方程（組）應用題時，要將應用題的難點逐一分化擊破，讓學生掌握分析方法，使學生在思考實際問題時把思路理得更順，理得更加清晰。誠然，筆者所述方法并不是解決方程應用題的唯一方法。在教學中，教師還要從各個角度去思考如何使學生在學習應用題時，有方法、有思路、有效果，愿意迎難而上。只有讓學生在學習應用題時形成良好的審題習慣，掌握有效的分析方法，養(yǎng)成堅韌不拔的優(yōu)良品格，才能讓學生在解答方程應用題的這條道路上走得更快、更好、更遠。

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