從經(jīng)歷到經(jīng)驗，巧用“數(shù)形結(jié)合”解決小學數(shù)學問題

關(guān)少清

【摘要】“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學思想，也是解決數(shù)學問題的有效策略。在小學數(shù)學教學中應用“數(shù)形結(jié)合”，可以使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化。本文主要圍繞“數(shù)形結(jié)合”思想，分別從以“數(shù)”解“形”、以“形”助“數(shù)”、“數(shù)形結(jié)合”三方面展開論述。旨在說明“數(shù)形結(jié)合”是學好數(shù)學的一把金鑰匙，可以促進學生問題解決策略的形成，逐步提高解決問題教學的有效性，全面提高小學生的數(shù)學素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學;問題解決;數(shù)形結(jié)合;策略;思想

《數(shù)學課程標準》在“解決問題”的總體目標上指出要“形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題的策略的多樣性，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神。”小學作為學習的啟蒙和基礎(chǔ)階段，教師應該以培養(yǎng)學生的數(shù)學素質(zhì)為主，數(shù)學思想為重。而數(shù)學思想有很多，數(shù)形結(jié)合就是其中一種重要的思想方法，同時也是一種解決問題的有效辦法，它是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化、相輔相成來解決數(shù)學問題的一種思維策略，使復雜的數(shù)學問題簡單化，抽象的問題具體化。

數(shù)學家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。”因此，在小學數(shù)學教學中應該滲透以及應用“數(shù)形結(jié)合”策略，借助圖形的形象性和直觀性研究數(shù)學問題，有助于小學生加深對數(shù)學知識的理解，從小培養(yǎng)良好的數(shù)學素質(zhì)，為初中、高中的學習打好扎實的基礎(chǔ)，作好銜接的準備。下面，筆者就“數(shù)形結(jié)合”在解決小學數(shù)學問題中的重要地位作簡單的探討。

一、以“數(shù)”解“形”，培養(yǎng)學生觀察力

以“數(shù)”助“形”是數(shù)形結(jié)合思想的其中一種運用方式，即借助所給的圖形，仔細觀察，從而得出圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系，尋找有規(guī)律的數(shù)學，培養(yǎng)學生多角度、多方面洞察問題的思考習慣，提高解決問題的能力。對于低年級的小學生而言，他們開始接觸數(shù)學的時候都是借助大量的圖畫、形狀、實物作為學習背景，支撐他們更好地理解數(shù)學知識。比如，一年級的解決問題，根據(jù)小學生的年齡特征和思維特點采用各種各樣的小動物、圖形等作為解決問題的直觀材料，讓小學生一看到算式就聯(lián)想到圖形，看到圖形能聯(lián)想到算式，可以切實、有效、直接地幫助他們正解理解加減法的意義。通過這樣培養(yǎng)學生對圖形數(shù)量關(guān)系的觀察和分析能力，為以后掌握解決問題的技巧和本領(lǐng)打好基礎(chǔ)。

二、以“數(shù)”解“形”，培養(yǎng)學生的嚴謹性

下面試著列舉巧數(shù)圖形的例子，只想說明一點就是以“數(shù)”助“形”不但能使計數(shù)結(jié)果更周全、更嚴密，在一定程度上還可以培養(yǎng)學生思維的嚴謹性。在小學階段數(shù)圖形的類型有很多，包括數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)長方形、數(shù)三角形、數(shù)平行四邊形等。而圖1、圖2、圖3都屬于有明顯規(guī)律的數(shù)圖形，像圖4是屬于規(guī)律不明顯的數(shù)圖形。其實不管什么樣的圖形，都必須掌握數(shù)數(shù)的方法，從數(shù)學角度來說就是要“數(shù)形結(jié)合”。像圖1數(shù)線段時，可以根據(jù)左端點進行分類。以A為左端點的線段為AB、AC、AD，共有3條;以B點為左端點的線段為BC、BD，共2條;以C點為左端點的線段有CD，共1條，以D點為左端點的線段不存在。因此共有3+2+1=6（條）線段。圖2數(shù)角的個數(shù)和圖3數(shù)三角形的個數(shù)同樣需要按一定的順序去數(shù)，可以采用與數(shù)線段類似的方法，在這里就不作詳細說明了。像圖4可以采用按基本圖形組合的方法來數(shù)平行四邊形，把圖中一個平行四邊形看作1個單位的基本圖形。由1個單位構(gòu)成的平行四邊形有5個;由2個單位構(gòu)成的平行四邊形有5個;由3個單位構(gòu)成的平行四邊形有1個;由4個單位構(gòu)成的平行四邊形也有1個;由5個單位或以上構(gòu)成的平行四邊形不存在。所以圖4共有5+5+1+1=12（個）平行四邊形。當然前面提到的用以“數(shù)”論“形”的方法來發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律需要教師和學生共同去摸索和推導。在教學活動中，教師可通過小組合作學習的形式讓學生經(jīng)歷自主探究的思考過程，培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學思維的同時，讓學生們真正體會到學數(shù)學的趣味和價值所在。

三、以“形”助“數(shù)”，把數(shù)學問題直觀化、形象化

小學生正處在以形象思維向抽象思維過渡的發(fā)展期。在問題解決過程中，學生通過作一些線段圖、集合圖、路線圖、立體圖形等，可有效把數(shù)學問題直觀化、形象化。畫圖作為輔助工具，在小學數(shù)學中例子有很多。從教材內(nèi)容來看，如，三年級下冊“數(shù)學廣角”的集合問題：班上的學生每人參加一個課外小組，有21人參加了歌唱組，有28人參加了書法組，有6個學生兩個小組都參加了，求班上有多少個學生？

借助畫圖，數(shù)學問題一下子變簡單多了，圖中學生會容易看到中間的6人是重復計算的部分，求班上的總?cè)藬?shù)時應該減去那部分人數(shù)，所以算式為21+28-6=43（人）。在教師的引領(lǐng)下，讓學生自主地利用以“形”助“數(shù)”的方法去解決不同的數(shù)學問題，比起教師苦口婆心地解說、分析，效果要好得多。或許一開始學生會不習慣利用作圖來解答，但只要教師耐心地多創(chuàng)造一些機會讓他們體驗數(shù)形結(jié)合的樂趣，相信學生們會很快就喜歡上這種解決問題的策略辦法。

此外，像四年級的烙餅問題，五年級下冊求物體表面積、體積、路程問題，及至六年級的數(shù)學問題——“雞兔同籠”等都可以引導學生通過畫圖來幫助思考，這樣對于正確理解和分析問題的數(shù)量關(guān)系也有很大的幫助。

四、以“形”助“數(shù)”，幫助學生分析數(shù)量關(guān)系

“數(shù)形結(jié)合”除了能使問題的數(shù)量關(guān)系變得直觀，在分析問題的過程中，把“數(shù)量問題”轉(zhuǎn)化為“圖形問題”，更有助于學生正確分析數(shù)量關(guān)系。

如，遼寧省撫順市民主小學的王麗紅教師在教學《植樹問題》一課時，充分引導學生主動尋找解決問題的策略——數(shù)形結(jié)合，有效突破了這節(jié)課的重難點。下面與大家分享一下王老師在課上所做的一些有益的嘗試：（1）滲透數(shù)學思想，埋下伏筆。一開始，王老師引入右邊的植樹情題圖，并出示例題，與教材相比隱去了“兩端都要栽”的提示，為學生開放性思考提供了很好的平臺。在學生嘗試解決這一問題的過程中，果然出現(xiàn)了多種不同的做法。有的認為100÷5=20（棵），有的認為100÷5+1=21（棵），有的認為100÷5+2=22（棵），他們都據(jù)理力爭。在王老師的鼓勵和引導下，學生想到了運用畫圖幫助自己說明理由，可見在第一環(huán)節(jié)的教學中已滲透了數(shù)學結(jié)合思想方法。由于在前面的爭論中，學生已經(jīng)對植樹問題有了一個整體的認識，所以，當王老師完整呈現(xiàn)例題，補充了條件（兩端都要栽）以后，學生很快就做出了完美的解答。（2）引導學生主動尋找解決問題的策略——數(shù)形結(jié)合。在教學過程中，畫圖的方法都不是教師直接給出的任務，更多起源于學生思考的需要，當拓展到敲鐘問題時，教師同樣不失時機地又一次引導學生回想前面用過的策略——畫圖，學生借助畫線段圖1個點表示敲一下，兩點的間隔表示鐘敲響后延長的時間。通過這樣分析，學生思路清晰了，難題也就不攻自破了。

學生真實地體驗到畫圖能有效幫助自己分析題意，難道還愁學生在以后解決問題過程中不用這個方法嗎？只要學生體會到數(shù)形結(jié)合思想在解決問題過程中所發(fā)揮的重要作用，相信學生在今后將更有動力、更有信心學好其它數(shù)學思想方法，使他們受益終生。

五、深化“數(shù)形結(jié)合”，拓展學生的思維能力

從研究來看，數(shù)形結(jié)合思想同時運用了人體大腦左、右半腦的功能，能有效培養(yǎng)學生的直觀思維能力，促進邏輯思維能力的發(fā)展。在教學過程中，教師要深化“數(shù)形結(jié)合”策略就要讓學生充分領(lǐng)略策略的價值和意義，如果學生只是了解到運用策略能夠解決一些典型問題，顯然這樣的體驗是不夠的。在教學策略時，教師可設計一些一題多解、具有探索性的數(shù)學問題，讓學生在解決的過程中進一步明白到策略思想背后有著更強大的現(xiàn)實意義。筆者在教學人教版數(shù)學四年級上冊第3單元“積的變化規(guī)律”時，充分利用教材提供的習題進行一題多變，引導學生通過數(shù)學結(jié)合，結(jié)果思路很快就理順了，收到了很好的教學效果。題目是這樣的：

2.下面這塊長方形綠地的寬要增加到24米，長不變。擴大后的綠地面積是多少？

當時，學生自主閱讀完題目后，幾乎一下子都想不出辦法來。經(jīng)過引導，部分學生根據(jù)題意能夠?qū)κ疽鈭D作進一步補充，如下圖所示。

結(jié)合圖形來思考，多數(shù)學生的思路都清晰了，并能分析長方形綠地的長由始至終都不變，變化的是寬的長度增加到原來的3倍，與原來花圃面積相比，擴大后的面積就是原來面積的3倍。學生很快就能結(jié)合新知識——“積的變化規(guī)律”列出算式：24÷8=3，560×3=1680（平方米），有的學生還是利用舊知識先求出長方形的長：560÷8=70（米），再求擴大后的面積：70×（8×3）=1680（平方米），當時兩種做法教師都充分肯定了，大家也知道第一種方法更優(yōu)化。小結(jié)了一番后，學生們都有所感悟，難能可貴的是他們在反思中體驗到畫圖策略的價值，學習興趣和熱情因此而變得更濃厚了。

接著，教師繼續(xù)變換情境，讓學生試做：“公路邊原來有一個長方形魚池，長4米。因為修建公路的需要，魚池的長增加到原來的2倍，這樣魚池的面積就增加了32平方米。求原來魚池的面積是多少平方米？”與教材的習題相比，這題屬于拓展題，目的在于讓學生感悟畫圖策略在解決有挑戰(zhàn)性問題中發(fā)揮的作用。果然學生在草稿紙上作出如圖后，難題就迎刃而解了。

當然，面對不同的數(shù)學問題要選擇不同的解決策略，“數(shù)形結(jié)合”雖然很實用，但它也不一定都適用于各類型數(shù)學問題。像猜想、類比、倒推、列表、驗證等都是重要的思想策略方法，在數(shù)學學習中教師都可以適當點拔和引導學生嘗試采用。

“問題是數(shù)學的心臟”，學習數(shù)學離不開解決問題，但解決問題不是最終目的，它是為了學生能夠加深對知識的理解，提高問題解決的策略意識，提高思維能力、培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力。以上對小學生數(shù)學問題解決策略——數(shù)形結(jié)合思想的分析研究旨在說明“數(shù)形結(jié)合”是學好數(shù)學的一把“金鑰匙”，教師要從數(shù)學發(fā)展的全局著眼，從具體的教學過程著手，有目的、有計劃地在教學過程中滲透各種數(shù)學思想方法，逐步提高數(shù)學問題解決教學的有效性，全面提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]趙繼敏，陳樹宇.“植樹問題”教學實錄與評析[J].廣西教育，2006（12A）：2.

[2]楊佩.數(shù)形結(jié)合思想在小學數(shù)學教學中的滲透[J].讀與寫：教育教學刊， 2018（6）：1.

責任編輯? 劉? 勇