在活動中學數學，在思考中促思維

邱少芬

【摘要】當前數學教材編入了一些拓展知識的選學內容，但由于教學資源、教學條件的限制和升學壓力的影響，在實際數學教學中常常被忽略掉。本文以人教版初中數學活動課《填幻方》為例，闡述教師該如何對待以及上好初中數學活動課，從而引發教師更好地開展初中數學活動課有新的認識和思考。

【關鍵詞】初中數學;活動課;幻方;學習興趣;思維能力

當下的初中數學教材，與舊的版本相比較，增加了數學基本活動經驗，可是，有的教師在平時的教學中開設數學活動課的頻率并不高，對綜合與實踐類課程的教學進行淡化處理。雖然數學活動課的內容并非考綱里要求的必考點，可是它的存在絕非沒有意義。用人教版主編章建躍博士的話來說：“這些選學欄目，開闊了學生的視野，為學有余力的學生提供了豐富的學習素材;對培養學生的自主學習能力，數學能力等都有很好的作用。”在多年的初中數學教學實踐中，筆者也越來越感受到活動課的開設是改善教學質量，提高教學效率的有效途徑。下面以新人教版《數學》七年級上冊第21頁《填幻方》為例，來講講關于開展數學活動課的一些具體做法。

一、主要教學環節實錄

1.環節一：巧設情境，激趣導入

師：同學們，你們在電視上看過《最強大腦》嗎？

生：（很多人）看過.

師：那你們有沒有看過節目挑戰“七階幻立方”呢？接下來，老師請大家來觀賞。

（學生充滿了好奇）

視頻大概內容：古有幻方，今有幻立方。立方體內均勻排布343個小立方格，嘉賓隨機將起點數字1放入除中心點外的任意一個小立方格里，挑戰者確定原點后，需將2至343的自然數，填入剩余的位置，最終使得幻立方以x，y，z三軸視角，每層的每行每列每條對角線，以及立方體的體對角線上，七數之和均為1204，最終全部正確，挑戰成功。（學生們一片驚嘆）

師：如此復雜的七階幻立方，這位挑戰者成功了嗎？我們現在不知道，但是他一定是從“三階幻方”開始挑戰的。（引出新課課題）

設計意圖：學生都喜歡做游戲，因此通過播放學生比較喜歡的電視節目《最強大腦》挑戰片段“七階幻立方”，有效地吸引了學生的注意力，激發學生學習的興趣，同時，創設愉快的教學環境，可以使得學生的學習效果最大化。

2.環節二：新知學習，合作探究

師：什么是三階幻方呢？一般地，一個三行三列的正方形方格中，每一橫行、每一豎列和對角線上的數字和都相等，這樣的數字方陣稱為三階幻方，并且我們把這個相等的和就叫做幻方。根據概念，你能否判斷下列方陣是否是三階幻方呢？如何判別？

生1：第1個方陣不是幻方。它的第1列的和是19，第2列的和是11，不相等。

生2：第2個方陣是幻方。因為它所有的行，列和對角線，三個數的和都是15，幻和是15。

師：正確。你們敢挑戰一下填幻方嗎？（學生躍躍欲試）

師：游戲：將1，2，3，4，5，6，7，8，9這些數填到表格中，使得每一行，每一列，每一條對角線的三個數字和都是15（幻和）。

請同學們先獨立思考，再請每個小組成員之間進行合作，探究總共能有幾種填幻方的結果？（獨立思考結束后，各小組學生圍站在一起，拿出提前準備好的大方陣紙，討論填法）

（學生上臺展示）

設計意圖：在新知學習后，這是一個開放性的環節，學生在掌握了概念后，就要嘗試填寫1-9個數字的幻方，難度不小，但是實踐證明，學生的創造力是我們所想象不到的。各小組學生經過獨立思考、自主探究和合作討論后，生成了多個填法，在各小組互相補充后，這個問題的八種填法全部展示出來。

3.環節三：交流反饋，探索規律

師：同學們展示了8種填法，這也是全部的填法。欣賞大家的成果，你能否找出它們之間的聯系呢？

（探究與交流后由小組代表上臺展示）

生3：我們小組通過交流，發現了圖二至四都是由圖一旋轉而成的。

生4：我們小組通過討論，大家都發現圖五至圖八是圖一通過對稱得到的。

師：同學們太棒了。實際上，圖一至圖四，是一種旋轉的研究方法，而圖一與圖五至圖八，就是一種對稱的研究方法。那我們能否認為，這八種填法，實際上就是同一種三階幻方呢？

（學生就此進行分析，容易得出結論：這是同一種三階幻方）

師：正因為這實際上是同一種幻方，所以不管同學們用哪一種填法，里面還是有規律可循的，你發現了嗎？為了便于講述，我們可以統一把9個格子中，藍色格子稱為角格，白色格子稱為邊格，最中間灰色的格子稱為中間格。

（學生在充分思考后，圍站到一起進行探究、討論）

師：老師發現了一個結果，大家看看是否正確。我認為，幻和=9個數的總和÷3。

生5：正確。因為每一行的和就是幻和，那么總共三行九個數的總和，就是三個幻和的和。

師：這位同學的思維非常清晰和敏捷，還有其它發現嗎？

生6：我發現8種填法的共同特點是，它們的中間格都是5。

生7：而且它們的中間格5都剛好是幻和15的三分之一。

師：同學們還能找到什么特點嗎？例如，幻方的角格填的都是什么樣的數字呢？

生8：我看到它們的角格都是偶數，邊格都是奇數。

師：能否通過邏輯推理的方式來證明你們這些結論對于一般的三階幻方也能成立呢？

設計意圖：引導學生對“三階幻方”數字特征進行規律探索，特別強調，不僅要求學生能發現填法的規律，而且還要能用邏輯推理的方法進行證明。對于幻方的填法，有的學生在小學就已經能填了，但是主要是一種記憶法，“知其然而不知其所以然”，這樣對學生的邏輯數學能力的提高并沒有太大的幫助。而數學的魅力，正是在邏輯推理的過程中體現，學生的能力，也是在邏輯推理的過程中不斷提高。這是本環節的意義所在，“知其然，知其所以然”。

4.環節四：拓展應用，競爭提高

師：同學們，如果讓你重新完成這個1-9的三階幻方，你會怎么填？請你開始動手。

生9：我先把5填在中間格，再結合幻和的計算，把四個偶數正確填在角格，最后補上邊格的奇數。

師：接下來我們一起來玩個數字游戲。規則：在空格處填上合適的數字，使各行、各列、各對角線上的數字之和都相等.各小組競賽，每答對一題，該小組獎勵5分。

第一關：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?第二關：

第三關：

第四關：

將1、2、3、6、7、8、11、12、13九個數填入下圖的九個方格里，使每行、每列、每條對角線上的三個數的和都相等。

第五關：

將-4，-3，-2，-1，0 ，1 ，2 ，3 ，4九個數填入下圖的九個方格里，使每行、每列、每條對角線上的三個數的和都相等。

設計意圖：探索了“三階幻方”的數字規律后，繼而用游戲的方式向學生展示了五道變式的題目，難度由低到高，充分調動了學生的思考積極性，讓學生感覺到“學數學”不是一種負擔，從而保持一種“我要學”的狀態。

5.環節五：幻方文化，源遠流長

師：接下來，老師給大家介紹一下幻方文化。三階幻方，只是幻方中簡單的一種。一般地，一個n行n列的正方形方格中，每一橫行、每一豎列和對角線上的數字和都相等，這樣的數字方陣稱為n階幻方。例如我們還有四階幻方，五階幻方，六階幻方等等。

師：公元前三千多年，有條洛河經常發大水，夏禹帶領百姓去治理洛河，這時，從水中浮起一只大烏龜，龜背上有一張奇特的圖案，這就是傳說中的“洛書”。經過研究發現，洛書所呈現的，就是我們今天所說的三階幻方。

師：宋代數學家楊輝通過研究幻方，還概括出一個填法，稱為“楊輝法”。“楊輝法”的內容是：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。意思就是“先將l、2、3、4、5、6、7、8、9九個數依次斜排，然后數字1和數字9對調，數字7和數字3對調，最后將數字2、數字4、數字6、數字8放在最外層，于是三行三列的矩陣就是三階幻方了”。而在我們剛才一開始所觀看的視頻中，這位挑戰“七階幻立方”的挑戰者，最終也成功了！聽完老師的介紹，同學們有沒有什么感觸呢？

生10：幻方文化在我們中國源遠流長。

生11：我為中國的文化感到驕傲和自豪。

設計意圖：一方面讓學生體會到從古到今人們都對幻方有著濃厚的興趣，只要你愿意，你也可以稱為其中的一份子;另一方面，讓學生們感受到我國古人對幻方很早就有了認識，激發學生的民族自豪感。

6.環節六：任務布置，引發思考

探究：（1）若用一個長方形框子在月歷中任意框出9個日期數，這9個數能否構成三階幻方呢？什么樣的9個數才可以滿足三階幻方的要求呢？說說你的道理。（2）查閱更多關于幻方的資料，了解幻方的歷史和發展。（3）嘗試用25個數構造一個五階幻方。

設計意圖：以此任務，引發學生課外對幻方更深入的研究，激發學生思考的延續性。

7.環節七：小結（略）

二、教學反思

在決定上“填幻方”這個內容后，筆者通過網絡查資料學習弄懂了很多問題。通過這節課的授課，也是有很大的感觸。

首先，數學教材選學內容的設置，是對數學常規教學的一個很好的補充。它并不是簡單的“數學+活動”或者為了活動而活動，而是蘊含著極其豐富的內涵，學生在活動中學習數學，更能調動學習的興趣和信心，發展相應的數學思考能力，實現數學思維與數學素養的融合。其次，幻方填法的研究是一個很值得大家研究和探索的領域，它對實際生活和科學等領域都有著一定的作用，所以，教師應該給予關注，引領學生獲得不同的發展。

這樣的課程，融入了對學生進行數學史的教育，數學思想方法的滲透，對學生的數學觀察、發現、思考、歸納等方面進行了引導，致力于通過數學活動激發學生學習數學的積極性和興趣。希望這樣的活動課程，能夠引起教師們足夠的重視。

參考文獻：

[1]仲秀英.促進學生積累數學活動經驗的教學策略[J].數學教育學報，2010（5）：36-39.

[2]王新民，王富英，王亞雄.數學“四基”中“基本活動經驗”的認識與思考.數學教育學報[J].2008（3）：18.

[3]吳鶴齡.好玩的數學：幻方及其他[M].科學出版社，2003.

責任編輯? 胡春華