基于APOS理論的小學數學概念教學設計

李芳

摘 要：數學概念具有對象和過程的兩重性，它既是邏輯分析的對象，又是具有現實背景和豐富寓意的數學過程[1]。因而，數學概念的教學既要讓學生發現概念的本質，也應該讓學生體驗到概念的形成過程。本節課以APOS理論為載體進行教學設計，符合當前的教學趨勢，能夠為概念教學提供一些借鑒。

關鍵詞：概念; APOS理論; 教學設計

中圖分類號：G623.5 ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1006-3315（2021）1-100-002

一、APOS理論概述

APOS理論是美國數學教育家杜賓斯基基于皮亞杰的建構主義而提出的數學學習理論，指出學生在學習數學概念時會主動地進行心理建構。這里的心理建構過程包含操作階段（Action）、過程階段（Process）、對象階段（Object）、圖式階段（Schema）四個階段，APOS則是由這四個階段的英文單詞首字母組成。該理論認為，在數學學習中，如果引導學習者經過活動操作、思維過程和形成對象三個階段后，個體一般就能經過建構、反思把它們組成綜合的圖式從而厘清問題情境、順利解決問題[2]。這四階段對于數學概念的學習來說缺一不可，忽略任何一個階段都會影響學生對概念的掌握，所以在具體教學活動中要遵循概念學習過程的整體性以實現概念的完整建構。

APOS理論主要是針對數學概念的學習而提出的。理論強調數學概念的學習，首先要有一定的現實背景，并在此基礎上進行活動，從而獲得一定的知識和經驗，在自我反思的基礎上對概念的現實背景和形式定義進行綜合，建構起數學概念[3]。這四個階段都有著各自的內容和含義，也可以說每一階段的概念教學，教師都有相對應的教學任務。在活動階段，教學活動可以從實際的動手操作或者內在的思維操作兩個方面入手，讓學生建立初步的認知;在過程階段，教師可以適當延長對此部分的教學，耗時多一點，可以有助于學生掌握住這個概念的核心內涵;在對象階段，可以通過設置練習，讓學生形成完整的知識鏈，進行更高層次的操作;最后的圖式階段，教師則應及時引導學生自主建立圖式，完成對數學概念的學習。

二、APOS理論指導下《比的認識》概念教學的前期分析

（一）運用APOS理論進行比的認識的可行性

1.學生學習“比”的困難分析。比的知識可以幫助學生解決生活中廣泛應用的按比分配的實際問題，比例又有助于人們更好地認識現實世界、預測未來。小學六年級是學生首次接觸比的概念，雖然有的學生在生活中已經接觸或使用過比，并且有與之相關的活動經驗，但是學生對比的理解僅僅停留在形式上，學生理解起比的意義比較困難。

在“比的認識”的初步認識教學中，學生感到困難的地方在于要經歷從具體的情境中抽象出比的意義的過程。例如，學生已有的學習經驗中“長方形的長和寬之間的比”“正方形周長與邊長的比”“斜坡的比”等是不夠豐富抽象出概念的，可以結合現實背景運用“路程、時間、速度”和“總量、單價、數量”這兩個非常重要的模型，引導學生結合數量關系的理解，豐富對比的認識。

2.APOS理論的自身優越性。APOS理論的活動階段讓學生在反復的操作中形成對數學概念的感性認識，這有助于培養學生的形象思維能力;程序階段注重學生自身的心理建構，在不斷反思抽象過程中有利于提升學生的數學發現能力與反思意識;對象階段需要將數學概念壓縮成具體的對象去實施運算，培養六年級學生對數學概念的應用意識、應用能力;圖式階段學生通過對數學概念的整理、歸納，刺激學生數學思維能力的發展，并且在不斷建構數學概念體系過程能夠提升六年級學生運用數學知識的能力。在比的概念學習中，學生首先通過現實情境或者操作感知比的概念，在頭腦中建立起對“比”的初步的表象，接著用語言去歸納總結出比的概念，并進一步理解比的意義，在此基礎上進行應用。由此可以看出，APOS理論適用于比的認識的概念教學。

（二）教學內容分析

《比的認識》是北師大版數學六年級下冊的學習內容，這部分是在學生已經學過分數的意義以及分數的除法的基礎上學習的。由于剛一接觸“比”，學生真正理解并記住比的概念會非常的困難，因而教材中密切聯系了學生已有的生活經驗和學習經驗，設置了相關系列情境，引發了學生的討論與思考，并在此基礎上抽象出比的概念，使學生體會引入比的重要性以及在現實生活之中比的廣泛存在。這一系列情境的設置由淺入深地引導學生在獨立思考、實際操作以及合作交流中，體會生活中存在兩個數量之間“比”的關系，并且逐步理解“比”產生的背景，理解“比”的意義。掌握比的概念和意義，為以后進一步學習圓周率、百分數、統計以及比例奠定基礎。掌握比的概念需要進一步發展學生對分數和除法的認識，溝通起來知識之間的內在聯系，有利于學生把相關知識發展梳理成連貫的脈絡。

（三）教學目標分析

在進行教學設計之前，首先要明確一個問題：學習者能夠通過本節課的學習學會什么？教學目標的設置能夠很好地回答這一問題。教學目標既是教學設計的目的，也是前提條件。因此我們需要對研究對象的教學目標有一個清晰的把握。

知識與技能目標：經歷從具體情境中抽象出“比”的過程，理解比的意義，能正確讀寫比，會求比值;過程與方法目標：學生經歷探索比與分數、除法關系的過程，理解比與除法、分數的關系;情感態度與價值觀目標：學生在活動中培養分析、綜合、抽象、概括的能力，在解決實際問題中體會比在生活中的廣泛應用，感受比的價值。

（四）教學重點與難點

教學重點：比的概念理解

教學難點：理解比的意義以及比與分數、除法的關系

三、APOS理論下《比的認識》的教學設計

（一）活動階段

1.創設情境，激發興趣。師：一天，笑笑到王阿姨家做客，王阿姨用蜂蜜和水調了一杯蜂蜜水給她喝，甜味適中，非常美味。幾天后，笑笑家來了幾位好朋友，她也想調制蜂蜜水用來招待客人。可是，蜂蜜水應該怎么泡呢？她打電話給王阿姨，王阿姨說：“我是把10毫升蜂蜜倒入90毫升的水里，上下搖晃均勻，就可以了。”

2.聯系舊知，引入概念。師：這一杯甜度適中的蜂蜜水是怎樣調制的呢？最重要的是什么呢？

師：大家找到調制蜂蜜水的方法這么多，蜂蜜的量在變，水量也在變，為什么調制出的蜂蜜水依舊“甜味適中剛剛好”呢？

【設計意圖】活動階段，個體通過一步一步的外顯性指令去改變一個客觀的數學對象。教師通過具體的生活情境引發學生思考，使學生真實的感受到“比”在生活中的真實存在。本環節一方面使學生認識到數學與實際生活的聯系，達到更好的教學效果;另一方面又能聯系以前學過的知識表示兩個量之間的關系，同時也為新知“比”也可以表示兩個量之間的關系做了鋪墊。

（二）過程階段

1.動手操作，加深理解。師：用圖示表示“1[∶]9”深化理解。分一分，涂一涂表示出這個比。從這幅圖中你還能想到誰和誰的比是1[∶]9？

2.類比聯結，內化概念。師：從剛才的探究中，我們確實可以看出，比就是表示倍數關系。同時呀，只要是兩個數是相除的關系都可以用比來表示。回顧我們之前所學過的知識，你能想到那些可以用比來表示的例子呢？

師：總價÷數量=單價，路程÷速度=時間等這些都可以用比來表示。具體來說，例如總價÷數量=單價，總價是18元，數量是4個，這時我們說總價和數量的比是9[∶]2。

師：每一個比值又分別表示什么？比有時表示倍數關系，有時又可以表示一種具體的量。

【設計意圖】過程階段，當活動經過多次的反復訓練，進而被學習者所熟知，可以內化為一種稱為“程序”或“過程”的心理操作。在這個階段，我們要設置由淺到深的問題，不斷的引導學生進行思考，通過對比聯結，使學生進一步完善對比的認識。在概括比的意義時，重點強調了比與除法、分數的關系，使學生對比的意義的本質有所理解。一方面引導學生自己的語言來概括自己對“比”的理解，另一方面類比聯結使學生對“比”的本質進一步內化。

（三）對象階段

1.概念總結，鞏固練習。師：剛剛我們一起研究了“比”的相關知識，你能用自己的話來說一說你是怎么理解“比”的嗎？同學們說了這么多自己的想法，有很多相同點。老師已經呈現在黑板上了，誰能結合板書的內容，用數學語言來描述你認識的“比”？生活中也有豐富的“比”，你發現了嗎？可以嘗試舉例嗎？

師：找生活中的比，例如，人民幣與美元的匯率是6.7150，國旗的長與寬的比是3[∶]2，嬰兒的頭長與身高的比大約是1[∶]4。生活中的比是廣泛存在的。

【設計意圖】對象階段，將基礎概念或概念組按嚴謹的關系連接詞，組成目標概念出現在學習者頭腦中，并對其實施各種心理操作的過程。設置突出概念本質的變式訓練以及解決實際問題的綜合練習，有助于幫助學生鞏固本節課的所學，將孤立的知識點串接起來形成知識鏈。

（四）圖式階段

師：同學們，一節課就要結束了，通過本節課的學習你們都收獲了什么呢？生活中有豐富的數學，希望同學們都能夠用心地去發現去探索。

【設計意圖】圖式階段，是概念教學的最后一個環節，也是學生對所學內容進行總結和提升的環節。此時學生對概念進行高級的加工和心理表征，形成了對“比”的知識圖式，建構起完整的知識鏈。通過總結，幫助學生從多種角度理解“比”，鞏固所學的知識，建立知識間的聯系。

四、教學設計反思

本次選取的《比的認識》第一課時的教學設計安排遵循了APOS理論從活動到過程、到對象，最后到圖式的概念建構步驟。首先創設具體的情境，通過情境激發學生的興趣，初步引入概念，使學生形成初步的感性認識。接著教師引導學生將操作活動轉化了內隱的心理活動，提煉成數學語言。通過對操作活動的反思，學生可以嘗試著將頭腦中內隱的活動過程表達出來，理解“比”的本質及意義。再通過概念總結，設置解決實際的問題，鞏固所學。最后由教師帶領學生進行知識梳理，幫助同學由感性認識逐步上升到理性認識，形成自我對比的認識的心理圖式。

APOS理論適用于小學概念的教學，應用范圍是有限制的，教師在教學過程中應該仔細研讀教材，選擇合適的內容進行APOS理論下的教學設計。其具體的應用不僅要體現在教學設計的教學環節，還要深入到各階段教學目標和教學方法上，不應該死板的按照四個階段;同時，APOS理論不能割裂開來，應利用教學目標指導教學步驟的設計，內在也要體現APOS的內涵。

參考文獻：

[1]教育部.義務教育數學課程標準（2011版）[S]北京：北京師范大學出版社，2012

[2]喬連全.APOS：一種建構主義的數學學習理論[J]全球教育展望，2001，（03）：16-18

[3]張熠.APOS理論指導下的小學數學概念教學設計研究——以倍的設計為例[D]寧波：寧波大學，2018