信息技術(shù)環(huán)境下冪函數(shù)的教學(xué)實(shí)踐研究

董慧

【摘要】教學(xué)“簡(jiǎn)單的冪函數(shù)”一課時(shí)，教師通過(guò)合理的設(shè)計(jì)在教學(xué)中融入信息技術(shù)，進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，結(jié)果表明：借助信息技術(shù)進(jìn)行課堂教學(xué)，可以更好地幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系;依托信息技術(shù)進(jìn)行課后探究，可以拓展學(xué)生的思維深度.信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)的全方位深度融合，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、自主學(xué)習(xí)能力和知識(shí)構(gòu)建能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力、歸納能力、探究能力、協(xié)作能力和軟件使用能力.

【關(guān)鍵詞】?jī)绾瘮?shù);信息技術(shù);教學(xué)實(shí)踐;核心素養(yǎng)

【基金項(xiàng)目】安徽省教育信息技術(shù)研究課題——信息技術(shù)環(huán)境下的高中數(shù)學(xué)深度教學(xué)實(shí)踐研究（AH2019167）;安徽省教育信息技術(shù)研究課題——基于“互聯(lián)網(wǎng)+”利用數(shù)學(xué)文化開(kāi)展立德樹(shù)人教育研究（AH2020149）.

2012年3月13日，教育部發(fā)布的《教育信息化十年發(fā)展規(guī)劃（2011～2020年）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《規(guī)劃》）提出“面向未來(lái)，育人為本;應(yīng)用驅(qū)動(dòng)，共建共享;統(tǒng)籌規(guī)劃，分類(lèi)推進(jìn);深度融合，引領(lǐng)創(chuàng)新”的工作方針.《規(guī)劃》強(qiáng)調(diào)要加強(qiáng)現(xiàn)代信息技術(shù)與教育的全面深度融合，以信息化引領(lǐng)教育理念和教育模式的創(chuàng)新，充分發(fā)揮教育信息化在教育改革和發(fā)展中的支撐與引領(lǐng)作用[1].

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）也指出高中數(shù)學(xué)提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，教師要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的實(shí)效性，不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值[2].

《規(guī)劃》和《標(biāo)準(zhǔn)》都對(duì)當(dāng)前傳統(tǒng)的課堂教學(xué)提出挑戰(zhàn)，傳統(tǒng)的課堂教學(xué)以教師為中心，比較關(guān)注知識(shí)內(nèi)容本身的講授.這種課堂教學(xué)形式已不能完全滿(mǎn)足當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展的需要.隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，當(dāng)前課堂教學(xué)對(duì)教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”都提出了更高的要求.《標(biāo)準(zhǔn)》要求教師在課堂教學(xué)時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題、解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

本文中，筆者充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)，結(jié)合“簡(jiǎn)單的冪函數(shù)”教學(xué)內(nèi)容，從課堂教學(xué)和課后探究入手，分析了一個(gè)信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的教學(xué)案例，希望為高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中信息技術(shù)的利用提供借鑒.

一、課堂教學(xué)借助信息技術(shù)讓學(xué)生自主探究

建構(gòu)主義理論重視以學(xué)生為中心的教學(xué)模式，強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)能力[3].利用信息技術(shù)，讓學(xué)生借助教學(xué)軟件對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行自主探究，不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，達(dá)成讓學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系這一教學(xué)目的.

下面以“簡(jiǎn)單的冪函數(shù)”課堂實(shí)錄片段為例說(shuō)明.

【案例】PPT出示：

1.如果小明購(gòu)買(mǎi)每千克1元的水果x千克，那么他需要付的錢(qián)數(shù)y=x元，這里y是x的函數(shù).

2.若正方形的邊長(zhǎng)為x，面積為y，則有y=x2，這里y是x的函數(shù).

3.若正方體的邊長(zhǎng)為x，體積為y，則有y=x3，這里y是x的函數(shù).

4.若正方形的面積為x，邊長(zhǎng)為y，則有y=x12，這里y是x的函數(shù).

5.若一輛車(chē)x 小時(shí)行駛了1 km，則該車(chē)的平均速度y=1x=x-1 km/h，這里y是x的函數(shù).

師：同學(xué)們，我們觀(guān)察剛剛出現(xiàn)的五個(gè)函數(shù)，y=x（正比例函數(shù)），y=x2（二次函數(shù)），y=x3，y=x12，y=1x=x-1（反比例函數(shù)），他們的函數(shù)解析式有什么形式特征？都有哪些共同點(diǎn)呢？

生1：指數(shù)為常數(shù).

生2：都是以自變量x為底的冪函數(shù).

生3：系數(shù)都是1.

師：很好，我們還能寫(xiě)出類(lèi)似形式的函數(shù)嗎？試一試.

生4：y=x4，y=x-12等等，太多了.

師：那你們能寫(xiě)出這種類(lèi)型的函數(shù)的一般形式嗎？大家一邊思考一邊想想我們剛剛發(fā)現(xiàn)的三個(gè)共同點(diǎn).（用PPT呈現(xiàn)三個(gè)共同點(diǎn)）

生5：y=xm可以嗎？

師：這里的x，y，m分別代表什么呢？

生5：x是自變量，y是因變量，m是常數(shù).

師：很好，這就是我們今天要研究的冪函數(shù)，下面給出冪函數(shù)的概念：

如果一個(gè)函數(shù)，底數(shù)是自變量，指數(shù)是常量α，即y=xα，這樣的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù).

師：接下來(lái)通過(guò)一道練習(xí)題檢驗(yàn)同學(xué)們對(duì)冪函數(shù)的概念的掌握情況.

練習(xí) 下列函數(shù)中有幾個(gè)冪函數(shù)？

（1）y=x2+x;（2）y=3x2;（3）y=2x;（4）y=3x3.

師：下面請(qǐng)同學(xué)們4人一組，用電腦上的幾何畫(huà)板軟件，嘗試畫(huà)出α取不同數(shù)值時(shí)函數(shù)的圖像，并通過(guò)圖像總結(jié)冪函數(shù)有哪些特征.

學(xué)生作圖后，分組提交，教師依次展示，驗(yàn)證分類(lèi)是否正確.

師：首先我們來(lái)看第一組，老師發(fā)現(xiàn)第一組同學(xué)選的α的值都是正的.請(qǐng)來(lái)闡述你們得到的性質(zhì)特征.

生6：我們組畫(huà)了α分別為12，23，1，54，3，4時(shí)的冪函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：

（1）函數(shù)圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）和（1，1）;

（2）函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù).

師：同學(xué)們還有沒(méi)有其他發(fā)現(xiàn)呢？可以從圖像上升的快慢來(lái)考慮.

生7：在第一象限內(nèi)，當(dāng)α>1時(shí)，圖像上升得比較快;當(dāng)α=1時(shí)，就是正比例函數(shù)y=x;當(dāng)0<α<1時(shí)，圖像上升得比較慢.

師：補(bǔ)充得很好，現(xiàn)在我們來(lái)看看第二組同學(xué)提交的圖像，這組同學(xué)選擇的α值有正有負(fù)，剛剛我們已經(jīng)總結(jié)了α>0時(shí)的情況，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們來(lái)看看當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)有哪些性質(zhì)？

生8：當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：

（1）函數(shù)圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）;

（2）函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是減函數(shù);

（3）在第一象限內(nèi)，圖像向上與y軸無(wú)限接近，向右與x軸無(wú)限接近.

師：大家總結(jié)得很好，我們有沒(méi)有漏掉什么呢？

生9：α=0時(shí)的情況漏掉了，當(dāng)α=0時(shí)，冪函數(shù)就變成了y=x0，此時(shí)就是直線(xiàn)y=1.

生10：不對(duì)，沒(méi)有考慮定義域xx≠0，應(yīng)該是y=1但是不包括點(diǎn)（0，1），它的圖像不是直線(xiàn).

師：大家從α<0，α=0和α>0三個(gè)方面進(jìn)行分類(lèi)并總結(jié)了冪函數(shù)的性質(zhì)，下面請(qǐng)大家三人一組，一位同學(xué)出題目，第二位同學(xué)畫(huà)出函數(shù)的大致圖像，第三位同學(xué)用幾何畫(huà)板軟件作圖以檢驗(yàn)第二位同學(xué)畫(huà)得是否正確.畫(huà)之前請(qǐng)思考，如何根據(jù)我們剛剛總結(jié)的性質(zhì)畫(huà)出大致圖像呢？（用PPT展示剛剛總結(jié)的冪函數(shù)的性質(zhì)）

生11：我畫(huà)的是函數(shù)y=x-4的圖像，先根據(jù)α<0時(shí)冪函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出在第一象限的圖像，因?yàn)樵摵瘮?shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而作出函數(shù)的完整圖像.

生12：我畫(huà)的是函數(shù)y=x35的圖像，我先是根據(jù)α>0時(shí)冪函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出在第一象限的圖像，因?yàn)樵摵瘮?shù)是奇函數(shù)，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，于是根據(jù)對(duì)稱(chēng)性作出完整的函數(shù)圖像.

生13：我畫(huà)的是y=x14的函數(shù)圖像，由于該函數(shù)定義域是[0，+∞），且0<14<1，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，該函數(shù)圖像在第一象限緩慢上升.

師：大家完成得很好，現(xiàn)在我們來(lái)回憶剛剛的作圖過(guò)程，在作圖的時(shí)候大家首先是根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)作出函數(shù)在第一象限的圖像，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到完整圖像.

師：下面用一道例題為大家講解冪函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.

例題 當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，冪函數(shù)y=（m2+m-1）x-5m-3為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值.

解 因?yàn)楹瘮?shù)y=（m2+m-1）x-5m-3既是冪函數(shù)又是（0，+∞）上的減函數(shù)，

所以m2+m-1=1，-5m-3<0，

解得m=1.

在總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)特征部分，傳統(tǒng)教學(xué)中，教師直接從熟悉的冪函數(shù)y=xα（α=1，2，3，12，-1）出發(fā)，給出圖像，總結(jié)性質(zhì)，無(wú)法讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)形成的過(guò)程，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)認(rèn)識(shí)不清，只能選擇死記硬背.本案例中利用信息技術(shù)（幾何畫(huà)板軟件），讓學(xué)生自己畫(huà)圖、總結(jié)性質(zhì)，既能讓學(xué)生感受信息技術(shù)帶來(lái)的直觀(guān)體驗(yàn)，又能培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力、協(xié)作能力和語(yǔ)言表達(dá)能力.同時(shí)，學(xué)生親自體驗(yàn)冪函數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言與圖像語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化，有利于其數(shù)形結(jié)合思想的形成，也突破了綜合應(yīng)用冪函數(shù)的重點(diǎn)和難點(diǎn).這些知識(shí)儲(chǔ)備都為學(xué)生后續(xù)深入探討冪函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).

二、依托信息技術(shù)開(kāi)展課后思考，拓寬學(xué)生的思維廣度

學(xué)習(xí)可以理解為原有經(jīng)驗(yàn)的遷移，只有當(dāng)學(xué)生根據(jù)需要通過(guò)已有的知識(shí)自主建構(gòu)新知識(shí)時(shí)，學(xué)習(xí)才會(huì)發(fā)生.當(dāng)學(xué)習(xí)者意識(shí)到他們本身是學(xué)習(xí)者和思考者時(shí)，他們的學(xué)習(xí)過(guò)程才是成功的.依托信息技術(shù)開(kāi)展課后思考，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，而且可使學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上構(gòu)建新知，拓寬學(xué)生的思維廣度，加深學(xué)生的思維深度，更有利于學(xué)生本身的知識(shí)體系和學(xué)習(xí)框架的完善.

下面以“簡(jiǎn)單的冪函數(shù)”一課中的課后思考題為例進(jìn)行說(shuō)明.

【案例】如何根據(jù)α來(lái)確定冪函數(shù)的奇偶性呢？以α是有理數(shù)為例（任意有理數(shù)都可以表示成qp的形式，其中p，q∈Z，p，q互素，且p≠0）.

要求：大家將各自的結(jié)論發(fā)到QQ群，共同討論，互相評(píng)價(jià).

通過(guò)簡(jiǎn)單冪函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握如何借助幾何畫(huà)板軟件來(lái)輔助作圖，進(jìn)而探究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)和特征.在鞏固實(shí)踐環(huán)節(jié)，學(xué)生通過(guò)畫(huà)冪函數(shù)的大致圖像，已經(jīng)感受到探究?jī)绾瘮?shù)奇偶性的重要性.通過(guò)課后自主探究，借助幾何畫(huà)板軟件和網(wǎng)絡(luò)資源，學(xué)生得到冪函數(shù)y=xα=xqp（p，q∈Z，p，q互素，p≠0）的奇偶性，具體見(jiàn)下表.

借助信息技術(shù)進(jìn)行知識(shí)的探究和拓展，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)和軟件使用能力、語(yǔ)言表達(dá)能力、歸納推理能力和交流協(xié)作能力，更重要的是學(xué)生通過(guò)自主探究，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，層層遞進(jìn)，拓寬了知識(shí)體系，加強(qiáng)了對(duì)深層次數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

三、信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)相融合，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力及情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的[4].

本節(jié)“簡(jiǎn)單的冪函數(shù)”的教學(xué)主要從以下幾方面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).首先從熟悉的函數(shù)實(shí)例中抽象出冪函數(shù)的概念，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);其次借助幾何畫(huà)板等軟件，通過(guò)函數(shù)圖像研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)，注重培養(yǎng)學(xué)生的直觀(guān)想象與邏輯推理素養(yǎng);最后運(yùn)用冪函數(shù)模型來(lái)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

將信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合，在課堂教學(xué)中借助信息技術(shù)幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系、在課后探究中依托信息技術(shù)拓寬學(xué)生思維廣度.這種在教學(xué)中多方位、多層次地利用信息技術(shù)的教學(xué)模式，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、知識(shí)構(gòu)建的能力，高效完成教學(xué)任務(wù)，還能激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)、歸納、探究、協(xié)作和軟件使用等綜合能力.教師在教學(xué)過(guò)程中注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，不僅能提高教學(xué)的實(shí)效性，還能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

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[2]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

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[4]王磊.學(xué)科能力構(gòu)成及其表現(xiàn)研究：基于學(xué)習(xí)理解、應(yīng)用實(shí)踐與遷移創(chuàng)新導(dǎo)向的多維整合模型 [J].教育研究，2016（09）：83-92.