喚醒思維，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深度

王惠清

[摘? 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維的活動中. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是簡單的記憶、簡單的套路，而是要對數(shù)學(xué)知識有融會貫通的本質(zhì)理解. 因此，高中數(shù)學(xué)課堂需要教師精心進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，探尋更加科學(xué)的途徑以喚醒學(xué)生的思維，使學(xué)生能夠主動“經(jīng)歷”知識發(fā)生、發(fā)展的過程. 在這個過程中，知識成為學(xué)生能夠觀察、思考、探索、操作的對象，學(xué)生成為教學(xué)的主體，促使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深度，真正達(dá)到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地生根.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);學(xué)生思維;深度學(xué)習(xí)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《新課標(biāo)》）提出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).”然而在當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂中，仍然存在著大量的機(jī)械學(xué)習(xí)，以“狂練”替代理解，知其然而不知其所以然的淺層的學(xué)習(xí)現(xiàn)象，使得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在教學(xué)中無法落地生根. 這就要求一線數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時尋求更為合理的途徑，讓學(xué)生在教師的引領(lǐng)下，圍繞有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心地積極參與，喚醒思維，體驗成功，獲得發(fā)展，促使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深度. 文章結(jié)合筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗，對準(zhǔn)《新課標(biāo)》，試從數(shù)學(xué)課堂探究的不同環(huán)節(jié)的設(shè)計談一談教學(xué)中如何喚醒學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生走向深度學(xué)習(xí).

[?] 創(chuàng)設(shè)問題情境，在概念發(fā)生發(fā)展的過程中喚醒學(xué)生的思維

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系中的核心環(huán)節(jié)，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)具有舉足輕重的作用. 喚醒學(xué)生的思維走向深度學(xué)習(xí)的首要環(huán)節(jié)是建立數(shù)學(xué)新舊知識之間的有效聯(lián)系，通過設(shè)計熟悉有趣的問題情境，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué).

案例1 在“任意角”的教學(xué)設(shè)計中創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境.

問題1：在初中我們是怎樣定義角的？（從如下的靜態(tài)和動態(tài)兩個角度定義，見表1）

問題2：平面內(nèi)一條射線繞其端點旋轉(zhuǎn)一周后回到原來的位置，所形成的角是什么角？如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)下去，所形成的圖形還是角嗎？為什么？

問題3：生活中存在著上述的角嗎？你能試著舉出一些實例嗎？我們又該如何去理解它們呢？

設(shè)計意圖：通過問題1回顧舊知，并進(jìn)一步提出問題2，使角的概念更加一般化，讓學(xué)生自我總結(jié)初中對角的定義的優(yōu)劣性——形象、直觀、容易理解，但它是靜態(tài)的，具有一定的局限性——從而引發(fā)思維沖突，激發(fā)學(xué)生主動去研究并推廣角的概念，通過問題3聯(lián)系生活實際，體會“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”.

[?] 把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，在整體理解新舊知識中喚醒學(xué)生的思維

新課標(biāo)修訂組組長史寧中教授曾說：“要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教育中至少應(yīng)當(dāng)遵循兩個原則，一是把握數(shù)學(xué)知識本質(zhì);二是設(shè)計并實施合理的教學(xué)活動. ”因此，教學(xué)中需要基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)選定一個明確的認(rèn)知主線，課程整體教學(xué)設(shè)計能夠引發(fā)學(xué)生深度思考數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).

案例2 在“圓的一般方程”教學(xué)設(shè)計中把握其本質(zhì).

問題1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

問題2：從代數(shù)的角度看，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么方程？（二元二次方程）

問題3：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程一定表示圓嗎？

通過“問題串”的形式引發(fā)學(xué)生走向深度思考. 對于問題3，組織學(xué)生小組討論，展示并匯報結(jié)論：通過配方，得

x+

+

y+

=（D2+E2-4F），所以方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）叫作圓的一般方程. 此處揭示課題，并進(jìn)一步說明兩點：一是為什么要稱其為一般方程（聯(lián)系直線方程），二是兩種方程（圓的方程的兩種形式）的比較（從特征與互化的角度）.

設(shè)計意圖：圓的一般方程是在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后的一節(jié)內(nèi)容，這兩種方程只是圓的方程的兩種不同的表示. 在本節(jié)課中采用“問題串”的教學(xué)設(shè)計，通過新舊知識的對比，理清圓的一般方程是什么;有了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，為什么還要講圓的一般方程;圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程有怎樣的聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別. 清晰的邏輯關(guān)系、緊扣遞進(jìn)的“問題鏈”為學(xué)生設(shè)計了一條明確的認(rèn)知主線，這種認(rèn)知主線的確定，使得學(xué)生感覺本節(jié)課的生成自然和諧，本章的學(xué)習(xí)思路清楚明晰.

[?] 滲透數(shù)學(xué)文化，在激發(fā)興趣主動學(xué)習(xí)中喚醒學(xué)生的思維

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，在教學(xué)過程中要將數(shù)學(xué)文化納入數(shù)學(xué)教育目標(biāo)之中，因為基于數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)探究是實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的有效途徑，有助于學(xué)生激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、開闊視野，從而喚醒學(xué)生的思維，促使學(xué)生理解數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

案例3 在“二項式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計中滲透數(shù)學(xué)文化.

（1）展示成果說楊輝：（課前開展學(xué)習(xí)活動）了解“楊輝三角”的數(shù)學(xué)背景、歷史地位和實際作用，探究并發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律.

①引導(dǎo)學(xué)生從各種角度談自己對“楊輝三角”的認(rèn)識和了解;

②各小組結(jié)合課前準(zhǔn)備展示自己探究和發(fā)現(xiàn)的成果（“楊輝三角”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律）.

（2）感知規(guī)律談性質(zhì)：通過師生合作、小組討論、探究證明、展示提煉，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“楊輝三角”的一些數(shù)學(xué)規(guī)律，如“楊輝三角”的第n行數(shù)字就是（a+b）n展開式的二項式系數(shù)，這些系數(shù)具有對稱性、和式關(guān)系、增減性及最大值等性質(zhì).

設(shè)計意圖：《新課標(biāo)》下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)及考查，注重數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)知識的融合. 本節(jié)課中通過學(xué)生課外探究活動的開展——了解“楊輝三角”，探究、發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，弘揚(yáng)中華數(shù)學(xué)文化，喚醒了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情. 尤為重要的是，在本節(jié)課展示探究成果的過程中，為尋求二項式系數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用師生合作、小組討論、探究證明、展示提煉的教學(xué)方法，激起了學(xué)生的認(rèn)知沖突，為培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維、促進(jìn)深度思考及深度學(xué)習(xí)做好鋪墊.

[?] 經(jīng)歷合情推理，在促進(jìn)數(shù)學(xué)知識遷移中喚醒學(xué)生的思維

數(shù)學(xué)教育家G·波利亞曾說：“類比是一個偉大的引路人.”不同的數(shù)學(xué)知識的形成往往是具有一定相似性的，所以在知識的學(xué)習(xí)過程中獲得的方法、思想、能力，對后續(xù)知識的學(xué)習(xí)可能形成有效遷移，這種遷移能力也是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的集中體現(xiàn).

案例4 通過類比“等差數(shù)列的前n項和”學(xué)習(xí)“等比數(shù)列的前n項和”.

探究：求S=1+2+22+23+…+263.

點撥：求等差數(shù)列的前n項和的方法有哪些？在推導(dǎo)過程中涉及的處理策略（去“省略號”），本質(zhì)是整體觀察、等式構(gòu)造、方程思想、化繁為簡、化無限為有限，把原本不熟悉的無限求和問題轉(zhuǎn)化為熟悉易解的有限求和問題.

討論：請同學(xué)們思考一下，是否可以類比等差數(shù)列的前n項和的推導(dǎo)方法，根據(jù)等比數(shù)列中各項之間的關(guān)系和特點，也可以構(gòu)造一個式子，以兩式運(yùn)算達(dá)到求和的目的呢？此處安排學(xué)生進(jìn)行小組討論.

結(jié)果：構(gòu)造式子2S=2+22+23+…+263+264，與式子S=1+2+22+23+…+263相減.

一般化：求S=a+aq+aq2+…+aqn-1.

設(shè)計意圖：等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)實質(zhì)是把“加”變成了“減”，這樣的轉(zhuǎn)化在教師看來是“順理成章”“自然貼切”的，但是從學(xué)生的角度來看，卻是“突如其來”“不可思議”的，所以這節(jié)課的設(shè)計就該在這里花費(fèi)力氣：通過學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的等差數(shù)列的求和推導(dǎo)方法讓其思考討論，由教師引導(dǎo)學(xué)生類比聯(lián)想倒序相加法求和，運(yùn)用數(shù)學(xué)中重要的轉(zhuǎn)化思想，通過構(gòu)造法發(fā)現(xiàn)上述解法.

當(dāng)然，喚醒學(xué)生思維的手段不能局限于以上四種. 對于不同的課型，可以借助于數(shù)學(xué)實驗、語言表達(dá)、經(jīng)驗遷移、研題編題等手段喚醒學(xué)生的思維;對于課堂中不同的階段，可以通過教師的限時講授、學(xué)生的合作探究、合作小組代表的展示來喚醒學(xué)生的思維. 只有喚醒學(xué)生的思維，促使學(xué)習(xí)走向深度，才能真正讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值，讓數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建更加合理，讓認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成更加穩(wěn)固，讓核心素養(yǎng)的培育成為現(xiàn)實.

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