HPM促進數學教師專業發展：從理論到實踐

彭剛 胡曉娟

[摘 ?要] 教師專業發展是學校發展和影響教育改革成敗的重要因素. 如何有效地促進教師專業發展，既是教師教育研究中的重要課題，也是教學實踐中影響學校教育質量的關鍵.文章從教師知識以及教學信念兩個方面，論述了數學史與數學教學的有機融合對于數學教師專業發展的積極意義，并提出了實現這些教育意義的途徑與方式.

[關鍵詞] 數學史;數學教學;教師專業發展

“教育大計、教師為本”，教師是教育構成要素中的關鍵因素，教育是否能夠得到有效發展、教育改革是否能夠取得成效，教師的作用舉足輕重. 鑒于此，許多國家和地區的教育部門都很關注教師專業發展，并把這項工作視為改善教育的重要途徑.

眾所周知，我國傳統的數學教師培養方式和提升機制有著自身的獨特性，在提升數學教師的教學技能、豐富他們的教學經驗等方面有一定的優勢[1]. 然而，近十年來我國數學教育的理念不斷在更新，課程標準也不斷在變革，一線教師不僅面臨著與教育理論的沖突，同時也遭受了教學實踐的挑戰.在這種情況下，他們所面臨的壓力越來越大，普遍存在的職業倦怠問題可能會進一步加劇. 長此以往，教師的教學效果和工作狀態都會受到影響，這不利于學生的發展，對整個學校教育的質量也會產生負面效應.

因此，如何有效地促進在職教師的專業發展，不僅是教師教育研究中十分有價值的課題，同時也是當前教育實踐中亟待解決的問題. 本文主要探討的是數學史融入數學教學這一過程，對數學教師的專業發展有哪些教育意義，以及實現這些教育意義的可能方式.

HPM概述

人們對于數學史的教育意義的關注已經有很長的時間. 事實上，早在19世紀一些歐美數學家和數學教育家在這方面發表過很多有益的見解. 然而，從世界范圍來看，正式的相關國際組織——數學史與數學教學關系國際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）的成立在1972 年.在英國埃克塞特（Exeter）召開的第二屆國際數學教育大會上，該小組宣布成立并于1976 年開始隸屬于國際數學教育委員會（ICMI），從而引起了人們對于數學史的教育價值的廣泛關注.

如今，對于我國大多數數學教育工作者（包括一線教師）而言，HPM 已不再是一個十分陌生的名詞. HPM本身是一個組織的名稱，但現在它更多的時候是代表一個研究領域，其內涵也常常被理解為“數學史在數學教學中的滲透”或者“數學史融入數學教學”[2].

HPM領域的研究內容十分豐富，目前學者們主要關注以下幾個方面：“為何”融入數學史、“如何”融入數學史、教育取向的數學史研究、HPM案例開發、學生理解數學的歷史相似性研究、數學史融入教材研究，以及本文主要探討的HPM與教師專業發展.

HPM對于教師專業發展的意義

教師專業發展是當前教育領域的熱點話題，其內涵是教師作為專業人員，不斷提升自己對于數學以及數學教學的認識，不斷拓展自我專業知識與技能以及不斷完善和豐富自我專業理想等發展過程.格倫迪和魯濱孫認為教師專業發展有三個基本目的與功能[3]：第一個目的是“拓展”，指教師在自我基礎上拓展自身的知識和技能;第二個目的是“更新”，指教師利用新的理論和教學實踐，更新原有的舊知識和理念;第三個目的是“成長”，指教師在知識廣度和深度以及技能的熟練度方面有所提升.

格倫迪和魯濱孫的觀點主要考慮的是教師知識、技能方面的成長.實際上，教師將數學史與數學教學的有機融合過程，既是教師將自己與數學史知識有機融合、將數學史融入教學的過程，同時也是教師理解相關數學史知識、對以往教學設計反思的過程（如圖1）.

在這個過程中，教師的專業知識會得以增長，數學信念也會得到轉變.因此，HPM對于數學教師專業發展主要有以下兩個方面的意義.

1. 教師知識的增長

一般而言，教師的知識主要分為兩類：“理論性知識”和“實踐性知識”[4]. 其中，數學教師的理論性知識主要包括數學內容知識、數學教學知識、學生如何學習數學的知識，等等. 實踐性知識則包括教師在數學教學中實際使用和表現出來的知識，這一類知識往往用教學情境、教學設計或者教學案例呈現.

在數學史融入數學教學的這一過程中，數學教師既可以增加自己的理論性知識，也能夠豐富自己的實踐性知識.

第一，數學史是一種巨大的資源，可以提供大量的數學問題和問題解決的方法，同時數學史還揭示了數學概念、思想的起源與發展. 因此，教師在理解相關數學史知識、融入數學史的過程中，可以獲得新的內容知識（Content Knowledge）.

以數學概念教學為例.眾所周知，概念是數學理論的基石，因而概念教學是數學教學的重要組成部分. 然而在實際教學中，許多教師對于這些概念的來源并不十分清楚，往往教學中一帶而過，不利于學生形成對于數學的正確認識.事實上，許多數學概念都有其歷史來源和人文內涵，教師對這些概念的歷史考察，便可以獲得關于數學概念的一些新知識. 下面我們以“數系的擴充與復數的概念”這一內容的教學為例做較為詳細的說明.

按照通常的引入方式，人們往往把虛數的產生歸結為由于方程x2+1=0在實數范圍內沒有解，事實上這種說法很難揭示出虛數產生的必要性. 如果教師能夠去挖掘虛數產生的歷史背景，就會發現其背后有著更為合理的解釋以及更為重要的歷史意義：（1）虛數的產生是由于三次方程的求根公式在一些情況下不能使用;（2）虛數的名稱來自英文單詞imaginary number，虛數單位i則來自上述名稱第一個單詞的首字母，意思是“虛無縹緲的數”;（3）一些數學家給出了虛數的幾何解釋，從而消除了人們對于虛數的疑慮;（4）虛數的產生大大豐富了數學理論，同時還促進了物理學的研究.

由此可以發現，數學的歷史發展可以幫助教師揭示出數學概念產生的原因，拓展他們的數學視野，并在此基礎上也讓學生了解數學知識的價值與意義.

第二，由于學生對于數學知識的一些誤解和學習障礙與歷史上的錯誤和認知障礙具有很大的相似性，因此了解歷史上的重要時刻便可以為教師提供預測學生認知障礙的工具. 教師在反思以往教學設計基礎上，可以形成新的、更有利于學生理解的教學設計，同時獲得新的情境知識、案例知識等實踐性知識. 以函數概念教學為例，函數概念在初中和高中均有定義，那么這兩個定義之間有怎樣的關系呢？這需要從歷史來考察. 學生在初中學習了函數概念之后，往往會誤認為函數就是一個表達式，這與歷史上大數學家歐拉的觀點一致，因此也是有一定的合理性的. 教師如果了解了函數概念的歷史發展，就會根據歷史上數學家對于函數的認識，來設計這一內容的教學，引導學生從“變量說”轉向“對應說”，從而更好地理解函數概念.

總之，教師知識的增長，將會為數學教學注入新的活力.

2. 教師信念的轉變

教師的數學信念主要包括教師對數學本質的認識、教師如何進行教學、學生如何學習數學等三個方面. 其中，教師對于數學本質的信念起著決定性的作用，它會影響到教師對數學“教”與“學”的看法，進而影響到教師怎么教和如何教.

一般而言，如果一名教師傾向于絕對主義數學觀，那么他（她）在教學中就很有可能會靜態地看待數學知識，并原封不動地傳授給學生，這種情況下學生容易形成對于權威的崇拜，認為數學是絕對真理，不利于數學理性精神的培養. 反之，如果一名教師持有可誤主義數學觀，那么他（她）就會重視探究活動的重要性，從試誤中總結出正確的方向，重視知識的發生發展過程，有效地提升學生的數學理解[5].

與傳統數學教學中充斥著的大量的數學解題、應試技巧不同，數學史主要研究的是數學概念、數學方法和數學思想的起源與發展，以及其與其他學科（如天文、物理、生物、化學等等）和一般文化的聯系.漫長的數學發展歷史告訴我們，數學并不是一個僵化的真理系統，而是一門不斷演進、人性化的學科.因此，在與數學史對話的過程中，教師不僅可以了解到數學與天文學、建筑學、物理學之間的聯系，還可以更好地認識“做數學”的創造性過程.

在將數學史融入數學教學的過程中，持絕對主義數學觀的教師便有可能改變對于數學的看法.教師數學信念的轉變，既會帶來教學理念、教學設計、教學行為的轉變，同時學生也會在教師的這種轉變中改善自身的數學信念，從而提高自己的數學學習質量.

HPM促進教師專業發展的方式

教師專業發展的實施主要有三種策略[6]：（1）以學校作為教師探究和發展的主要空間，即堅持以校為本（school-based）的理念;（2）構建高等院校與中小學的合作共同體，旨在通過平等、互惠的伙伴協作（partnerships）來改善教師課堂教學;（3）建立網絡（networks），把分散的、作為個體的教師集中在一個有機的網絡群中，利用網絡資源促進教師共同發展.

由于數學史課程在傳統師范教育以及教師在職培訓中還不夠深入，我國中小學教師的數學史素養又不容樂觀，然而大學在數學史專業性方面往往有較大的優勢，故大學和中小學合作（即上述第二條策略）是實現HPM促進教師專業發展的主要策略.

大學教師和中小學教師合作，可以形成一個教學共同體（teaching community）. 教學共同體的建設，可以促使大、中小學教師之間的優勢得到互補，形成教育教學的合力，減緩教師的心理壓力，充分發揮教師自身的教育潛能，真正解決教育教學中的具體問題[7]，使得先進的教育理念能夠在課堂教學中發揮積極的作用. 在這個共同體中，大學主要提供數學史方面的資源以及專業建議，中小學教師則主要是教學設計者以及教學實踐者，具體合作的流程如下：確定課題→選取相關素材→HPM教學設計與實施→評價與反饋→形成HPM案例.

下面我們對上述流程進行簡要的說明.

第一，由一線教師根據教學計劃以及學生情況，選擇自己感興趣的課題.

第二，由高校教師選擇合適的相關數學史素材. 這些素材既可能來源于數學史的原始文獻，也可能來源于數學史著作或者數學家的傳記等等. 考慮到一線教師以及學生的接受能力，高校教師與一線教師需要對素材進行不斷審察與甄選，盡量將數學史的史學形態轉化為數學史的教育形態.

第三，由一線教師根據上述數學史素材進行相應的教學設計，并與高校教師共同修改. 一般而言，HPM教學設計要兼顧以下幾項原則[8]：趣味性、科學性、有效性、可學性和新穎性. “趣味性”，指的是在數學教學中融入的數學史內容對于學生而言具有很強的吸引力，能夠激發學生的學習興趣;“科學性”指的是數學史料的來源應該真實可靠，參考權威數學史家的著作，并且多種來源互相印證以保證符合歷史情境;“有效性”指的是融入數學史的目的是為了更有效地實現教學目標，而不是“為歷史而歷史”;“可學性”指的是所選擇的的數學史料學生容易接受，而不能直接介紹學術形態的數學史，教師需要對它們進行教育加工;“新穎性”指的是HPM教學設計需要有所創新，而不能從網絡直接復制或者照本宣科.HPM教學設計實施后，一線教師還可根據學生以及其他任課教師的反饋對教學設計不斷進行調整、完善，直至最后形成相應的HPM教學案例.

教學共同體的建立和HPM教學案例的形成，不僅可以激發一線教師積極主動參與到研究中，提高他們的教學水平，同時也會讓一線教師對教育研究產生認同感. 以上海為例，華東師范大學HPM團隊與上海市滬太路教育發展區合作，充分利用大學的學術資源，與數學教師們合作開發了多個HPM案例并在中學教學類雜志上發表. 合作過程中，從課型的豐富到分支的融合，一線教師可以在不同的數學領域找到線索，讓教學設計既具有歷史感，也與現實有關聯. 合作之后，他們對于如何進行HPM教學以及相應的HPM案例開發，都有了深刻的體會和認識，其中有的教師更是認為這些合作帶給自己的是一番自我超越的體驗.

總之，HPM促進教師專業發展，不僅是量的增加，更是質的改變. 在此過程中，一線教師也不只是數學教師，更是持續的實踐探究者和行動的反思者.只有如此，他們才能真正成為專業發展的主體，進而引發教師個體生命的成長與自我潛能的實現.

參考文獻：

[1] ?黃榮金，李業平. 中國在職數學教師專業發展的挑戰與機遇[J]. 數學教育學報，2008，17（3）.

[2] ?鄭瑋，鄭毓信. HPM與數學教學中的再創造[J]. 數學教育學報，2013（3）.

[3] ?Grundy，S.& Robinson，J. Teacher Professional Development： Themes and Trends in The Recent Australian Experience [A]. In C.Day & J.Sachs （Eds.）， Inter-national Handbook on the Continuing Professional Develop-ment of Teachers. Maidenhead： Open University Press，2003.

[4] ?陳向明. 實踐性知識：教師專業發展的知識基礎[J]. 北京大學教育評論，2003（1）.

[5] ?喻平. 教師的認識信念系統及其對教學的影響[J]. 教師教育研究，2007（4）.

[6] ?Day，C.& Sachs，J. Professionalism， Performativity and Empowerment： Discourses in the Politics， Policies and Purposes of Continuing Professional Development[A]. In C. Day & J. Sachs （Eds.）， International Handbook on the Continuing Professional Develop-ment of Teachers. Maidenhead： Open University Press，2004.

[7] ?任其平. 論教師專業發展的生態化培養模式[J]. 教育研究，2010（8）.

[8] ?汪曉勤. HPM視角下的“角平分線”教學[J]. 教育研究與評論（中學教育教學版），2014（5）.