核心素養下數學試卷講評課教改嘗試

施小山

[摘 ?要] 促進學生核心素養的大背景下，避免陷入“就題論題”的低效模式，筆者做了一些新的嘗試. 筆者認為，我們需要拋開課型的規定形式，牢牢把握試卷講評的本質，以能力培養為立意，以過程性教學為抓手打通學生的思維，以變式訓練為抓手完成數學思想和方法的提煉和建構，有的放矢地提升核心素養.

[關鍵詞] 數學試卷;講評課;核心素養;培養

問題的提出

試卷講評課作為一種重要課型，在高三數學復習階段占據著重要地位，其根本目的是鞏固知識、糾正錯誤、提升能力和促進反思. 由于高中數學抽象概括性強、選拔要求高，從而造成了學生數學成績上的巨大差異. 同樣的一節試卷講評課，倘若照顧到學困生，則易導致學優生“吃不飽”;倘若就著學優生，則易使得學困生“吃不下”. 如何解決這一困境？不少教師會采取中庸之道，以典型問題作為選題依據進行實際講評，這樣的講評策略是否可行？筆者經過一段時間的實踐后，發現這樣的講評方式下，一些不懂或做錯的題目，學生都能認真聽講，參與探究;而一些已懂或做對的題目，哪怕是教師多次強調解法的優選，學生貌似都無法全神貫注地聽講，參與探究也是漫不經心，從而錯失反思和提升的機會.

新課程改革下，更加關注學生的個性化和多樣化的學習和發展需求，著力發展學生的核心素養，從而依托課程模式開展教學改革嘗試，目的是改變傳統的試卷講評模式，提升試卷講評的針對性和精準性，讓試卷講評實現育人模式的轉型. 下面以一次試卷講評課為載體，談談筆者對相關問題的理解.

教學片段實錄

問題1：如圖1，已知點O是△ABC的重心，AB=6，OA⊥OB，則·的值為________.

分析：一般來說，一切行為皆源于目的，而為了達到目的，需要采取一些有效方法. 高三復習中的試卷講評，目的是通過分析達到提升數學素養和綜合素質的目的. 本題并非試卷上最具典型性的一道試題，但卻是具有代數與幾何雙重性的代表問題. 不少學生在解題的過程中，只能從其中的一個方面著手解題. 筆者選擇該題作為講評典范的目的是為了通過講評充分暴露學生的思維，通過解決一道問題引領學生追根溯源，拓寬學生的思維空間，最終實現對一類問題的探究.

師：一般情況下，我們都是通過什么方法求向量數量積的？對于本題，在考試中你又是如何思考的呢？

生1：本題中，和的模與夾角都是未知的，那就需要從目標向量的數量積著手進行轉化. 具體解法如下：如圖2，連接CO后延長，與AB相交于點D. 因為點O是△ABC的重心，所以點D為AB的中點. 又因為AB=6，OA⊥OB，所以OD=3，所以OC=6. 從而·=（+）·（+）=·++·+2=·（+）+2=2·+2=72.

生2：我的思路與生1類似，但卻是通過關鍵性條件“和互為相反向量”來求解的. 解法如下：如圖2，連接CO后延長，與AB相交于點D. 因為點O是△ABC的重心，所以點D為AB的中點. 又因為AB=6，OA⊥OB，所以OD=3，所以OC=6，DC=9. 從而·=（+）·（+）=·++·+2=·+（+）·+2=-9+0+81=72.

師：生1和生2均是通過平面向量的基本定理轉化為向量解題的，充分展現了化歸數學思想. 盡管是一般解法，但解題思路非常漂亮，其他同學都明白了嗎？還有其他的解題思路嗎？

生3：求解數量積的一般方法也包括將向量等式平方這一思路.

師：對，但又會是什么樣的向量等式呢？

生3：只有等號的一邊為和時，平方后才會得出·的形式. 解法如下：如圖2，連接CO后延長，與AB相交于點D. 因為點O是△ABC的重心，所以點D為AB的中點. 又因為AB=6，OA⊥OB，所以OD=3，所以OC=6，DC=9. 據+=2，-=，平方后相減，可得4·=4×81-36=288，所以·=·=72.

師：生3較好地運用了函數與方程數學思想完美地解決了問題，非常好！是否還有其他方法呢？

生4：建系.

師：如何操作呢？

生4：因為AB的長度是已知的，所以可以以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建系. 又因為OA⊥OB，所以點O在一圓上. 解法如下：以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系. 因為AB=6，OA⊥OB，所以點O為圓x2+y2=9上的一點. 又因為點O是△ABC的重心，所以點C為圓x2+y2=81上的一點. 設C（x，y），則有·=（x+3，y）·（x-3，y）=x2+y2-9=72.

師：向量的代數性主要表現在坐標法上，而如何建系則是解決問題的關鍵所在. 生4牢牢把握了問題的本質，充分運用“垂直”與“重心”這兩個條件來解決問題，等于抓住了解題的命脈.

生5：建系的方法僅此一種嗎？這里有OA⊥OB，那直接以OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸建系不是更好嗎？

生6：可OA和OB的長度都未知啊！

生5：建系后一樣可以設求啊！

師：那具體說一說解法.

生5：以點O為原點，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸建系. 設A（a，0），B（0，b），則有C（-a，-b），所以·=（-2a，-b）·（-a，-2b）=2（a2+b2）=72.

師：哇！這樣的建系方式更加完美地體現了坐標法運算的優勢，非常棒！剛才這5位同學的解法從不同的角度闡釋了向量的數量積，為我們展現了豐富多彩的策略. 經過本題的探求，你們是否對向量的數量積有了不同的認識呢？事實上，在高考中，對于此類問題的考查難度不大，但也并非“一眼望穿”的類型，從而我們需要在最短的時間內找準方向，優化解題路徑. 下面，我們一起來看看大家是否能真正做到既快又準地解題.

問題2：已知△ABC中，S△ABC=，BC=2，AC-AB=1，則·=________.

解法1（坐標法）：以BC所在直線為x軸，BC的中垂線所在直線為y軸建系，則B（-1，0），C（1，0）. 設A（x，y）在x軸上方，據AC-AB=1<2，得出點A的軌跡為4x2-=1x<-. 據S△ABC=·2·y=，可得y=，x=-，所以·=（-1-x，-y）·（1-x，-y）=x2+y2-1=+3-1=.

解法2（定義法）：設AB=x，則AC=x+1，cosA==，sinA==. 又因為S△ABC=x（x+1）sinA=·==，則4x2+4x-19=0. 所以·=·cosA=x（x+1）·==.

評析：筆者覺得尋求問題的最優解法是解決問題通性通法的必要條件. 在解決問題2時，不少學生在運用定義法求解的過程中沒有做到一氣呵成，原因在于當解決到sinA=時，不少學生已經提前預知后面的過程過于煩瑣，從而喪失了探求欲望，最終導致解題失敗. 從上述兩種解法看出，盡管問題都得以解決，但從解題過程的簡潔性出發，坐標法的確優于定義法，所以教學中需要注重過程，將發現簡潔解法的機會大智若愚地讓給學生，從而使得學生的思維不斷發散.

啟示與思考

試卷講評課中，學生最為關注的是試題的對與錯，而并非教師的講評過程，從而“就題論題”講評在高三數學試卷講評課中是最不可取的. 據上分析，我們需要牢牢把握試卷講評的本質，以能力培養為立意，借助適當的抓手提升學生的思維品質，實現育人模式的轉型.

1. 以過程性教學為抓手，打通學生的思維

在過程中打通思維，本質上就是通過過程性教學培養學生的分析能力. 那么，如何注重過程呢？又該如何有效地實施有過程性的講評教學呢？筆者認為，最重要的是需要充分展示學生的思維過程，讓學生及時暴露思維的“閃光點”和存在的問題，從而促使思維不斷深入. 本課中，教師關注到講評的過程，從學生的具體學情出發靈活調控教學過程，將課堂教學的主體地位交還給學生，將質疑問難的權利交給學生，將發掘多種多樣解法的專利讓給學生，將切身體會分析過程的機會留給學生，讓學生在經歷審題、思考、糾結、疑惑、頓悟等一系列過程中，有效地建立思想、發展思維和形成能力.

數學學習終究離不開解題的本質，由于解題方法的優化往往要求較高的思維品質，因此通過一題多解、一法多思等，有利于提升學生的思維強度和思維層次，完善思維品質.

2. 以變式訓練為抓手，完成數學思想和方法的提煉和建構

思想是方法的源泉，而方法形成于思想的指導下. 那么，何來思想？筆者認為，需要在教學的過程中自然滲透并借助適當的抓手進行總結和反思，形成遷移能力. 心理學認為，一些行為在初步形成時需要及時強化，否則即會消退. 本課中，對于這個數學問題，我們將解法分析得十分清楚和透徹，并及時以變式訓練為抓手進行強化，于是既有了總結，又有了概括、提煉和整合，從而便有了升華，學生自然洞察了其本質，形成了遷移能力.

就這樣，從一個問題出發，讓一個或幾個問題得到解決，使學生獲得解決一類問題的通法，從而形成數學“習題鏈”，促成數學“習題網”，最終提高學生數學解題的收益率.

總之，高三數學試卷講評需打破傳統教學中“就題論題”的束縛，不斷挖掘數學精髓，通過過程性探究打通學生的思維，通過變式訓練完成數學思想和方法的提煉和建構，將知識網絡的建構與核心素養的培養、智力的發展有機統一起來，提升學生的思維層次和數學核心素養.

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