題型拓展，在思維的激活下前行

林彩華

[摘? 要] 文章結合與圓有關的輔助線的作法，總結、研究與圓有關的解題策略，并開展相應的實踐研究. 文章主要通過題型歸納、題型整合、題型交流三大模塊的內容進行“圓”這一單元的復習，并總結出了圓的輔助線的幾種作法.

[關鍵詞] 初中數學;圓;復習課;輔助線;解題策略

與圓有關的輔助線作法歸納是“圓”這一單元的重點和難點. 有的學生對圓的知識點一知半解，導致在具體的解題過程中出現各種障礙和困惑. 在“圓”這一單元的復習教學中，筆者先通過題組讓學生對本單元的知識點有系統的認識，再結合具體的例題示范，開展相關的思維拓展，引導學生形成開放的思維模式，在實踐中總結多種輔助線的作法. 下面是筆者結合圓的解題策略，引導學生添加輔助線的實踐研究.

歸納圓的解題策略

1. 題型歸納——遇弦作弦心距或連半徑

與圓有關的試題屬于幾何題，要想解決幾何題，重在對題型的歸納. 教師進行題型歸納教學時，應實施趣味教學. 為了激發學生的學習興趣，引導學生深度學習，筆者從課堂設置問題入手，引導學生對所學知識進行回顧. 值得注意的是，學生獨立思考時容易出現一些障礙和困惑，尤其是碰到需要作輔助線的試題，此時，作為教師，要引導學生善于提問，鼓勵學生積極質疑，這是引導學生獨立思考的開始. 進行圓的題型歸納時，筆者采用的是問題導入結合題型歸納的方式，讓學生自主探索、思考，最終，學生總結出了一種解題策略：遇弦作弦心距或連半徑.

例1 （1）如圖1，☉O的半徑為10，弦AB=12，M是AB上任意一點，則線段OM的長可能是（? ? ）

A. 5 ? ? ?B. 7? ? C. 9? ? D. 11

（2）如圖2，☉O是△ABC的外接圓，∠B=60°，☉O的半徑為4，則AC的長等于（? ? ）

A. 4? ? ? ? B. 6

C. 2 ? ? ? ? D. 8

（3）如圖3，AB是☉O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，連接AC. 若∠CAB=22.5°，CD=8 cm，則☉O的半徑為______cm.

（4）如圖4，一把寬為2 cm的刻度尺在圓形光盤上移動，當刻度尺的一邊與光盤相切時，另一邊與光盤的兩個交點處的讀數恰好是“2”和“10”（單位：cm），那么該光盤的直徑是______cm.

從上述幾道題中我們發現，只要作弦心距和連半徑就可以構造直角三角形，于是求解邊的長度問題就迎刃而解了. 上述試題不僅能讓學生體會到輔助線在解題中的重要性，而且能讓學生在今后的解題中通過題目條件，利用相應的知識點添加輔助線，從而快速解決問題. 上面幾道題考查的知識點和考查方式，學生要引起重視. 碰到只有添加輔助線才能解決的試題，很多學生會無從下手，或者有的學生所添的輔助線過于隨意，沒有科學根據，導致輔助線多此一舉，因此，在近幾年的中考中，涉及與圓有關的輔助線問題，學生失分較多. 針對這一現象，筆者認為，在教學中，教師可以通過題組、變式的方式，讓學生熟記基本模型，找到添加合適輔助線的方法，從而形成解題策略.

2. 題型整合——遇直徑添直徑所對的圓周角

在定理和性質的復習中，教師需要通過不同層次的試題呈現以及同一試題不同的呈現方式，讓學生感受定理和性質的應用. 教學時，教師要積極引導學生通過題型的整合，掌握添加輔助線的方法，為解題起到畫龍點睛的作用. 而添加輔助線的法寶是：積累一定的解題經驗，通過不同題型的整合，熟悉所學的知識點.

例2 （1）如圖5，☉O是△ABC的外接圓，∠B=60°，AC=8，則☉O的直徑AD的長為（? ? ）

A. 16? ? ? ? ? ? ? ?B. 4

C. ? ? ?D.

（2）如圖6，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的☉O交AB于點D，交BC于點E.

①求證：BE=CE;

②若∠B=70°，求的度數;

③若BD=2，BE=3，求AC的長.

講解例題時，教師可以讓學生先審題，然后根據知識點的提示作適當的輔助線，引導學生邊解題邊回顧所學的知識. 這種方式有助于學生形成良好的學習習慣. 要解決上面兩道題，不添加輔助線是不行的，而補全直徑所對的圓周角，是解題的關鍵. 對于第（1）題，大部分學生會通過連接DC構造直角三角形，然后利用圓周角定理和推論解決;對于第（2）題，需要連接的輔助線比較多（如圖7），但也是常見的連半徑和補全直徑所對的圓周角，然后利用方程思想來解題. 講評例題時，教師要讓學生明白，輔助線可以有多條，且作出相應的輔助線能為解題奠定基礎.

通過題型整合，師生共同總結出了解幾何題的一般步驟：第一步，標注條件，即通過讀題將條件標出序號;第二步，標注圖形，即把已知條件標在圖形中，以便找到相關的知識點;第三步，分析所求的問題與條件之間的聯系，即明確要解決問題，只需要求什么;第四步，根據需要適當添加輔助線;第五步，從條件入手解決問題.

幾何題型的步驟總結，能讓幾何題的解題步驟程序化. 學生做題時，雖然按照步驟不一定能走到最后，但至少可以通過解題步驟，找到部分解題策略，降低空白答題的概率.

3. 題型交流——遇切線連接圓心和切點

在近年來的教學改革實踐中，改革的浪潮可謂一浪高過一浪. 在改革中，課程改革的核心在于全面提升學生的學科核心素養. 在教學中，教師要積極引導學生除了總結解題思路而外，還要積極開展題型交流，讓學生從傳統的被動學習轉換為主動學習，并通過主動學習、小組討論、經驗交流等方式，形成學習的積極性和能動性. 在圓的復習課教學中，學生通過合作交流，總結出了這種作輔助線的方法：遇切線連接圓心和切點. 這類題在近年的中考中有所涉及.

例3 （1）如圖8，AB切☉O于點B，OA=2，∠BAO=60°，弦BC∥OA，則的長為______（結果保留π）.

（2）如圖9，△ABC內接于☉O，AB是☉O的直徑，BA的延長線交☉O的切線PC于點P，OF∥BC，交AC于點E，交PC于點F，連接AF.

①求證：AF是☉O的切線;

②若☉O的半徑為5，AF=4，求線段AC的長.

積極引導學生在解題過程中開展合作交流，研究解題策略，不僅能讓學生鞏固所學知識，還能開闊學生的思維. 學生通過交流討論，不難想到第（1）題可通過連接半徑OB，OC，利用切線的性質得到Rt△BOA，再利用一邊一角求半徑和弧所對的圓心角，從而求出弧長. 對于第（2）題的第①問，要證明AF是☉O的切線，只需要證AF⊥AB. 解題時，教師要引導學生用多種方法證垂直，培養學生的解題思維，另外，教師要給予學生展示的機會，要適時肯定學生的解題方法，給予及時的鼓勵，并讓學生在分享中得到快樂和自信，讓更多的學生參與到思維碰撞的過程中，體驗數學解題的樂趣.

對圓的解題策略研究的幾點反思

1. 活化教學內容，使之成為夯實基礎的“基本點”

傳統的復習課堂難以調動學生的積極性和能動性，主要原因在于，傳統的復習課堂難免呆板和生硬，學生的復習興趣和積極性不高，導致復習課堂的教學成效低. 在當前培育核心素養的教學背景之下，我們應力求活化教學內容，使之成為夯實基礎的“基本點”. 教學時，在夯實基礎知識的基礎上，教師可通過例題示范、學生交流、題型歸納總結，培養學生的解題思維能力. “圓”這一單元的知識有一定的深度，有的學生在具體解題中容易忘記之前所學的知識點，所以復習課可以采用邊解題邊溫習基礎知識的方式，這樣有助于學生夯實基礎. 筆者發現，在教學中，有的學生喜歡挑戰難題，甚至碰到難度較大的試題都能正確解答，但遇到基礎性的試題稍微變換一下反而犯難了，這就是學生容易出現的一種典型現象——眼高手低. 要解決這個問題，需要學生掌握扎實的基礎知識，及時檢查，發現問題. 因此，在單元復習中，教師要針對相應單元的知識點，通過不同的形式和題目的變形讓學生真正掌握基礎知識.

2. 活化教學方法，使之成為學生發展的“生長點”

我們時常說過程比結果更重要，而貫穿整個過程的方法更是靈魂所在. 在日常教學中，教師要積極活化教學方法，使之成為學生發展的“生長點”，要在不斷激發學生學習興趣和提升學生學習素養的基礎上，力求全面提升學生的學習品質. 在圓的解題策略教學中，教師要積極引導學生開展交流和探討，真正活化教學方法. 教師可以在平時的教學中，讓學生每天輪流講題. 在學生講題這件事的整個過程中，學生通過分析題意，掌握了相關的基礎知識，通過明晰解題思路，開闊了思維，掌握了相應的解題策略.

3. 活化教學時機，使之成為學生發展的“醒悟點”

學習是一個頓悟的過程，教師要付諸行動和耐心，才能讓學生在漸行漸悟中形成對復習內容的深度認識和理解. 在數學復習課堂上，教師要不斷活化教學時機，積極為學生尋找合適的學習時機，引導學生在學習過程中不斷領悟. 教師要讓學生學會總結知識點、歸納解題方法的方式，從而培養學生的思維. 此外，教師還可以適當給出一些與生活實際相關的例題，讓學生意識到數學知識與我們的實際生活息息相關，這能讓他們真正體會到數學源于生活又應用于生活.

總而言之，師者，所以傳道、授業、解惑也. 作為教師，在帶領學生解析知識點的時候，要積極引導學生在具體的解題過程中總結試題類型，歸納相同類型試題的解決策略. 對于容易出錯的知識點，學生要及時反思. 有的學生在學習的過程中會自行收集錯題，制成錯題集，這樣的話，復習時可通過錯題集的查詢和總結，實現知識的回顧與解題提醒. 與此同時，筆者深深體會到，作為一名初中數學教師，要不斷地總結、探索新的復習模式，向學生呈現更加精彩、豐富、高效的課堂，以真正讓每一個學生都能高效地參與到數學學習中.

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