究概念之本 悟教學之道

陳寶真

[摘 ?要] 數學概念是數學思維的基本元素，是數學推理、建模的基礎. 概念教學應該從學生的生活現實或數學現實出發，學生通過復雜的認識活動，主動參與概念的抽象過程，并將這種體驗遷移和推廣到后續的學習中.

[關鍵詞] 概念教學;數學現實;邏輯連貫

數學概念是反映現實世界的空間形式和數量關系的本質屬性的思維形式[1]. 數學判斷、推理、論證建立在數學概念基礎之上，數學概念是數學抽象思維的最基本元素，因此初中數學概念教學在師生教與學活動中起到了相當重要的作用. 許多教師忽視了概念教學的重要性，在概念教學中直接給出定義，歸納出幾條注意事項，再通過反復練習提升學生的認知水平;或給出的情境不夠貼切，有刻意安排之嫌，無法幫助學生揭示概念的本質[2];或新知概念的引入沒有根據學生已有的知識儲備，做不到前后知識的內在關聯、邏輯連貫. 文章從概念的引入、形成、辨析等方面闡述了如何創新性地開展數學概念教學.

概念的引入，提供數學知識產

生的路徑

概念的引入是概念教學的第一步，教師要讓學生認識到學習數學概念的必要性. 在概念的引入環節，引導學生體驗如何從感性認識上升到理性認識，把握事物的本質從而生成概念. 教師要依據不同的教學內容，有針對性地選用不同的引入途徑.

1. 從生活現實出發，反映數學的實際需要

學生在日常生活中接觸的事物或實際問題，很多可以成為引入數學概念的感性材料. 教師引導學生在豐富的具體事例中進行觀察、比較、分析，抽象出它們在數量關系和空間形式上的共同特征，突出其本質屬性，舍棄非本質屬性. 這樣生成的概念更具形象性、直觀性，便于學生理解.

比如教學正比例函數概念時，首先給出5個常見的實際問題，由這些問題得到關系式，再由關系式抽象出正比例函數概念.

問題1：判斷以下兩個變量之間的對應關系是否是函數關系. 如果是，請寫出相應的解析式，并尋找它們之間的共同特征.

（1）正方形的周長y隨邊長x的變化而變化.

（2）小明每小時能平均閱讀15頁書，小明讀書頁數y（頁）隨讀書時間x（時）的變化而變化.

（3）小峰騎自行車去上學，每分鐘行駛0.2 km，小峰騎車行駛路程s（km）隨行駛時間t（min）的變化而變化.

（4）小杜去商店購買鉛筆，鉛筆的單價為0.6元，購買鉛筆的費用w（元）隨購買鉛筆的數量n（支）的變化而變化.

（5）關不緊的水龍頭每分鐘會滴90滴水，每滴水約0.06 ml，關不緊的水龍頭滴水v（ml）隨時間t（min）的變化而變化.

經討論，得出以上5個對應關系的共同特點是：①都有自變量;②都是函數關系;③都有常量.

問題2：這5個函數的右邊都是常量和自變量的什么形式？

學生：這5個函數都是常量和自變量的乘積形式，都可以表達為y=kx（k≠0）.

至此，自然地提出了正比例函數概念.

正比例函數概念的形成，讓學生經歷從形象到抽象、從直觀感知到提出概念的過程中，并在充分感知的基礎上進行概括，使學生倍感親切.

2. 由數學現實引入，體現數學自身的邏輯結構

有些數學概念需要從數學自身的邏輯結構出發，體現數學知識發生發展過程中的必然結果，隨著學習不斷深化，在已有知識的基礎上生長出新的概念.

比如在“分式”教學過程中的部分實錄：

師：只用運算符號（加、減、乘、除）將2，a，b連接成數學式子，每位同學各寫出4個不同的式子.

學生動手寫出含2，a，b的代數式，問題的開放性為學生數學思維的拓展提供了空間.

教師將3位學生寫的式子展示出來：

學生1：2ab，，，2a-b.

學生2：a+2+b，+b，，a+.

學生3：a+2b，，，a（b+2）.

師：能否將這12個數學式子進行分類，哪些式子是我們已經研究過的？

師生共同回顧已學過的整式的相關概念，找出其中的單項式和多項式，還有一部分不是整式的數學式子.

師：a+是多項式嗎？

學生4：a是單項式，但不是單項式，所以a+不是多項式.

師：，a+，，等這些式子不是整式，但它們有哪些共同特點？

這樣的課程設計既有利于學生對整式、單項式、多項式等有關概念的復習與鞏固，又通過認知沖突使新概念的產生水到渠成.

概念的形成，揭示數學的本質特征

概念教學可從生活現實或數學現實出發，利用學生的知識經驗和認知水平，通過層層遞進的“問題串”的引導，新知就在知識經驗的基礎上主動建構起來，學生的思維將經歷從特殊到一般、從具體到抽象的過程.

比如“相交線”教學過程中促使概念形成的“問題串”設計.

問題1：如果將兩根木條的中間釘在一起抽象成一個幾何圖形，是怎樣的圖形？我們能否動手畫出來，并用數學語言來說明.

問題2：兩條直線相交，形成的小于平角的角有哪幾個？

追問：將這些角兩兩組合后能得到幾對角？

問題3：你能根據這幾對角的位置關系，對它們進行分類嗎？

問題4：從角的兩要素（頂點和邊）出發，觀察∠AOC和∠AOD，它們有怎樣的位置關系？

讓學生感知兩個角（如∠AOC和∠AOD）“相鄰”和“互補”的關系：若∠AOC和∠AOD的頂點重合，有一邊重合，則這兩個角“相鄰”;同時，若這兩個角的另一邊互為反向延長線，則這兩個角“互補”. ∠AOC和∠AOD既相鄰又互補，則稱∠AOC和∠AOD互為鄰補角，即其中一個角是另一個角的鄰補角.

追問：圖中還有哪些互為鄰補角？

問題5：你能寫出∠AOC和∠AOD的數量關系式嗎？

問題6：鄰補角與補角有何區別與聯系？

問題7：類比∠AOC和∠AOD關系的探討，那么∠AOC和∠BOD有怎樣的位置關系？

從角的兩要素（頂點和邊）出發，引導學生直觀感知，體會兩個角的“相對”關系，要求學生嘗試用幾何語言來表達，得出對頂角的定義.

追問：圖中還有哪些互為對頂角？

問題8：互為對頂角的∠AOC和∠BOD有怎樣的數量關系？

在思考、操作后，很多學生通過度量的方法便能直觀得到其數量關系.

追問：能用說理的方法推出結論嗎？

讓學生經歷動手操作、獨立思考、直觀想象、抽象概括、推理論證等過程，感受從實驗幾何到論證幾何的自然延伸，體會概念的產生和發展過程.

概念的辨析，把握數學知識的?內涵和外延

許多數學概念敘述簡練，有的還用式子來表示，比較抽象. 對于這樣的概念，教師要認真揭示其中每一詞、每一句的真實含義，讓學生從不同角度、不同層面認識概念，并從與其他知識的聯系中獲得概念的內涵，達到全面準確掌握概念、靈活運用概念的目的.

“只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的方程，叫作一元二次方程”，這是一元二次方程用文字敘述的定義，教師要引導學生將文字語言轉化為數學符號語言，于是得到：任何一個關于x的一元二次方程，經過整理都可以化為ax2+bx+c=0（a≠0），這是一元二次方程的一般形式. 數學符號語言更能體現數學的簡潔美. 式子中，x是未知數，a，b，c是字母系數，字母a，b，c的具體含義要厘清，區分二次項與二次項系數、一次項與一次項系數. 通過系列問題讓學生加深對一元二次方程的理解：

（1）一元二次方程的一般形式中左右兩邊有何特點？

（2）為什么一元二次方程的一般形式中要有a≠0這個條件，b，c可不可以為0？

（3）方程2x2-x+3=0的一次項系數是1嗎？

（4）你能寫出一元二次方程的特殊形式嗎？

在概念辨析中，學生能否恰當舉出數學概念中的相關元素，所舉的元素是否具有典型性和全面性，這可以作為判斷學生是否掌握了概念的一種方法. 既可以通過正例加深學生對數學概念內涵的理解，也可以通過反例說明數學概念外延的準確范圍. 在較復雜的實例中，讓學生抓住概念的本質，將抽象的概念和具體實例有機結合，消除歧義，最終加深對概念的理解.

比如學生可以通過判斷題的辨析和根據條件寫方程的形式加深對一元二次方程概念的理解：

（1）判斷下列關于x的方程是否為一元二次方程：

①x2+x=2; ? ? ? ? ? ②2x2=5;

③=; ? ? ? ? ? ?④x2+2y-1=0;

⑤9x2-5=（3x+1）2; ⑥ax2+bx+c=0.

（2）以-2，3，0三個數作為一元二次方程的系數和常數項，請盡可能多地寫出滿足條件的不同的一元二次方程.

兩點思考

1. 概念教學要基于學生、基于課堂

數學概念需要學生自主建構，課堂是學生自主獲取知識、形成能力的主陣地，教師要考慮學生的年齡特征、認知水平和知識儲備，關注學生之間的差異，設置層層遞進、引發學生思考的“問題串”. 通過追問、甚至學生自主提問，引導學生探究概念的形成過程. 發揮學生的主體作用，給學生充足的思考和表達的時間和空間，教師要善于等待，靜待花開. 面向全體學生，課堂提問空間要大，要協作學習，讓不同層次的學生都能得到相應的發展.

2. 概念教學要培育數學核心素養

數學概念是數學思維的最基本元素，是形成數學判斷、推理和計算論證的基礎. 在概念教學中，要明確學習的概念在教材中的地位和作用，要深刻剖析數學概念的來龍去脈：為什么要引入這個概念？如何引入這個概念？怎樣抽象形成概念？怎樣用數學語言來表達？要明確幾種數學語言的表達方式和相互轉化，要善于挖掘概念教學中所蘊含的數學方法與數學思想，將這些方法與思想遷移和推廣到后續的知識學習中. 這樣的數學教學條理明晰、脈絡清楚、前后一致、邏輯連貫，體現了數學教學的邏輯性和整體性. 從而實踐用數學眼光觀察世界、用數學語言表達世界的理念，在潛移默化之下培育學生的數學核心素養.

參考文獻：

[1]郝會江. 抓好概念教學 ?提高初中數學教學質量[J]. 神州， 2018（14）.

[2]趙錫勛. 經歷概念形成 ?培養思維品質[J]. 中學數學教學參考， 2019（18）.

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