例談解析幾何中的數形結合思想

【摘要】解析幾何是數學發展史上一個跨時代的發現，其出現在數學史上具有至關重要的意義，并蘊含豐富的數學思想.本文主要從了解解析幾何的歷史背景開始，探索解析幾何的數形結合思想，主要探討數形結合思想中幾何問題代數化的思想、幾何圖形方程化的思想以及代數方程圖形化的思想.剖析解析幾何的數學思想有助于提升教師在解析幾何教學方面的素養，提高解析幾何的教學效果.

【關鍵詞】解析幾何;數形結合;數學思想

【基金項目】重慶市教委科學技術研究項目（KJQN201901312）;重慶文理學院2019年度校級教學改革一般項目（190214）

一、引言

解析幾何是數學專業的一門必修基礎課程，該課程通過建立標架，研究圖形與方程間的關系，是對中學平面解析幾何及立體幾何課程的進一步擴展與延伸，同時，它也是微分幾何等后續幾何課程的基礎.該課程與代數學、分析學息息相關，注重培養學生利用代數工具解決幾何問題的能力，通過代數方程作出幾何圖形的能力，提升學生數形結合的思想.

數形結合思想是解析幾何中的主要數學思想，其主要利用笛卡爾標架，建立數與形之間的內在聯系.本文將對解析幾何的數形結合思想做一些探索，主要從幾何學的歷史背景與解析幾何的數形轉換思想（幾何問題代數化思想、幾何圖形方程化思想與代數方程圖形化思想）出發做一些探索，旨在提升教師的數學素養，提高教師的教學水平，同時激發學生對幾何的學習興趣、研究興趣，啟發學生自主探索學習.

二、主要內容

（一）解析幾何歷史簡介及歷史意義

我國科學家傅鷹曾說：“一種科學的歷史是那門科學最寶貴的一部分.科學只給我們知識，而歷史給我們智慧.”幾何學擁有漫長的歷史，內容更是豐富多彩.在課程學習前向學生介紹幾何學的歷史，可以幫助學生形成完整的知識體系，激發學生的學習興趣.

在大約公元前300年，歐幾里得編寫了《幾何原本》，這便意味著幾何學的第一本著作誕生了.《幾何原本》里的幾何被稱為歐氏幾何，其包含了現今中小學的大部分幾何知識，如三角形內角和為180°、勾股定理等.在《幾何原本》出現后，接近2000年的時間，幾何學基本沒有大的變動，直到17世紀笛卡爾建立了坐標系，開創了解析幾何，建立了幾何對象與代數對象的一一對應關系，從而促使了幾何問題與代數問題的相互轉換.解析幾何的出現是具有劃時代意義的，在其出現之前，幾何與代數是分開的，幾何的問題只能通過幾何的方法解決，如作輔助線等，方法十分有限，那時一個難度一般的幾何問題，很有可能難住一位幾何學家，而解析幾何的出現，給了我們代數的方法，這讓很多幾何難題迎刃而解，可見解析幾何的出現對整個數學的發展具有里程碑式的意義.此外，解析幾何誕生不久，在解析幾何的推動下，微積分于17世紀下半葉產生了.舉微積分中兩個經典的例子，曲線在某點處的切線問題及曲邊梯形面積問題，都是在笛卡爾標架建立之后，利用微積分的方法解決的，由此可見解析幾何在數學發展中的重要地位.

（二）幾何問題代數化思想

利用代數方法解決幾何問題是解析幾何的一個重點內容，它需要學生將幾何問題轉化為代數問題，也就是利用幾何問題代數化思想，這往往是學生遇到的一個難點問題.學生在中學的幾何學習過程中，已經接觸過平面的解析幾何及立體幾何，但是所遇到的幾何問題都已經給出了直角坐標系，沒有幾何問題代數化的經驗.而解析幾何作為數學專業大一的專業基礎課程，在這個課程中，往往需要學生自主建立坐標系，進而將幾何問題轉換為代數問題.在教學過程中，教師應仔細剖析轉換過程，讓學生多做相關練習，積累經驗.具體的，在解析幾何的學習中，我們往往會遇到以下方式提出的幾何問題.

例1證明：三角形每一個頂點與對邊中點所連的線段共點，且該點到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍.

分析首先，作出示意圖，如圖1所示.設△ABC頂點A與對邊BC的中點D的連線為AD，取點G1，使得AG1=2DG1.同理，找出其余兩點G2，G3，那么我們只需要去證明G1，G2，G3三點重合即可.換言之，若已知A，B，C坐標，則只需要說明G1，G2，G3三點坐標相同.因此，我們可以選取平面上適當的笛卡爾標架{A; AB，AC}，如圖2所示，則點A，B，C的坐標分別為A=（0，0），B=（1，0），C=（0，1），由此可計算出G1=G2=G3=1/3，1/3，從而得知G1，G2，G3三點重合.

從上例中我們可以發現，該幾何問題以文字描述的方式提出，題干并未建立任何坐標系，這與中學時提出幾何問題的方式不同.在解答過程中，首先需要學生改變其描述的方式，如上例，我們將“線段共點”的描述轉換為“G1，G2，G3三點重合”，再建立適當的笛卡爾坐標系，將幾何問題代數化，進一步解決問題.

（三）幾何圖形方程化思想

在解析幾何中，我們將具體的幾何圖形看作具有特征性質的點構成的集合.所謂特征性質，本質上就是點在該幾何圖形上的充要條件，而幾何圖形方程化的關鍵就是要抓住特征性質.例如，平面上以原點為圓心的單位圓的特征性質就是平面上點到原點的距離為1.對于建立幾何圖形的方程，往往需要抓住圖形的特征性質，再建立笛卡爾坐標系，從而得到圖形對應的方程，這種構建思想貫穿了整個解析幾何課程，直線、平面、柱面、錐面、旋轉曲面等圖形的方程都是按照此思維過程進行建立的.教師在講授的時候應注意剖析圖形的特征性質，逐步引導學生找到圖形的特征性質，著重強調圖形到方程的建立過程.下面，我們以直線和柱面方程的建立過程為例進行分析.

例2求過點M0且與向量v 平行的直線方程.

分析根據之前的思想，想要建立該直線方程，首先需要找到該直線的特征性質，也就是找到點在該直線上的充要條件.注意到若空間中任意一點M在該直線上，那么向量MM0與向量 v 平行，反之，如果點M不在該直線上，那么向量MM0與向量 v 不平行.這說明了該直線的特征性質為：對于空間中任意一點M，有MM0平行于 v.建立笛卡爾坐標系，設M=（x，y，z），M0=（x0，y0，z0），v=（X，Y，Z），由直線的特征性質，有 MM0 平行于 v，即可得到該直線的標準方程為：

例3設柱面的準線方程為 Γ：F1（x，y，z）=0，F2（x，y，z）=0，母線方向為v=（X，Y，Z），求該柱面的方程.

分析對于曲面方程的建立，首先我們需要找到該柱面的特征性質.根據分析，若空間中任意一點M在該柱面上，那么過M點作平行于方向（X，Y，Z）的直線必定與準線 Γ 相交于點M1，如圖3所示.反之，若點M1∈Γ，則過點M1作平行于方向（X，Y，Z）的直線，該直線上的點必定在柱面上.因此，柱面的特征性質可描述為：設點M1（x1，y1，z1）∈Γ，且MM1平行于向量（X，Y，Z）.從而該柱面的特征性質等價于以下方程描述：

注意到所建立的方程為4個方程，因此可消去參數x1，y1，z1，從而得到關于x，y，z的方程： F（x，y，z）=0，即為柱面方程.

通過上面直線與柱面的例子可以發現，在解析幾何的學習過程中，能否抓住圖形的特征性質是幾何問題代數化的關鍵.因此，在解析幾何建立圖形方程的教學中，除了注重提高學生利用代數方法解決幾何問題的能力外，還應加強訓練學生認識圖形、理解圖形的特征性質，提升學生對圖形特征性質的推導能力.

（四）代數方程幾何化思想

在解析幾何中，通過笛卡爾標架可建立幾何圖形與代數方程間的對應關系.上面我們討論了幾何圖形方程化的過程，反之，我們將討論根據給定方程畫出幾何圖形的一些探索，如畫出橢球面、雙曲面、拋物面的圖形.關于代數方程幾何化，這里我們采用二維到三維的推廣形式來進行探討.

例4畫拋物線 y=x2 的函數圖形.

分析在中學函數的教學中，我們通過描點的方式畫出了函數的圖形.對于拋物線函數 y=x2，分別取x=-3，-2，-1，0，1，2，3，得到對應的y值，再通過連線畫出函數大致圖形.

例5畫出方程x2a2+y2b2+z2c2=1所代表的圖形.

分析由例4出發，從幾何角度來看，當取x=-3，-2，-1，0，1，2，3時，它所代表的幾何圖形是平面上與y軸平行的直線.換言之，例4的操作過程可以看作用平行于 y 軸的直線截取函數 y=x2 的圖形得到的交點，再連接交點，從而畫出圖形.推廣這種方法到三維空間曲面的方程中，采用平行于坐標面的平面去截取例5中方程所代表的空間圖形，如取x=x0（-a≤x0≤a），即平行于坐標面yOz的平面，可以得到：

y2b2+z2c2=1-x20a2，

這是一組橢圓，從而可畫出例5中的方程所表示的圖形——橢球面.當然，還可以取平行于xOy，xOz 的坐標面去截取圖形，這樣不僅可以畫出圖形，還可以加深學生對圖形及方程的認識.這里采用了二維到三維推廣的形式，由淺入深地講解，有助于加深學生對圖形的印象，并有利于提高學生對幾何的研究興趣.

三、后記

綜上所述，解析幾何蘊含豐富的數學思想，與代數學關系密切，除此以外，解析幾何也可以與微積分的內容聯系起來.

例6考察平面直線的參數方程r1（t）=（t，t） 與方程r2（t）=（t3，t3），t∈R.

分析從整體圖形的角度來看，在笛卡爾直角坐標系下，這兩個方程所表示的直線是同一條平面直線 y=x，但兩個參數方程卻不相同.若換個角度看參數方程，比如將此直線看作是動點運動的軌跡，參數t為時間參數，那么當t=1時，有r1（1）=（1，1），r2（1）=（1，1），當t=2時，有r1（2）=（2，2），r2（2）=（8，8）.這說明在t=1到t=2這個時間段內，第二個參數方程所表示的點運動的平均速度更快.由于瞬時速度是平均速度的極限值，可以計算兩方程的微分，得到動點在某時刻的瞬時速度.此時，解析幾何便與微積分等相關內容聯系起來.

解析幾何內涵豐富，不僅蘊含著數形結合的思想，也推動著分析學的產生與發展，它與代數學、分析學聯系緊密.教師在教學過程中應將這些思想融入具體教學中，體現數學知識間的密切聯系，展現數學的統一性.與此同時，再融入相關歷史背景，提高學生的數學文化修養，提升學生的學習及研究興趣.

【參考文獻】

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